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2023-2024学年广东省东莞市松山湖实验中学教育集团九年级（上）期末数学试卷(含解析）
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这是一份2023-2024学年广东省东莞市松山湖实验中学教育集团九年级（上）期末数学试卷(含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列事件中为必然事件的是( )
A. 购买一张彩票，中奖B. 打开电视，正在播放广告
C. 抛一枚硬币，正面向上D. 从三个黑球中摸出一个是黑球
3.抛物线y=2x2−3的顶点坐标是( )
A. (0,−3)B. (−3,0)C. (−34,0)D. (0,−34)
4.若双曲线y=k−1x的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是( )
A. k<1B. k>1C. 05.如图，△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是( )
A. C1C2=32
B. S1S2=32
C. OBCD=32
D. OAOD=32
6.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB=4，OC=1，则⊙O的半径为( )
A. 3
B. 5
C. 2 5
D. 6
7.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( )
A. 50(1+x)2=182B. 50+50(1+x)+50(1+x)2=182
C. 50(1+2x)=182D. 50+50(1+x)+50(1+2x)2=182
8.配方法解方程2x2−43x−2=0应把它先变形为( )
A. (x−13)2=89B. (x−23)2=0C. (x−23)2=89D. (x−13)2=109
9.如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D(5,3)在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是( )
A. (−2,0)
B. (−2,10)
C. (2,10)或(−2,0)
D. (10,2)或(−2,10)
10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知点P(2,−3)与点Q(a,b)关于原点对称，则a+b= ．
12.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在函数y=2x(x>0)的图象上，AC⊥x轴于点C，连接OA，则△OAC面积为 ．
13.如图，已知AB//CD//EF，若AC：CE=2：5，BD=6，则BF的值是 ．
14.若抛物线y=2x2−3x+c与直线y=x+1没有交点，则c的取值范围是 ．
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，⊙C的半径为1，点P是斜边AB上的点，过点P作⊙C的一条切线PQ(点Q是切点)，则线段PQ的最小值为 ．
三、解答题：本题共10小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
解方程：x2−7x−8=0．
17.(本小题5分)
一元二次方程x2−4x−c=0的一个根是2+ 3，求另一个根及c的值．
18.(本小题7分)
如图，△ABC为等边三角形，将AC边绕点C顺时针旋转40°，得到线段CD，连接BD，求∠CBD的度数．
19.(本小题7分)
如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C．
(1)求证：△ABD∽△CBA；
(2)若AB=6，BD=3，求CD的长．
20.(本小题7分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4)，B(1,1)，C(4,3)．
(1)请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1；
(2)求出(1)中C点旋转到C1点所经过的路径长(结果保留π)．
21.(本小题8分)
一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字−2，−1，0，1，它们除数字不同外，其他完全相同．
(1)随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是______ ．
(2)小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标；然后放回搅匀.接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标.如图，已知四边形的四个顶点的坐标分别为A(−2,0)，B(0,−2)，C(1,0)，D(0,1)，求点M落在四边形ABCD内部(含边界)的概率．
22.(本小题8分)
劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉.某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与到农耕劳作中.如图，现准备利用校园围墙的一段MN(MN最长可用25m)，用40m长的篱笆，围成一个矩形菜园ABCD．
(1)当AB长度为多少时，矩形菜园的面积为150m2？
(2)当AB长度为多少时，矩形菜园的面积最大？最大值是多少？
23.(本小题8分)
如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A(1,3)，B(3,n)．
(1)直接写出m= ______ ；n= ______ ；
(2)请结合图象直接写出不等式kx+b>mx的解集是______ ；
(3)在y轴上是否存在一点P，使△PAB是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，DE交AC于点E，且∠A=∠ADE．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AD=16，DE=10，求BC的长．
25.(本小题10分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c经过点A(3,0)，点B(0,3)
(1)求抛物线表达式和顶点C的坐标；
(2)点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点Q，
①直线PQ交x轴于点M，联结BQ、OP，如果S△BPQ=2S△OPM，求PM的长；
②将上述抛物线向下平移，使得顶点C的对应点D恰好与点Q关于直线AB对称，求平移的距离．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解答本题的关键是掌握：轴对称图形是要寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、购买一张彩票，中奖是随机事件；
