人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用获奖ppt课件

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用获奖ppt课件，共19页。PPT课件主要包含了复习与引入，①求函数的定义域，函数的极值，请注意以下几点，要注意以下两点，1求函数定义域，5写结论，巩固练习等内容，欢迎下载使用。

上节课,我们讲了利用函数的导数来研究函数的单调性这个问题.其基本的步骤为:
②求函数的导数f '(x);
③解不等式f '(x)>0得f(x)的单调递增区间; 解不等式f '(x) <0得f(x)的单调递减区间.
右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象,从图象我们可以看出下面的结论:
函数在x=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在x=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个极小值。
在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减。如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？
探究1：观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少？此点附件的函数图象有什么特点？相应地，导数的正负有什么变化规律?
对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？
探究2：观察下图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点处的导数值时多少？在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？
一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值;并把x0称为函数f(x)的一个极大值点; 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点.
在定义中, 极值点是自变量的值,极值指的是对应的函数值.
(4)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示, x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)>f(x1).
(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是说极值与最值是两个不同的概念.
(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.
(3)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.
（3）在点a,b附近, y=f(x)的导数的符号有什么规律?
（1）函数y=f(x)在点a,b的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?
（2）函数y=f(x)在点a,b的导数值是多少?
如上左图所示,若x0是f(x)的极大值点,则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0) .因此, x0的左侧附近f(x)只能是增函数,即f '(x)>0; x0的右侧附近f(x)只能是减函数,即f '(x)<0
同理,如上右图所示,若x0是f(x)极小值点,则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数,即f '(x)<0;在x0的右侧附近只能是增函数,即f '(x)>0.
从而我们得出结论:若x0满足f '(x0)=0,且在x0的两侧的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果f '(x)在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点, f(x0)是极大值;如果f '(x0)在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.
从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.
一般地,当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:
(1):如果在 x0附近的左侧f '(x)>0右侧f '(x)<0那么, f(x0)是极大值;
(2):如果在 x0附近的左侧f '(x)<0右侧f '(x)>0那么, f(x0)是极小值.
因此,当x=-2时有极大值,并且,f(x)极大值=28/3;而,当x=2时有极小值,并且, f(x)极小值=- 4/3.
探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值点?
若寻找可导函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可?
f(x)=3x2 当f(x)=0时，x =0，而x =0不是该函数的极值点.
f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点
x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f(x0) =0
注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
(1)不可导函数也可能有极值点.例如函数y=|x|,它在点x=0处不可导,但x=0是函数的极小值点.故函数f(x)在极值点处不一定存在导数.
(2)可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.例如,函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点,原因是函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充分条件是在这点两侧的导数异号.
因此,利用求导的方法,求函数的极值时,在函数的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”,除了确定其导数为零的点外,还必须确定函数定义域内所有不可导的点,这两类点构成了函数定义域内所有的可能取到极值的“可疑点”.
总结:求可导函数f(x)的极值的步骤如下:
(2).求导数f '(x)
(3).求方程f '(x)=0的根.
(4).列表检查f '(x)在方程根左右的值的符号,如果左负右正, 那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左正右负,那 么f(x)在这个根处取得极大值.
故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.
说明:本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明极值与最值是完全不同的两个概念.
求函数 的极值
当 时, 有极大值，并且极大值为
∴当 时, 有极小值，并且极小值为
令y'=0,解得x1=-1,x2=1.
当x变化时, y', y的变化情况如下表:
因此,当x=-1时有极小值,并且, y极小值=－3;而,当x=1时有极大值,并且, y极大值= 3.