2021学年5.3 导数在研究函数中的应用学案

5.2.1基本初等函数的导数     导学案

1. 能根据定义求函数y＝c，y＝x，， 的导数．

2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．

重点：基本初等函数的导数公式的简单应用

难点：根据定义求函数y＝c，y＝x，， 的导数

1.函数y＝在x＝2处的导数为________．

2．常数函数的导数为0说明什么？

3．对于公式“若f(x)＝xα(α∈Q)，则f′(x)＝αxα－1”，若把“α∈Q”改为“α∈R”，公式是否仍然成立？

4．下列说法正确的个数为(　　)

①若y＝，则y′＝×2＝1；②若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x；

③f(x)＝，则f′(x)＝－.

A．0个　　　　　B．1个          C．2个       D．3个

5．(多选)下列结论正确的是(　　)

A．若y＝0，则y′＝0　　　　B．若y＝5x，则y′＝5

C．若y＝x－1，则y′＝－x－2    D．若，则y′＝

6．若y＝cos，则y′＝ (　　)

A．－　　　　B．－　　　　C．0　　　　D.

7．函数y＝在点处切线的倾斜角为 (　　)

A.          B.          C.           D.

一、    学习导引

   由导数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的。在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的。由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数。本节我们就来研究这些问题。

二、新知探究

1.求函数在x0处的导数的方法．

(1)求Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)．

(2)求变化率＝.

(3)求极限的y′|＝f ′(x0)＝ .

2.怎样求导函数？

(1)求改变量Δy＝f (x＋Δx)－f (x)．

(2)求比值＝.

(3)求极限的y′＝f ′(x)＝ .

思考：导数与导函数有什么区别和联系？那么如何求几种常见函数的导数？

     若表示路程关于时间的函数，则=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态。

若表示路程关于时间的函数，则=1可以解释为某物体的瞬时速度始终为1的匀速直线运动。

=2x表示函数的图像，上点处切线的斜率为2x,说明随着变化，切线的斜率也在变化。另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，=2x表明；

当时，随着增加， 越来越小，减少得越来越慢；

当时，随着增加， 越来越大，得越来越快；

        若表示路程关于时间的函数，则=2x可解释为某物体做变速运动，它在时刻速度为2x。

三、典例解析

例1.求下列函数的导数．

(1)y＝；(2)y＝；

(3)y＝lg x；(4)y＝5x；(5)y＝cos.

1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．

2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．

3．要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别．

跟踪训练1．求下列函数的导数：

(1)y＝(x＞0)；

(2)y＝sin(π－x)；

(3)y＝logx.

例2  假设某地在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价P（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系

其中为时的物价，假定某种商品的=1,那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？（精确到0.01元/年）

跟踪训练2   质点的运动方程是S(t)＝sin t，则质点在t＝时的速度为______；质点运动的加速度为_____；

例3　 已知曲线y＝.

(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；

(2)求过点Q(1,0)的曲线的切线方程．

利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况

(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；

(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．　

跟踪训练3  当常数k为何值时，直线y1＝x与曲线y2＝x2＋k相切？请求出切点．

1．设函数f(x)＝cos x，则′＝ (　　)

A．0　　　　　　B．1          C．－1       D．以上均不正确

2．下列各式中正确的是 (　　)

A．(logax)′＝            B．(logax)′＝

C．(3x)′＝3x            D．(3x)′＝3xln 3

3．若f(x)＝x2，g(x)＝x3，则满足f′(x)＋1＝g′(x)的x值为________．

4．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝________.

5．求与曲线y＝f(x)＝在点P(8,4)处的切线垂直，且过点(4,8)的直线方程．

6.已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．

参考答案：

知识梳理

0；αxα－1；cos x；－sin x；axln a；ex；；

1. 解析：法一(导数定义法)：

∵Δy＝－＝－1＝－，

∴＝－，

∴y′＝＝－＝－1.

法二(导函数的函数值法)：

∵Δy＝－＝－，

∴＝－，

∴y′＝＝－＝－.

∴y′＝－＝－1.

答案：－1

2． 提示：说明常数函数f(x)＝c图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行(或重合)于x轴．

3．提示：当α∈R时，f′(x)＝αxα－1仍然成立．

4． 解析：只有③正确．

答案：B

5．(多选) 答案：ABC

6．答案：C

7．答案：B

学习过程

二、    新知探究

解：因为

=

所以

==

解：因为

===1

所以

==

解：因为

==

== +

所以

==

三、    典例解析

例1.[解]　(1)∵y＝＝x－5，∴y′＝－5x－6.

, 

(3)∵y＝lg x，∴y′＝.

(4)∵y＝5x，∴y′＝5xln 5.

(5)y＝cos＝sin x，∴y′＝cos x.

跟踪训练1．[解]　(1)∵y＝＝(x＞0)，∴y′＝()′＝.

(2)y＝sin(π－x)＝sin x，∴y′＝cos x.

(3)y′＝′＝＝－.

例2  解：根据基本初等函数的导数公式表有，

ln1.05

所以；ln1.05

所以，在第10个年头这种商品的价格约以的速度上涨。

跟踪训练2  解析：　v(t)＝S′(t)＝cos t，

∴v＝cos ＝. 即质点在t＝时的速度为.

∵v(t)＝cos t，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t.

[答案]　　 －sin t

例3[解]　∵y＝，∴y′＝－.

(1)显然P(1,1)是曲线上的点，所以P为切点，

所求切线斜率为函数y＝在点P(1,1)的导数，

即k＝f′(1)＝－1.

所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，

即为x＋y－2＝0.

 (2)显然Q(1,0)不在曲线y＝上，

则可设过该点的切线的切点为A，

那么该切线斜率为k＝f′(a)＝－.

则切线方程为y－＝－(x－a)．①

将Q(1,0)代入方程：0－＝－(1－a)．

得a＝，代入方程①整理可得切线方程为y＝－4x＋4.

跟踪训练3解：设切点为A(x0，x＋k)．∵y′　2＝2x，

∴∴

故当k＝时，直线y1＝x与曲线y2＝x2＋k相切，

且切点坐标为.

达标检测

1．解析：注意此题中是先求函数值再求导所以导数是0

答案：A　

2．解析：由(logax)′＝，可知A，B均错；由(3x)′＝3xln 3可知D正确．

答案：D　

3．解析：由导数的公式知，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2.

因为f′(x)＋1＝g′(x)，所以2x＋1＝3x2，

即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－.

答案：1或－

4．解析：∵f′(x)＝，

∴f′(1)＝＝－1.

∴ln a＝－1，即a＝.

答案：

5． 解：因为y＝，所以y′＝()′＝()′＝

所以f′(8)＝×8＝，即曲线在点P(8,4)处的切线的斜率为.所以所求直线的斜率为－3，从而所求直线方程为y－8＝－3(x－4)，即3x＋y－20＝0.

6. 解：由于y＝sin x，y＝cos x，设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)．

∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为：k1＝cos x0，k2＝－sin x0.

若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1，

即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的．

∴两条曲线不存在公共点，

使在这一点处的两条切线互相垂直．