B、打开电视，正在播放广告是随机事件；
C、抛一枚硬币，正面向上是随机事件；
D、从三个黑球中摸出一个是黑球是必然事件；
故选：D．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】A
【解析】解：∵抛物线y=2x2−3，
∴该抛物线的顶点坐标为(0,−3)，
故选：A．
根据题目中的函数解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4.【答案】B
【解析】解：∵双曲线y=k−1x的图象的一支位于第三象限，
∴k−1>0，
∴k>1；
故选：B．
反比例函数的图象是双曲线，当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．
此题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数y=kx(k≠0)，当k>0时，图象在第一、三象限，且在每一个象限y随x的增大而减小；当k<0时，函数图象在第二、四象限，且在每一个象限y随x的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
根据相似三角形的性质判断即可．
本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．
【解答】
解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，
∴C1C2=32，A正确；
∴S1S2=94，B错误；
∴OBOD=32，C错误；
∴OA：OC=3：2，D错误；
故选：A．
6.【答案】B
【解析】【分析】
根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OA，即可得出答案．
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．
【解答】
解：∵OC⊥AB，OC过O，
∴CD=12AB，
∵AB=4，
∴AC=2，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OA= 22+1= 5，
即⊙O的半径是 5，
故选：B．
7.【答案】B
【解析】【分析】
主要考查由实际问题抽象出一元二次方程增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【解答】
解：依题意得五、六月份的产量为50(1+x)、50(1+x)2，
∴50+50(1+x)+50(1+x)2=182．
故选：B．
8.【答案】D
【解析】解：方程2x2−43x−2=0变形得：x2−23x=1，
配方得：x2−23x+19=109，即(x−13)2=109．
故选D．
方程常数项移到右边，二次项系数化为1，两边加上一次项系数一半的平方，计算得到结果，即可做出判断．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：因为点D(5,3)在边AB上，
所以AO=AB=BC=5，BD=5−3=2；
(1)以C为中心，若把△CDB顺时针旋转90°，
则点D′在x轴上，OD′=BD=2，
所以D′(−2,0)；
(2)以C为中心，若把△CDB逆时针旋转90°，
则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以D′(2,10)，
综上，旋转后点D的对应点D′的坐标为(−2,0)或(2,10)．
故选：C．
根据题意，分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，求出点D′到x轴、y轴的距离，即可判断出旋转后点D的对应点D′的坐标．
此题主要考查了坐标与图形变化−旋转，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是要注意分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况．
10.【答案】C
【解析】解：因为二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，得出a>0，抛物线与y轴交点在y轴的负半轴，得出c<0，利用对称轴为直线x=−b2a<0，得出b>0，
所以一次函数y=ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y=cx经过二、四象限，
故选：C．
根据二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，得出a>0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c<0，利用对称轴x=−b2a<0，得出b>0，进而对照四个选项中的图象即可得出结论．
本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象，得出a>0、b>0、c<0是解题的关键．
11.【答案】1
【解析】【分析】
根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
本题考查了关于原点对称的点的坐标的特征，即若两个点关于原点对称，则这两个点的横坐标与纵坐标都互为相反数．
【解答】
解：由点P(2,−3)与点Q(a,b)关于原点对称，得
a=−2，b=3，
则a+b=−2+3=1，
故答案为：1．
12.【答案】1
【解析】【分析】
根据反比例函数比例系数k的几何意义可得S△OAC=12×2=1，再相加即可．
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，掌握过反比例函数图象上的点向x轴或y轴作垂线，这一点和垂足、原点组成的三角形的面积的计算方法是解本题的关键．
【解答】
解：∵函数y=2x(x>0)的图象经过点A，AC⊥x轴于点C，
∴S△OAC=12×2=1，
故答案为1．
13.【答案】21
【解析】解：∵AB//CD//EF，AC：CE=2：5，
∴ACCE=BDDF，
即25=6DF，
∴DF=15，
∴BF=BD+DF=6+15=21，
故答案为：21．
利用平行线分线段成比例定理得到ACCE=BDDF，从而可计算出DF的长，然后计算BD和DF的和即可．
本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例是解题的关键．
14.【答案】c>3
【解析】【分析】
根据两个函数的图象没有交点，则两个函数关系式组成的方程组无解，从而得出答案．
本题考查二次函数与一元二次方程，理解两个函数图象没有公共点的意义是解决问题的关键．
【解答】
解：因为抛物线y=2x2−3x+c与直线y=x+1没有交点，
所以一元二次方程2x2−3x+c=x+1没有实数根，
即2x2−4x+c−1=0无实数根，
