2023年中考复习存在性问题系列 等腰直角三角形的存在性问题专题探究试卷

2023年中考复习存在性问题系列

               等腰直角三角形的存在性问题专题探究

近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。

解题攻略

1.      涉及知识点

       二次函数与等腰直角三角形的相结合的综合问题，是中考数学压轴题中比较常见的一种，涉及到的知识点有：等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、斜边的中线、全等三角形与相似三角形、角平分线、方程与函数模型、函数的基本性质等。

2.      基本题型

 一定两动探索等腰直角三角形问题；三动探索等腰直角三角形问题

3.      解题思路

(1)   分类

不管是哪种类型的等腰直角三角形三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角。  

   （2）构造K型全等三角形

   （3）列方程

典例剖析

例1.如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；

（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．

【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；

（2）连接CB交对称轴于点Q，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，求出直线BC的解析式，再求Q点坐标即可；

（3）分两种情况讨论：当∠BPM＝90°时，PM＝PB，M点与A点重合，则M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G，可证明△BPH≌△MBG（AAS），设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），求出M点坐标为（1﹣，﹣2）；当P点在M点下方时，同理M（3+t，2），可求M点坐标为（1﹣，2）．

【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，

∴，

解得，

∴y＝x2﹣2x﹣3；

（2）连接CB交对称轴于点Q，

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴抛物线的对称轴为直线x＝1，

∵A、B关于对称轴x＝1对称，

∴AQ＝BQ，

∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，

当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，

∵C（0，﹣3），B（3，0），

设直线BC的解析式为y＝kx+b，

∴，

解得，

∴y＝x﹣3，

∴Q（1，﹣2）；

（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，

∴M点与A点重合，

∴M（﹣1，0）；

当∠PBM＝90°时，PB＝BM，

如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G，

∵∠PBM＝90°，

∴∠PBH+∠MBG＝90°，

∵∠PBH+∠BPH＝90°，

∴∠MBG＝∠BPH，

∵BP＝BM，

∴△BPH≌△MBG（AAS），

∴BH＝MG，PH＝BG＝2，

设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），

∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，

解得t＝2+或t＝2﹣，

∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），

∵M点在对称轴的左侧，

∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；

如图2，当P点在M点下方时，

同理可得M（3+t，2），

∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，

解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，

∴M（1﹣，2）；

综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．

在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，﹣4）．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图1，若点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标；

（3）如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当△QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标．

【分析】（1）根据顶点的坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点A（﹣1，0）代入，求出a即可得出答案；

（2）利用待定系数法求出直线BD解析式为y＝2x﹣6，过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1，再运用待定系数法求出直线CP1的解析式为y＝2x﹣3，联立方程组即可求出P1（4，5），过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，证明△OCE≌△GCF（ASA），运用待定系数法求出直线CF解析式为y＝x﹣3，即可求出P2（，﹣）；

（3）利用待定系数法求出直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，直线BC解析式为y＝x﹣3，再分以下三种情况：①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，分别画出图形结合图形进行计算即可．

