2022-2023学年广东省汕头市龙湖实验中学九年级（上）开学数学试卷-（含解析）

2022-2023学年广东省汕头市龙湖实验中学九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1.    下列方程是关于的一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是(    )

A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、

3.    下列根式中属最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.    一组数据，，，，，的众数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    菱形的两条对角线，，那么菱形的边长是(    )

A.  B.  C.  D.

7.    甲、乙、丙、丁四位优秀短跑选手，近期的次百米测试平均成绩都是秒，但他们成绩的方差分别是、、、单位：秒则这四人中发挥最稳定的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

8.    对于一次函数，下列结论错误的是(    )

A. 函数值随自变量增大而增大 B. 函数图象与轴正方向成角
C. 函数图象不经过第四象限 D. 函数图象与轴交点坐标是

9.    三角形的三边长为，，，且满足，则这个三角形是(    )

A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形

10. 如图，已知直线：，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；；按此作法继续下去，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. ______．
12. 已知三角形三边长分别是，，，则此三角形的面积为______．
13. 如图，中，三条中位线围成的的周长是，则的周长是______．

14. 若是关于的一次函数，则______．
15. 一次函数与平行，且经过点，则表达式为：______．
16. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是______．
17. 如图，在矩形中，，，以为圆心，任意长为半径画弧交，于，，再分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，连接，交边于，则的周长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共62分）

18. 计算：．
19. 先化简后求值：，其中．
20. 如图，在▱中，于，于，．
    求证：≌；
    求的度数．

21. 如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交轴于点，交轴于点．
    求该一次函数的解析式；
    求的面积．
     

22. 在一次大学生一年级新生训练射击训练中，某小组的成绩如表：

该小组射击数据的众数是______，中位数是______；
求该小组的平均成绩；
若环含环以上为优秀射手，在名新生中有多少人可以评为优秀射手？

23. 某商场计划购进，两种新型节能台灯共盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：

若商场预计进货款为元，则这两种台灯各购进多少盏？
若商场规定型台灯的进货数量不超过型台灯数量的倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？

24. 如图，直线为，，点关于直线的对称点在直线上．
    求直线的解析式．
    求点的坐标．
    若交于点，在线段上是否存在一点，使与的面积相等？若存在求出点坐标，若不存在，请说明理由．
     

25. 阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点，，则两点的距离；线段的中点坐标为
    解决问题：
    如图，平行四边形中，点在轴负半轴上，点在第一象限，，两点的坐标分别为，，边的长为．
    若点是直线上一动点，当取得最小值时，求点的坐标及的最小值；
    已知直线：过点，且将平行四边分成面积相等的两部分，求直线的解析式；
    若点在平面直角坐标系内，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该方程是二元一次方程，故本选项不合题意；
B.该方程化简后可得，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C.该方程是分式方程，故本选项不合题意；
D、该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：．
根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是”；“二次项的系数不等于”；“整式方程”．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故选项A中三条线段不能构成直角三角形；
，故选项B中三条线段能构成直角三角形；
，故选项C中三条线段能构成直角三角形；
，故选项D中三条线段能构成直角三角形；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段是否可以构成直角三角形，从而可以解答本题．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
 

3.【答案】 

【解析】解：、原式为最简二次根式，符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：．
利用最简二次根式定义判断即可．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，无法计算，故此选项错误；
B、，无法计算，故此选项错误；
C、，正确；
D、，无法计算，故此选项错误；
故选：．
直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：出现了次，出现的次数最多，
众数是．
故选：．
根据众数的定义即可得出答案．
此题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，注意：众数不止一个．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
故选：．
由菱形对角线互相垂直平分，可得，，，然后由勾股定理求得边长，继而求得答案．
此题考查了菱形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

7.【答案】 

【解析】解：他们成绩的方差分别是、、、，
，
乙的方差最小，
这四人中发挥最稳定的是乙，
故选：．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差的意义，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性及与坐标轴的交点坐标是解答此题的关键．根据一次函数的性质对各选项进行逐一判断即可．
【解答】
解：一次函数中，函数值随自变量增大而增大，故A选项正确；
B.一次函数与、轴的交点坐标分别为，，此函数与轴所成角度的正切值，函数图象与轴正方向成角，故B选项正确；
C.一次函数中，，函数图象经过一、二、三象限，故C选项正确；
D.令，则，一次函数与轴的交点坐标为，故D选项错误．
故选D．  

9.【答案】 

【解析】解：化简，得，所以三角形是直角三角形，
故选：．
对等式进行整理，再判断其形状．
本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定．
 

10.【答案】 

【解析】解：直线：，
与轴的夹角为，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
把代入，求得，

同理可得，
，

故选：．
根据所给直线解析式可得与轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点，的坐标，通过相应规律得到坐标即可．
此题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与轴夹角是解决本题的突破点；根据含的直角三角形的特点依次得到、、、的点的坐标是解决本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
根据二次根式的基本性质进行解答即可．
本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的基本性质是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为，
所以此三角形为直角三角形，两直角边的边长分别为、，斜边为，
所以此三角形的面积为：．
故答案为：．
根据三角形三边长，利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形，然后即可求得面积．
此题主要考查学生对勾股定理逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形．
 