所以由根的判别式可得：b2−4ac=16−8(c−1)<0，
解得：c>3，
故答案为：c>3．
15.【答案】 2
【解析】【分析】
本题考查的是切线的性质、垂线段最短，含30°角的直角三角形的性质，推出当CP最小时，PQ最小是解题的关键．
连接CP，过点C作CP′⊥AB于P′，根据切线的性质得到CQ⊥PQ，根据三角形的面积公式求出CP′，再根据勾股定理、垂线段最短解答即可．
【解答】
解：连接CP，过点C作CP′⊥AB于P′，
∵PQ是⊙C的切线，
∴CQ⊥PQ，
∴PQ= CP2−CQ2= CP2−1，
当CP⊥AB时，CP最小，则PQ最小，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2
∴AB=4，AC= AB2−BC2=2 3，
在Rt△ABC中，AB×CP′=AC×BC，
得CP′= 3
∴PQ的最小值为： ( 3)2−1= 2，
故答案为： 2．
16.【答案】解：∵x2−7x−8=0，
∴(x+1)(x−8)=0，
则x+1=0或x−8=0，
解得x1=−1，x2=8．
【解析】利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
17.【答案】解：设方程另一个根为x1，
根据题意得x1+2+ 3=4，x1⋅(2+ 3)=−c，
∴x1=2− 3，
∴−c=(2− 3)(2+ 3)=4−3=1，
∴c=−1．
【解析】设方程另一个根为x1，先利用两根之和计算出x1，然后利用两根之积求出c的值．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
18.【答案】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵将AC边绕点C顺时针旋转40°，
∴∠ACD=40°，AC=CD=BC，
∴∠BCD=100°，
∴∠CBD=∠D=40°．
【解析】由旋转的性质可得∠ACD=40°，AC=CD=BC，由等边三角形的性质可求∠CBD=40°，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
19.【答案】证明：(1)∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA；
(2)∵△ABD∽△CBA，
∴BABC=BDAB，
∵AB=6，BD=3，
∴6BC=36，
∴BC=12，
∴CD=BC−BD=12−3=9．
【解析】(1)根据相似三角形的判定解答即可；
(2)由相似三角形的性质可得BABC=BDAB，可求BC的长，从而可得到CD的值．
本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，由角相等得到三角形相似是解决本题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作三角形：
(2)根据题意得：
OC= 32+42=5，
所以C点旋转到C1点所经过的路径长为：90⋅π⋅5180=2.5π．
【解析】(1)利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)由于点C旋转到C1所经过的路径为以0为圆心，OC为半径，圆心角为90度的弧，所以利用弧长公式可计算出点C旋转到C1所经过的路径长．
本题考查了作图−旋转变换，掌握旋转的性质是解题的关键．
21.【答案】14
【解析】解：(1)在−2，−1，0，1中正数有1个，
∴摸出的球上面标的数字为正数的概率是14，
故答案为：14．
(2)列表如下：
由表知，共有16种等可能结果，其中点M落在四边形ABCD所围成的部分内(含边界)的有：
(−2,0)、(−1,−1)、(−1,0)、(0,−2)、(0,−1)、(0,0)、(0,1)、(1,0)这8个，
所以点M落在四边形ABCD所围成的部分内(含边界)的概率为12．
(1)直接利用概率公式计算可得；
(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：(1)设当AB长度为xm时，矩形菜园的面积为150m2，
根据题意得：x(40−2x)=150，
解得：x=5或x=15，
∵当x=5时，40−2x=30，不符合题意，
∴x=5舍去，
答：当AB长度为15m时，矩形菜园的面积为150m2．
(2)设当AB长度为a m时，S最大，
S=a(40−2a)
S=40a−2a2．
∴AB=−402×(−2)=10(m)，
S=4×(−2)×0−4024×(−2)=200(m)，
答：当AB长度为10m时，矩形菜园的面积最大，最大值是200m．
【解析】(1)设AB=xm，则BC=(40−2x)m，根据矩形花园的面积为150m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合围墙MN最长可利用25m，即可确定结论；
(2)设当AB长度为a m时，S最大，列出函数关系式，推理求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23.【答案】3 1 x<0或1【解析】解：(1)∵反比例函数y=mx的图象经过A(1,3)，
∴3=m1，则m=3，
∴反比例函数的表达式为y=3x，
又∵点B(3,n)在反比例函数y=3x的图象上．
∴n=1，
故答案为：3，1；
(2)∵A(1,3)，B(3,1)，
观察图象可知，不等式kx+b>mx的解集为x<0或1故答案为：x<0或1(3)在y轴上存在一点P，使△PAB是等腰三角形；理由如下：
∵A(1,3)，B(3,1)，
∴AB= (3−1)2+(3−1)2=2 2，
设点P坐标为(0,p)，
①当PA=AB时，得： 12+(p−3)2=2 2，
解得：p=3+ 7或3− 7，
此时点P坐标为(0,3+ 7)或(0,3− 7)；
②当PB=AB时，得： 32+(p−1)2=2 2，
此时无解；
③当PA=PB时，得： (0−1)2+(p−3)2= (0−3)2+(p−1)2，
解得：p=0，
此时点P坐标为(0,0)，
综上，点P的坐标为(0,3+ 7)或(0,3− 7)或(0,0)．
(1)先把点A的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，从而得出反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值；
(2)根据图象即可求得；
(3)分AP=AB，BP=AB，AP=BP三种情况考虑，根据等腰三角形的性质或利用两点间的距离公式列出方程，即可求解．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，根据点A的坐标求出反比例函数解析式是解题的突破口，也是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：如图，连接OD，∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
又∵OD=OB，
∴∠B=∠BDO，
∵∠ADE=∠A，
∴∠ADE+∠BDO=90°，
∴∠ODE=90°.
