高中第五章 函数应用2 实际问题中的函数模型2.2 用函数模型解决实际问题优秀课件ppt

用函数模型解决实际问题

【学习目标】

1．通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养。

2．通过建立数学模型解决实际问题，培养数据分析、数学运算素养。

【学习重难点】

1．会利用已知函数模型解决实际问题。(重点)

2．能建立函数模型解决实际问题。(重、难点)

【学习过程】

一、初试身手

1．下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为(    )

A．一次函数模型         B．二次函数模型

C．对数函数模型   D．指数函数模型

2．一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型为(    )

A．分段函数             B．二次函数

C．指数函数   D．对数函数

3．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点。用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则与故事情节相吻合的是(    )

4．用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则铁框架的最大面积是________m2．

【答案】

1．D

2．A

[由图像知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数。]

3．B

[乌龟距离起点的距离始终在增加，符合一次函数的增长模型，兔子距离起点的距离先增加，再停止增加一段时间后又更快的增加，总之乌龟与兔子行进的路程是一样的，乌龟用的时间少，兔子用的时间长，综合以上分析，故选B．]

4．9

[设铁框架的一边长为x m，则其面积S＝＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9．

由，得0<x<6．

所以，当x＝3时，S取最大值9．]

二、合作探究

【例1】  某国2015年至2018年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：

(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；

(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；

(3)利用关系式预测2019年该国的国内生产总值。

[解]  (1)根据表中数据画出函数图形，如图所示。从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为y＝kx＋B．

把直线通过的两点(0，8.206 7)和(3，10.239 8)代入上式，解方程组，可得k＝0.677 7，b＝8.206 7.

所以它的一个函数关系式为y＝0.677 7x＋8.206 7.

(2)由(1)中得到的关系式为f(x)＝0.677 7x＋8.206 7，计算出2016年和2017年的国内生产总值分别为

f(1)＝0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4，

f(2)＝0.677 7×2＋8.206 7＝9.562 1.

与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元。

(3)2019年，即x＝4，由上述关系式，得y＝f(4)＝0.677 7×4＋8.206 7＝10.917 5，

即预测2019年该国的国内生产总值约为10.917 5万亿元。

【例2】  如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图像。

图1          图2          图3   

(1)试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；

(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示。你能根据图像，说明这两种建议的意义吗？

(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？

(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？

[解]  (1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示盈利。

(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价。

(3)斜率表示票价。

(4)图1、2中的票价是2元，图3中的票价是4元。

【学习小结】

常用的函数模型：

【精炼反馈】

1．思考辨析

(1)在建立实际问题的函数模型时，除了要考虑变量的数学意义，还要考虑变量的实际意义。(    )

(2)由函数模型得到的解就是实际问题的解。(    )

2．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a km，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b＜a)，当他想起诗句“不到长城非好汉”时，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图像大致为(    )

A        B        C      D

3．国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：

如果某人在西安要快递800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是(    )

A．5.00元           B．6.00元

C．7.00元   D．8.00元

4．要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户，如图所示，窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积S最大，窗户应具有怎样的尺寸？

【答案】

1．(1)√  (2)×

2．C

[由题意可知，s是关于时间t的一次函数，所以其图像特征是直线上升。由于中间休息了一段时间，该段时间的图像应是平行于横轴的一条线段。然后原路返回，图像下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升。故选C．]

3．C

[由题意可知，当x＝1200时，y＝7.00元，故选C．]

4．[解]  由题意得窗框总长l＝x＋x＋2y，

∴y＝，∴S＝x2＋xy

＝x2＋x·

＝－2＋。

由得x∈，

当x＝时，Smax＝，

此时y＝＝，

所以，当矩形的高等于半圆的半径时，窗户透光面积最大。