13.【答案】 

【解析】解：的周长是，
，
、、分别是的中位线，
，，，
的周长，
故答案为：．
根据三角形的周长公式、三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得：且，
解得：，
故答案为：．
根据一次函数定义可得：，且，再解即可．
此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握一次函数解析式的结构特征：；自变量的次数为；常数项可以为任意实数．
 

15.【答案】 

【解析】解：一次函数与平行，
，
又函数经过点
，解得：
函数的表达式为．
根据一次函数与平行，可求得的值，再把点代入即可求得一次函数的解析式．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，比较简单，同学们要熟练掌握．
 

16.【答案】 

【解析】解：将代入方程得：，
解得：．
故答案为：．
根据是已知方程的解，将代入方程即可求出的值．
本题考查了一元二次方程的解．解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

17.【答案】 

【解析】解：作于，如图：
由题意得：平分，
四边形是矩形，
，，
，
，
平分，
，
在和中，，
≌，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
，
，
的周长为，
故答案为：．
作于，由题意得平分，证≌，得出，，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程得出，由三角形周长公式即可得出答案．
本题考查了作图基本作图，矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

19.【答案】解：



，
当时，． 

【解析】先对分式分母进行分式因解，把除法部分化成乘法形式，再进行化简求值．
本题考查了学生对分式综合运算能力，式子比较复杂，做题过程中要细心，综合性比较强．
 

20.【答案】证明：在平行四边形中，，
又，
，
，．
，
在和中，
，
≌；
解：在中，，，
，
≌，
． 

【解析】利用平行四边形的性质得出，，进而利用全等三角形的判定得出即可；
在中根据，得到，然后根据≌，求得．
考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，得出≌是解题关键．
 

21.【答案】解：把，代入得，
，
解得．
所以一次函数解析式为；
把代入得，
所以点坐标为，
所以的面积

． 

【解析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积待定系数法的一般步骤是：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而求出函数解析式．
先把点和点的坐标代入得到关于、的方程组，解方程组得到、的值，从而得到一次函数的解析式；
先确定点坐标，然后根据三角形面积公式和的面积进行计算．
 

22.【答案】   

【解析】解：射击环数的人数有个，人数最多，
该小组射击数据的众数是；
共人，中位数为第和第人的平均数，即，
故答案为：，；

该小组的平均成绩为：环；

根据题意得：
名，
答：在名新生中有名可以评为优秀射手．
根据众数和中位数的定义即可得出答案；
根据平均数的计算公式进行计算即可；
用乘以优秀选手所占的百分比即可得出答案．
此题考查了众数、平均数和用样本估计总体，掌握众数的定义、用样本估计总体和平均数的计算公式是本题的关键．
 

23.【答案】解：设商场应购进型台灯盏，则型台灯为盏，
根据题意得，，
解得，
所以，，
答：应购进型台灯盏，型台灯盏；

设商场销售完这批台灯可获利元，
则，
，
，
即，
型台灯的进货数量不超过型台灯数量的倍，
，
，
，随的增大而减小，
时，取得最大值，为元
答：商场购进型台灯盏，型台灯盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为元． 

【解析】设商场应购进型台灯盏，表示出型台灯为盏，然后根据进货款型台灯的进货款型台灯的进货款列出方程求解即可；
设商场销售完这批台灯可获利元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值．
本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性，题中理清题目数量关系并列式求出的取值范围是解题的关键．
 

24.【答案】解：，
，
，
设直线的解析式为，
，解得，，
直线的解析式为；

在中，，
点、点关于直线对称，
设，，
，，
在中，，
，
，
点在直线上，
设，
，，
，
，
，
，
；

如图：连接，

与的面积相等，
与的面积相等，
，
，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
在直线上，
，
直线的解析式为，
联立，
，
 

【解析】求出，然后用待定系数法即可求直线解析式；
利用折叠的性质以及勾股定理求出点的坐标，设，由，利用三角形函数值求出，即可得点的坐标；
由面积相等可推导出，求出直线的解析式为，联立方程即可求点坐标．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，轴对称的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
 

25.【答案】解：设点关于直线的对称点为，连接交于，连接，如图：

，
，，
，
设直线的解析式为，则，解得：，
直线的解析式为，
当时，，
解得，
，
的最小值；
设与交于点，由平行四边形的中心对称性可知，直线将平行四边分成面积相等的两部分，则直线经过点，
如图：

在平行四边形中，，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为；
存在，理由如下：
，，
，
以为边时，如图：

此时，
，，
当与重合时，如图：

此时，过作平行线，过作的平行线，两平行线交于，此时四边形为菱形，
，
以为对角线时，如图：

设此时，由可得：，
解得，
，
综上所述，以、、、为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或或． 

【解析】“将军饮马”模型：设点关于直线的对称点为，连接交于，连接，求出直线的解析式为，即得，的最小值；
设与交于点，则直线经过点，由，得点的坐标为，用待定系数法即可求得直线的解析式为；
分类画出图象：以为边时，可得，即得，，当与重合时，四边形为菱形，可得；
以为对角线时，设此时，由可得：，即可求出．
本题考查平行四边形性质及应用，涉及待定系数法，一次函数图象、“将军饮马”问题等知识，解题的关键是分类画出图形，数形结合解决问题．