∴DE是⊙O的切线；
(2)如图，连接CD，
∵∠ADE=∠A，
∴AE=DE．
∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°．
∴EC是⊙O的切线．
∴DE=EC．
∴AE=EC，
又∵DE=10，
∴AC=2DE=20，
在Rt△ADC中，DC= 202−162=12，
设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，
在Rt△ABC中，BC2=(x+16)2−202，
∴x2+122=(x+16)2−202，解得x=9，
∴BC= 122+92=15．
【解析】(1)根据∠ACB=90°，∠A+∠B=90°，又OD=OB，可以得出∠B=∠BDO，又因为∠ADE=∠A，所以∠ADE+∠BDO=90°， 能证出∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可．
(2)首先证明AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC=12，设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=(x+16)2−202，可得x2+122=(x+16)2−202，解方程即可解决问题．
本题考查切线的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：(1)将A(3,0)，点B(0,3)代入抛物线y=−x2+bx+c得：
−9+3b+c=0c=3，
解得b=2c=3，
∴抛物线表达式为y=−x2+2x+3，
∴y=−(x−1)2+4，
∴顶点C的坐标为(1,4)；
(2)①设点P的横坐标为m，则Q(m,−m2+2m+3)，M(m,0)，
设直线AC的解析式为y=kx+n，
将A(3,0)，C(0,3)代入得，
n=33k+n=0，
解得k=−1n=3，
∴直线AC的解析式为y=−x+3，
∴P(m,−m+3)，
∴PQ=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m，PM=−m+3，
∵S△BPQ=2S△OPM，
∴12PQ⋅OM=2×12OM⋅PM，
∴PQ=2PM，
即−m2+3m=2(−m+3)，
解得m=2，
∴PM=−m+3=1；
②如图：对称轴CD交AB于E，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∵PQ⊥x轴，
∴∠QPB=∠OBA=45°，
∵D，Q关于AB对称，DQ⊥AB，
∴△PQF≌△PDF，
∴PQ=PD，∠QPF=∠DPF=45°，
∴∠QPD=90°，
∴PD//x轴，
∴PD=m−1，PQ=−m2+3m，
∴m−1=−m2+3m，
解得m=1+ 2或m=1− 2(舍去)，
∴P(1+ 2,2− 2)，
∴yD=2− 2，
∴CD=yC−yD=4−(2− 2)=2+ 2．
即平移的距离为2+ 2．
【解析】(1)用待定系数法求函数解析式即可；
(2)①设点P的横坐标为m，则Q(m,−m2+2m+3)，M(m,0)，用待定系数法求出直线AC的解析式，从而得出点P坐标，根据S△BPQ=2S△OPM，列出关于m的方程，解方程即可；
②根据OA=OB，PQ⊥x轴，得出∠QPB=∠OBA=45°，再根据点D恰好与点Q关于直线AB对称，得出PD//x轴且PQ=PD，然后列出关于m的方程，求出m，即点P坐标即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，用点的坐标表示线段长度，二次函数的几何变换等知识，关键是对二次函数性质的掌握和运用．−2
−1
0
1
−2
(−2,−2)
(−1,−2)
(0,−2)
(1,−2)
−1
(−2,−1)
(−1,−1)
(0,−1)
(1,−1)
0
(−2,0)
(−1,0)
(0,0)
(1,0)
1
(−2,1)
(−1,1)
(0,1)
(1,1)
1.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列事件中为必然事件的是( )
A. 购买一张彩票，中奖B. 打开电视，正在播放广告
C. 抛一枚硬币，正面向上D. 从三个黑球中摸出一个是黑球
3.抛物线y=2x2−3的顶点坐标是( )
A. (0,−3)B. (−3,0)C. (−34,0)D. (0,−34)
4.若双曲线y=k−1x的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是( )
A. k<1B. k>1C. 0
A. C1C2=32
B. S1S2=32
C. OBCD=32
D. OAOD=32
6.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB=4，OC=1，则⊙O的半径为( )
A. 3
B. 5
C. 2 5
D. 6
7.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( )
A. 50(1+x)2=182B. 50+50(1+x)+50(1+x)2=182
C. 50(1+2x)=182D. 50+50(1+x)+50(1+2x)2=182
8.配方法解方程2x2−43x−2=0应把它先变形为( )
A. (x−13)2=89B. (x−23)2=0C. (x−23)2=89D. (x−13)2=109
9.如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D(5,3)在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是( )
A. (−2,0)
B. (−2,10)
C. (2,10)或(−2,0)
D. (10,2)或(−2,10)
10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知点P(2,−3)与点Q(a,b)关于原点对称，则a+b= ．
