2023年中考复习存在性问题系列 直角三角形的存在性问题专题探究试卷

2023年中考复习存在性问题系列

               直角三角形的存在性问题专题探究

    直角三角形存在性问题主要是已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求解第三点。这类问题主要是和动点问题结合在一起，主要在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力，也是近几年来各市地对学生能力提高方面的一个考查。

解题攻略

一、              构造直角三角形的一般思路:

构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆.

二、       动点产生的直角三角形的一般解法，以三角形ABC为直角三角形为例

1、     代数法

（1）列出A、B、C的坐标，动点用参数表示；

（2）列出线段AB、AC、BC长度的平方；

（3）分类列方程：①，②，③；

2、几何法 

（1）两线一圆得坐标

     ①若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；

     ②若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；

     ③若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）

重点还是如何求得点坐标，求法相同，以为例：

（2）构造三垂直

利用到一线等三角之K字（90°）类型和母子相似型类型，尝试建构相应的相似来进行处理；

构造三垂直步骤：

第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；

第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似．

（3）利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数列方程求解

3、解析法

两条直线互相垂直的条件，即k1k2 =-1来解决．

三、              解题类型及其思路

当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究：

（1）当动点在直线上运动时，常用的方法是① ，②三角形相似，③勾股定理；（2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下，第一当已知点处作直角的方法① ，②三角形相似，③勾股定理；第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角。

四、              典例剖析

1.动点在直线上运动

例1.如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（3，0），B（﹣1，0），

∴   解得：，

∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3．

（2）用勾股定理

在y轴上存在点P，使得△PAM为直角三角形．

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点M（1，4），

∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20，

设点P坐标为（0，p），

∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2，

①若∠PAM＝90°，则AM2+AP2＝MP2，

∴20+9+p2＝17﹣8p+p2，

解得：p＝﹣，

∴P（0，﹣）．

②若∠APM＝90°，则AP2+MP2＝AM2，

∴9+p2+17﹣8p+p2＝20，

解得：p1＝1，p2＝3，

∴P（0，1）或（0，3）．

③若∠AMP＝90°，则AM2+MP2＝AP2，

∴20+17﹣8p+p2＝9+p2，

解得：p＝，

∴P（0，）．

综上所述，点P坐标为（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，）时，△PAM为直角三角形．

例2.已知，如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值；

(3)在轴上是否存在点使为直角三角形？若存在，确定点的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）解：∵直线与坐标轴的两个交点，，

∴，，

∵抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，，

∴根据题意可得方程：

∴，

∴二次函数的解析式为：．

（2）解：∵点经过抛物线

∴设点，

∵是线段上的动点，

∴，

∴

∴的最大值为．

（2）用相似三角形解

解：①当时，如图所示

∵时，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

②当时，则，

∴，

∴，

∵，

即，

解得：

∵，

∴，

综上所述点的坐标为：或

【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质，待定系数法，熟记数轴上两点之间的距离公式运用相似三角形知识是解题的关键．

2.动点在曲线上运动

例1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；

（2）请在轴上找一点，使的周长最小，求出点的坐标；

（3）试探究：在拋物线上是否存在点，使以点，，为顶点，为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）抛物线：，直线AC：y=3x+3；

（2）看图，M点坐标为（0,3）与C点重合了．

（3）考虑到AC为直角边，故分别过A、C作AC的垂线，与抛物线交点即为所求P点，

有如下两种情况，

先求过A点所作垂线得到的点P：

设P点坐标为，

则PM=m+1，AM=，

易证△PMA∽△ANC，且AN=3，CN=1，

∴，解得：，（舍），

故第1个P点坐标为；

再求过点C所作垂线得到的点P：

，CN=m，

，解得：，（舍），

故第2个P点坐标为．

综上所述，P点坐标为或．

例2.如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y＝mx+n经过B，C两点．

（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；

（2）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由点A的坐标知，OA＝2，

∵OC＝2OA＝4，故点C的坐标为（0，4），

将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，

故抛物线的表达式为y＝﹣x+x+4；

将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：，解得，

故直线BC的表达式为y＝﹣x+4；

（2）存在，理由：

设点P的坐标为（m，﹣m2+m+4）、点Q的坐标为（t，﹣t+4），

①当点Q在点P的左侧时，

如图2，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，

由题意得：∠PEQ＝90°，

∴∠PEN+∠QEM＝90°，

∵∠EQM+∠QEM＝90°，

∴∠PEN＝∠EQM，

∴∠QME＝∠ENP＝90°，

∴△QME∽△ENP，

∴＝tan∠EQP＝tan∠OCA＝＝＝，

则PN＝﹣m2+m+4，ME＝1﹣t，EN＝m﹣1，QM＝﹣t+4，

∴＝＝，

解得m＝±（舍去负值），

当m＝时，﹣m2+m+4＝，

故点P的坐标为（，）．

②当点Q在点P的右侧时，

分别过点P、Q作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为N、M，

则MQ＝t﹣1，ME＝t﹣4，NE＝﹣m2+m+4、PN＝m﹣1，

同理可得：△QME∽△ENP，

∴＝tan∠PQE＝2，

即，

解得m＝（舍去负值），

故m＝，

故点P的坐标为（，），

故点P的坐标为（，）或（，）．

例3.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）是直线下方抛物线上的一个动点，作于点，求的最大值．

（3）以点为圆心，1为半径作圆，上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，说明理由．

解（1）；

（2）过点P作x轴的垂线交EF于点Q，所谓PH最大，即PQ最大，易解．

（3）CM为直角边，故点C可能为直角顶点，点M也可能为直角顶点．

①当为直角时，如图：

：不难求得CF=1，BF=2，

∴，又，

可得：，．

故坐标为；

同理可求坐标为．

②当∠BMC为直角时，如图：

：不难发现CM=1，BC=，∴，

即△MEC∽△BFM，且相似比为1：2，

设EC=a，EM=b，则FM=2a，BF=2b，

由图可知：，解得：．

故点的坐标为．

至于坐标，显然．

综上所述，M点坐标为或或或

【总结】对于大部分直角三角形存在性问题，构造三垂直全等或相似基本上可解决问题，牢记构造步骤：（1）过直角顶点作水平或竖直线；（2）过另外两端点向其作垂线