【解答】解：（1）∵顶点D的坐标为（1，﹣4），

∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点A（﹣1，0）代入，

得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，

解得：a＝1，

∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，

∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）∵抛物线对称轴为直线x＝1，A（﹣1，0），

∴B（3，0），

设直线BD解析式为y＝kx+e，

∵B（3，0），D（1，﹣4），

∴，

解得：，

∴直线BD解析式为y＝2x﹣6，

过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1，

设直线CP1的解析式为y＝2x+d，将C（0，﹣3）代入，

得﹣3＝2×0+d，

解得：d＝﹣3，

∴直线CP1的解析式为y＝2x﹣3，

结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝2x﹣3，

解得：x1＝0（舍），x2＝4，

故P1（4，5），

过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，

∵OB＝OC，∠BOC＝∠OBG＝∠OCG＝90°，

∴四边形OBGC是正方形，

设CP1与x轴交于点E，则2x﹣3＝0，

解得：x＝，

∴E（，0），

在x轴下方作∠BCF＝∠BCE交BG于点F，

∵四边形OBGC是正方形，

∴OC＝CG＝BG＝3，∠COE＝∠G＝90°，∠OCB＝∠GCB＝45°，

∴∠OCB﹣∠BCE＝∠GCB﹣∠BCF，

即∠OCE＝∠GCF，

∴△OCE≌△GCF（ASA），

∴FG＝OE＝，

∴BF＝BG﹣FG＝3﹣＝，

∴F（3，﹣），

设直线CF解析式为y＝k1x+e1，

∵C（0，﹣3），F（3，﹣），

∴，

解得：，

∴直线CF解析式为y＝x﹣3，

结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝x﹣3，

解得：x1＝0（舍），x2＝，

∴P2（，﹣），

综上所述，符合条件的P点坐标为：P1（4，5），P2（，﹣）；

（3）设直线AC解析式为y＝m1x+n1，直线BC解析式为y＝m2x+n2，

∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），

∴，

解得：，

∴直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴，

解得：，

∴直线BC解析式为y＝x﹣3，

设M（t，t﹣3），则N（t，t2﹣2t﹣3），

∴MN＝|t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3）|＝|t2﹣3t|，

①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠NMQ＝90°，MN＝MQ，如图2，

∵MQ∥x轴，

∴Q（﹣t，t﹣3），

∴|t2﹣3t|＝|t﹣（﹣t）|，

∴t2﹣3t＝±t，

解得：t＝0（舍）或t＝或t＝，

∴M1（，﹣），Q1（﹣，﹣）；M2（，），Q2（﹣，）；

②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MNQ＝90°，MN＝NQ，如图3，

∵NQ∥x轴，

∴Q（，t2﹣2t﹣3），

∴NQ＝|t﹣|＝|t2+t|，

∴|t2﹣3t|＝|t2+t|，

解得：t＝0（舍）或t＝5或t＝2，

∴M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；

③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，

此时∠MQN＝90°，MQ＝NQ，如图4，

过点Q作QH⊥MN于H，则MH＝HN，

∴H（t，），

∴Q（，），

∴QH＝|t﹣|＝|t2+5t|，

∵MQ＝NQ，

∴MN＝2QH，

∴|t2﹣3t|＝2×|t2+5t|，

解得：t＝7或1，

∴M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）；

综上所述，点M及其对应点Q的坐标为：

M1（，），Q1（﹣，）；M2（，﹣），Q2（﹣，﹣）；M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）．

）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如……都是“雁点”．

（1）求函数图象上的“雁点”坐标；

（2）若抛物线上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当时．

①求c的取值范围；②求的度数；

（3）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线上一点，连接，以点P为直角顶点，构造等腰，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（2,2）、（－2，－2）；（2）①0<c<4；②45°；（3）存在，P点坐标为或或.

【解析】解：（1）联立，

解得：或   

即：函数上的雁点坐标为（2,2）、（－2，－2）．

（2）① 联立

得ax2+4x+c=0

∵ 这样的雁点E只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，

∴△=16－4ac=0，

即ac=4

∵a>1

∴a= >1，

即－1>0，>0，

解得：0<c<4.

② 由①知，E点坐标为：x=，

即 E

在y=ax2+5x+中，当y=0时，

得：x=－，x=－

即M点坐标为（－，0），N点坐标为（－，0）

过E点向x轴作垂线，垂足为H点，

EH=，MH=

∴EH=MH

即△EMH为等腰直角三角形，∠EMN=45°.

（3）存在，理由如下：

①如图所示：过P作直线l垂直于x轴于点k，过C作CH⊥PK于点H

方法一

设C（m，m），P（x，y）

∵ △CPB为等腰三角形，

∴PC=PB，∠CPB=90°，

∴∠KPB+∠HPC=90°，

∵∠HPC+∠HCP=90°，

∴∠KPB=∠HCP，

∵∠H=∠PKB=90°，

∴△CHP≌△PKB，

∴CH=PK，HP=KB，

即∴

即P（，）.

方法二

设P（m，－m2+2m+3），

同理， CH=PK，HP=KB，

则C（m－m2+2m+3，－m2+2m+3+3－m）

∵C为雁点

∴m－m2+2m+3=－m2+2m+3+3－m，

解得：m=，即P（，）.

②如图所示，同理可得：△KCP≌△JPB

∴ KP=JB，KC=JP

方法一

设P（x，y），C（m，m）

∴KP=x－m，KC=y－m，JB=y，JP=3－x，

即

解得

则P或

方法二

设P（m，－m2+2m+3），

则C（m－（－m2+2m+3），－m2+2m+3－（3－m））

∴m－（－m2+2m+3）=－m2+2m+3－（3－m），

解得：m=

③如图所示，

此时P与第②种情况重合

综上所述，符合题意P的坐标为（，）或或.