12.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在函数y=2x(x>0)的图象上，AC⊥x轴于点C，连接OA，则△OAC面积为 ．
13.如图，已知AB//CD//EF，若AC：CE=2：5，BD=6，则BF的值是 ．
14.若抛物线y=2x2−3x+c与直线y=x+1没有交点，则c的取值范围是 ．
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，⊙C的半径为1，点P是斜边AB上的点，过点P作⊙C的一条切线PQ(点Q是切点)，则线段PQ的最小值为 ．
三、解答题：本题共10小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
解方程：x2−7x−8=0．
17.(本小题5分)
一元二次方程x2−4x−c=0的一个根是2+ 3，求另一个根及c的值．
18.(本小题7分)
如图，△ABC为等边三角形，将AC边绕点C顺时针旋转40°，得到线段CD，连接BD，求∠CBD的度数．
19.(本小题7分)
如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C．
(1)求证：△ABD∽△CBA；
(2)若AB=6，BD=3，求CD的长．
20.(本小题7分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4)，B(1,1)，C(4,3)．
(1)请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1；
(2)求出(1)中C点旋转到C1点所经过的路径长(结果保留π)．
21.(本小题8分)
一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字−2，−1，0，1，它们除数字不同外，其他完全相同．
(1)随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是______ ．
(2)小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标；然后放回搅匀.接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标.如图，已知四边形的四个顶点的坐标分别为A(−2,0)，B(0,−2)，C(1,0)，D(0,1)，求点M落在四边形ABCD内部(含边界)的概率．
22.(本小题8分)
劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉.某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与到农耕劳作中.如图，现准备利用校园围墙的一段MN(MN最长可用25m)，用40m长的篱笆，围成一个矩形菜园ABCD．
(1)当AB长度为多少时，矩形菜园的面积为150m2？
(2)当AB长度为多少时，矩形菜园的面积最大？最大值是多少？
23.(本小题8分)
如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A(1,3)，B(3,n)．
(1)直接写出m= ______ ；n= ______ ；
(2)请结合图象直接写出不等式kx+b>mx的解集是______ ；
(3)在y轴上是否存在一点P，使△PAB是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，DE交AC于点E，且∠A=∠ADE．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AD=16，DE=10，求BC的长．
25.(本小题10分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c经过点A(3,0)，点B(0,3)
(1)求抛物线表达式和顶点C的坐标；
(2)点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点Q，
①直线PQ交x轴于点M，联结BQ、OP，如果S△BPQ=2S△OPM，求PM的长；
②将上述抛物线向下平移，使得顶点C的对应点D恰好与点Q关于直线AB对称，求平移的距离．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解答本题的关键是掌握：轴对称图形是要寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、购买一张彩票，中奖是随机事件；
B、打开电视，正在播放广告是随机事件；
C、抛一枚硬币，正面向上是随机事件；
D、从三个黑球中摸出一个是黑球是必然事件；
故选：D．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】A
【解析】解：∵抛物线y=2x2−3，
∴该抛物线的顶点坐标为(0,−3)，
故选：A．
根据题目中的函数解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4.【答案】B
【解析】解：∵双曲线y=k−1x的图象的一支位于第三象限，
∴k−1>0，
∴k>1；
故选：B．
反比例函数的图象是双曲线，当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．
此题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数y=kx(k≠0)，当k>0时，图象在第一、三象限，且在每一个象限y随x的增大而减小；当k<0时，函数图象在第二、四象限，且在每一个象限y随x的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
根据相似三角形的性质判断即可．
本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．
【解答】
解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，
∴C1C2=32，A正确；
∴S1S2=94，B错误；
∴OBOD=32，C错误；
∴OA：OC=3：2，D错误；
故选：A．
6.【答案】B
【解析】【分析】
根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OA，即可得出答案．
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．
【解答】
解：∵OC⊥AB，OC过O，
∴CD=12AB，
∵AB=4，
∴AC=2，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OA= 22+1= 5，
即⊙O的半径是 5，
故选：B．
7.【答案】B
【解析】【分析】
主要考查由实际问题抽象出一元二次方程增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【解答】
解：依题意得五、六月份的产量为50(1+x)、50(1+x)2，
∴50+50(1+x)+50(1+x)2=182．
故选：B．
8.【答案】D
【解析】解：方程2x2−43x−2=0变形得：x2−23x=1，
配方得：x2−23x+19=109，即(x−13)2=109．
故选D．
方程常数项移到右边，二次项系数化为1，两边加上一次项系数一半的平方，计算得到结果，即可做出判断．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：因为点D(5,3)在边AB上，
所以AO=AB=BC=5，BD=5−3=2；
(1)以C为中心，若把△CDB顺时针旋转90°，
则点D′在x轴上，OD′=BD=2，
所以D′(−2,0)；
(2)以C为中心，若把△CDB逆时针旋转90°，
则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以D′(2,10)，
综上，旋转后点D的对应点D′的坐标为(−2,0)或(2,10)．
故选：C．
根据题意，分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，求出点D′到x轴、y轴的距离，即可判断出旋转后点D的对应点D′的坐标．
此题主要考查了坐标与图形变化−旋转，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是要注意分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况．
10.【答案】C
【解析】解：因为二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，得出a>0，抛物线与y轴交点在y轴的负半轴，得出c<0，利用对称轴为直线x=−b2a<0，得出b>0，
所以一次函数y=ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y=cx经过二、四象限，
故选：C．
根据二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，得出a>0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c<0，利用对称轴x=−b2a<0，得出b>0，进而对照四个选项中的图象即可得出结论．
本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象，得出a>0、b>0、c<0是解题的关键．
11.【答案】1
【解析】【分析】
根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
本题考查了关于原点对称的点的坐标的特征，即若两个点关于原点对称，则这两个点的横坐标与纵坐标都互为相反数．
【解答】
解：由点P(2,−3)与点Q(a,b)关于原点对称，得
a=−2，b=3，
则a+b=−2+3=1，
故答案为：1．
12.【答案】1
【解析】【分析】
根据反比例函数比例系数k的几何意义可得S△OAC=12×2=1，再相加即可．
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，掌握过反比例函数图象上的点向x轴或y轴作垂线，这一点和垂足、原点组成的三角形的面积的计算方法是解本题的关键．
【解答】
解：∵函数y=2x(x>0)的图象经过点A，AC⊥x轴于点C，
∴S△OAC=12×2=1，
故答案为1．
13.【答案】21
【解析】解：∵AB//CD//EF，AC：CE=2：5，
∴ACCE=BDDF，
即25=6DF，
∴DF=15，
∴BF=BD+DF=6+15=21，
故答案为：21．
利用平行线分线段成比例定理得到ACCE=BDDF，从而可计算出DF的长，然后计算BD和DF的和即可．
本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例是解题的关键．
14.【答案】c>3
【解析】【分析】
根据两个函数的图象没有交点，则两个函数关系式组成的方程组无解，从而得出答案．
本题考查二次函数与一元二次方程，理解两个函数图象没有公共点的意义是解决问题的关键．
【解答】
解：因为抛物线y=2x2−3x+c与直线y=x+1没有交点，
所以一元二次方程2x2−3x+c=x+1没有实数根，
即2x2−4x+c−1=0无实数根，
所以由根的判别式可得：b2−4ac=16−8(c−1)<0，
解得：c>3，
故答案为：c>3．
15.【答案】 2
【解析】【分析】
本题考查的是切线的性质、垂线段最短，含30°角的直角三角形的性质，推出当CP最小时，PQ最小是解题的关键．
连接CP，过点C作CP′⊥AB于P′，根据切线的性质得到CQ⊥PQ，根据三角形的面积公式求出CP′，再根据勾股定理、垂线段最短解答即可．
【解答】
解：连接CP，过点C作CP′⊥AB于P′，
∵PQ是⊙C的切线，
∴CQ⊥PQ，
∴PQ= CP2−CQ2= CP2−1，
当CP⊥AB时，CP最小，则PQ最小，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2
∴AB=4，AC= AB2−BC2=2 3，
在Rt△ABC中，AB×CP′=AC×BC，
得CP′= 3
∴PQ的最小值为： ( 3)2−1= 2，
故答案为： 2．
16.【答案】解：∵x2−7x−8=0，
∴(x+1)(x−8)=0，
则x+1=0或x−8=0，
解得x1=−1，x2=8．
【解析】利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
17.【答案】解：设方程另一个根为x1，
根据题意得x1+2+ 3=4，x1⋅(2+ 3)=−c，
∴x1=2− 3，
∴−c=(2− 3)(2+ 3)=4−3=1，
∴c=−1．
【解析】设方程另一个根为x1，先利用两根之和计算出x1，然后利用两根之积求出c的值．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
18.【答案】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵将AC边绕点C顺时针旋转40°，
∴∠ACD=40°，AC=CD=BC，
∴∠BCD=100°，
∴∠CBD=∠D=40°．
【解析】由旋转的性质可得∠ACD=40°，AC=CD=BC，由等边三角形的性质可求∠CBD=40°，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
19.【答案】证明：(1)∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA；
(2)∵△ABD∽△CBA，
∴BABC=BDAB，
∵AB=6，BD=3，
∴6BC=36，
∴BC=12，
∴CD=BC−BD=12−3=9．
【解析】(1)根据相似三角形的判定解答即可；
(2)由相似三角形的性质可得BABC=BDAB，可求BC的长，从而可得到CD的值．
本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，由角相等得到三角形相似是解决本题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作三角形：
(2)根据题意得：
OC= 32+42=5，
所以C点旋转到C1点所经过的路径长为：90⋅π⋅5180=2.5π．
【解析】(1)利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)由于点C旋转到C1所经过的路径为以0为圆心，OC为半径，圆心角为90度的弧，所以利用弧长公式可计算出点C旋转到C1所经过的路径长．
本题考查了作图−旋转变换，掌握旋转的性质是解题的关键．
21.【答案】14
【解析】解：(1)在−2，−1，0，1中正数有1个，
∴摸出的球上面标的数字为正数的概率是14，
故答案为：14．
(2)列表如下：
由表知，共有16种等可能结果，其中点M落在四边形ABCD所围成的部分内(含边界)的有：
(−2,0)、(−1,−1)、(−1,0)、(0,−2)、(0,−1)、(0,0)、(0,1)、(1,0)这8个，
所以点M落在四边形ABCD所围成的部分内(含边界)的概率为12．
(1)直接利用概率公式计算可得；
(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：(1)设当AB长度为xm时，矩形菜园的面积为150m2，
根据题意得：x(40−2x)=150，
解得：x=5或x=15，
∵当x=5时，40−2x=30，不符合题意，
∴x=5舍去，
答：当AB长度为15m时，矩形菜园的面积为150m2．
(2)设当AB长度为a m时，S最大，
S=a(40−2a)
S=40a−2a2．
∴AB=−402×(−2)=10(m)，
S=4×(−2)×0−4024×(−2)=200(m)，
答：当AB长度为10m时，矩形菜园的面积最大，最大值是200m．
【解析】(1)设AB=xm，则BC=(40−2x)m，根据矩形花园的面积为150m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合围墙MN最长可利用25m，即可确定结论；
(2)设当AB长度为a m时，S最大，列出函数关系式，推理求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23.【答案】3 1 x<0或1
∴3=m1，则m=3，
∴反比例函数的表达式为y=3x，
又∵点B(3,n)在反比例函数y=3x的图象上．
∴n=1，
故答案为：3，1；
(2)∵A(1,3)，B(3,1)，
观察图象可知，不等式kx+b>mx的解集为x<0或1
∵A(1,3)，B(3,1)，
∴AB= (3−1)2+(3−1)2=2 2，
设点P坐标为(0,p)，
①当PA=AB时，得： 12+(p−3)2=2 2，
解得：p=3+ 7或3− 7，
此时点P坐标为(0,3+ 7)或(0,3− 7)；
②当PB=AB时，得： 32+(p−1)2=2 2，
此时无解；
③当PA=PB时，得： (0−1)2+(p−3)2= (0−3)2+(p−1)2，
解得：p=0，
此时点P坐标为(0,0)，
综上，点P的坐标为(0,3+ 7)或(0,3− 7)或(0,0)．
(1)先把点A的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，从而得出反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值；
(2)根据图象即可求得；
(3)分AP=AB，BP=AB，AP=BP三种情况考虑，根据等腰三角形的性质或利用两点间的距离公式列出方程，即可求解．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，根据点A的坐标求出反比例函数解析式是解题的突破口，也是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：如图，连接OD，∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
又∵OD=OB，
∴∠B=∠BDO，
∵∠ADE=∠A，
∴∠ADE+∠BDO=90°，
∴∠ODE=90°.
∴DE是⊙O的切线；
(2)如图，连接CD，
∵∠ADE=∠A，
∴AE=DE．
∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°．
∴EC是⊙O的切线．
∴DE=EC．
∴AE=EC，
又∵DE=10，
∴AC=2DE=20，
在Rt△ADC中，DC= 202−162=12，
设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，
在Rt△ABC中，BC2=(x+16)2−202，
∴x2+122=(x+16)2−202，解得x=9，
∴BC= 122+92=15．
【解析】(1)根据∠ACB=90°，∠A+∠B=90°，又OD=OB，可以得出∠B=∠BDO，又因为∠ADE=∠A，所以∠ADE+∠BDO=90°， 能证出∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可．
(2)首先证明AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC=12，设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=(x+16)2−202，可得x2+122=(x+16)2−202，解方程即可解决问题．
本题考查切线的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：(1)将A(3,0)，点B(0,3)代入抛物线y=−x2+bx+c得：
−9+3b+c=0c=3，
解得b=2c=3，
∴抛物线表达式为y=−x2+2x+3，
∴y=−(x−1)2+4，
∴顶点C的坐标为(1,4)；
(2)①设点P的横坐标为m，则Q(m,−m2+2m+3)，M(m,0)，
设直线AC的解析式为y=kx+n，
将A(3,0)，C(0,3)代入得，
n=33k+n=0，
解得k=−1n=3，
∴直线AC的解析式为y=−x+3，
∴P(m,−m+3)，
∴PQ=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m，PM=−m+3，
∵S△BPQ=2S△OPM，
∴12PQ⋅OM=2×12OM⋅PM，
∴PQ=2PM，
即−m2+3m=2(−m+3)，
解得m=2，
∴PM=−m+3=1；
②如图：对称轴CD交AB于E，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∵PQ⊥x轴，
∴∠QPB=∠OBA=45°，
∵D，Q关于AB对称，DQ⊥AB，
∴△PQF≌△PDF，
∴PQ=PD，∠QPF=∠DPF=45°，
∴∠QPD=90°，
∴PD//x轴，
∴PD=m−1，PQ=−m2+3m，
∴m−1=−m2+3m，
解得m=1+ 2或m=1− 2(舍去)，
∴P(1+ 2,2− 2)，
∴yD=2− 2，
∴CD=yC−yD=4−(2− 2)=2+ 2．
即平移的距离为2+ 2．
【解析】(1)用待定系数法求函数解析式即可；
(2)①设点P的横坐标为m，则Q(m,−m2+2m+3)，M(m,0)，用待定系数法求出直线AC的解析式，从而得出点P坐标，根据S△BPQ=2S△OPM，列出关于m的方程，解方程即可；
②根据OA=OB，PQ⊥x轴，得出∠QPB=∠OBA=45°，再根据点D恰好与点Q关于直线AB对称，得出PD//x轴且PQ=PD，然后列出关于m的方程，求出m，即点P坐标即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，用点的坐标表示线段长度，二次函数的几何变换等知识，关键是对二次函数性质的掌握和运用．−2
−1
0
1
−2
(−2,−2)
(−1,−2)
(0,−2)
(1,−2)
−1
(−2,−1)
(−1,−1)
(0,−1)
(1,−1)
0
(−2,0)
(−1,0)
(0,0)
(1,0)
1
(−2,1)
(−1,1)
(0,1)
(1,1)
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