高中人教B版 (2019)2.2.2 直线的方程完美版ppt课件

课程目标

学科素养

A. 1.理解直线与方程的关系.

2.理解点斜式方程和斜截式方程的推导,并能明确其适用条件.

3.知道直线的点斜式和斜截式方程的内在联系和参数含义.

4.能利用直线的点斜式方程和斜截式方程解决一些相关实际问题.(数学运算)

1.数学抽象：直线与方程的关系

2.逻辑推理：点斜式方程和斜截式方程的推导

3.数学运算：根据条件求直线的斜式和斜截式方程

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    问题导学

      设是平面直角坐标系中的直线，分别判断满足下列条件的是否唯一，如果唯一，作出相应的直线，并思考直线上任意一点的坐标（x, y）应满足什么条件?

（1）已知

（2）已知

（3）已知

（4）已知

   满足若P（x,y）为直线

问题1　在平面直角坐标系内,如果一条直线l经过的一个定点P0(x0,y0),其斜率为k,能否将直线上所有的点的坐标(x,y)满足的关系表示出来呢?

提示可以利用斜率公式k=得出y-y0=k(x-x0).

1.直线与方程

一般地,如果直线l上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,而且以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在直线l上,则称F(x,y)=0为直线l的方程,而直线l称为方程F(x,y)=0的直线.此时,为了简单起见,“直线l”也可说成“直线F(x,y)=0”,并且记作l:F(x,y)=0.

1.判断

(1)如图所示,线段AB的方程为y=x+1.(　　)

(2)在平面直角坐标系中,y轴所在直线方程为y=0.(　　)

答案:(1)×　(2)×

2.直线的点斜式方程

2.判断

直线y-3=m(x+9)恒过定点(9,-3).(　　)

答案:×

3.过点(1,1)且倾斜角为45°的直线的点斜式方程为　　　　. 

答案:y-1=x-1

4．方程=k和y-y0=k(x-x0)表示同一条直线吗?

提示:方程=k和y-y0=k(x-x0)不表示同一条直线,前者表示的直线缺少一个点P0(x0,y0).

3.直线的斜截式方程

点睛：(1)用斜截式求直线方程,只要确定直线的斜率和截距即可,同时要特别注意截距和距离的区别.

(2)直线的斜截式方程y=kx+b不仅形式简单,而且特点明显,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,只要确定了k和b的值,直线的图像就一目了然.因此,在解决直线的图像问题时,常通过把直线方程化为斜截式方程,利用k,b的几何意义进行判断.

5.判断

(1)直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离. (　　)

(2)直线y=kx-b在y轴上的截距为b. (　　)

答案:(1)×　(2)×

6.已知直线的斜率是2,且在y轴上的截距是-3,则此直线的方程是(　　)

A.y=2x-3　　　　　  B.y=2x+3

C.y=-2x-3 D.y=-2x+3

答案:A

7.直线y=kx+b通过第一、三、四象限,则有(　　)

A.k>0,b>0            B.k>0,b<0

C.k<0,b>0            D.k<0,b<0

答案:B

二、典例解析

例1求满足下列条件的直线的方程:

(1)过点P(-4,3),斜率k=-2;

(2)过点P(2,-5),且与x轴平行;

(3)过点P(3,-1),且与y轴平行.

分析利用直线的点斜式方程及特殊位置的直线表示形式解答.

解:(1)直线过点P(-4,3),斜率k=-2,由点斜式得y-3=-2(x+4),

整理得所求方程为2x+y+5=0.

(2)直线过点P(2,-5),且与x轴平行,则斜率k=0,

故所求直线方程为y+5=0(x-2),即y=-5.

(3)直线与y轴平行,说明斜率不存在,

又因为直线过点P(3,-1),所以直线的方程为x=3.

利用点斜式求直线方程的步骤

(1)确定直线要经过的定点(x0,y0);

(2)明确直线的斜率k;

(3)由点斜式直接写出直线方程.

注意:点斜式使用的前提条件是斜率存在,当斜率不存在时,直线没有点斜式方程,其方程为x=x0.

跟踪训练1   求斜率是直线x-y+1=0的斜率的3倍,且分别满足下列条件的直线方程.

(1)经过点P(3,4);

(2)在x轴上的截距是-5.

解:由x-y+1=0,得y=x+1,

∴直线x-y+1=0的斜率为1.

由题意可得,所求直线的斜率k=3.

(1)所求直线的方程是y-4=3(x-3),即3x-y-5=0.

(2)由题意知直线经过点(-5,0),

所求直线的方程是y-0=3(x+5),即3x-y+15=0.

例2 已知直线l的斜率为2,在y轴上的截距为m.

(1)求直线l的方程;

(2)当m为何值时,直线通过(1,1)点?

分析(1)直接套用直线的斜截式方程;(2)将点(1,1)代入所设方程求m.

解:(1)利用直线的斜截式方程,可得方程为y=2x+m.

(2)只需将点(1,1)代入直线y=2x+m,有1=2×1+m,所以m=-1.

变式练习 (1)将本例的条件“在y轴上的截距为m”改为“在x轴上的截距为m”,如何求直线的方程?

(2)将本例的条件不变,试问m为何值时,直线与坐标轴所围成的三角形的面积为1?

解:(1)直线在x轴上的截距为m,即直线过点(m,0),又已知直线的斜率为2,

则由直线的点斜式方程,可得所求直线方程为y-0=2(x-m),即y=2x-2m.

(2)由题意知直线方程为y=2x+m.故直线在两坐标轴上的截距分别为-,m,所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为·|m|=1,解得m=±2.

对直线的斜截式方程的理解要注意以下几点:

(1)由直线的斜截式方程的推导过程可以看出,在点斜式中若点P(x0,y0)为直线l与y轴的交点,得到的直线方程即为斜截式,因此斜截式为点斜式的特殊情况.

(2)直线与x轴垂直时,斜率不存在,不能用直线方程的斜截式表示.因此,斜截式方程不能表示与x轴垂直的直线.

(3)斜截式方程y=kx+b的特点:左端y的系数恒为1,右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,截距实质上为直线与y轴交点的纵坐标,直线与y轴的交点与原点的距离为|b|.

通过问题思考，引导学生发现，通过斜率和一个点可确定一条直线，开门见山，引出学习的课题。

通过直线与方程的关系讨论，让学生体会曲线与方程的对应关系。进而推导出直线的点斜式方程。进一步体会运用代数法和几何法解决问题的特点，发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

在典例分析和练习中运用直线点斜式和斜截式方程，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过直线方程求解，熟悉直线点斜式和斜截式方程的算法及适用范围。提升学生数形结合的思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1.已知直线的方程是y+2=-x-1,则(　　)

A.直线经过点(-1,2),斜率为-1

B.直线经过点(2,-1),斜率为-1

C.直线经过点(-1,-2),斜率为-1

D.直线经过点(-2,-1),斜率为1

解析:由y+2=-x-1,得y+2=-(x+1),所以直线的斜率为-1,过点(-1,-2).

答案:C

2.已知直线l的方程为y+(x-1),则l在y轴上的截距为(　　)

A.9 B.-9 

C. D.-

解析:由y+(x-1),得y=x-9,

∴l在y轴上的截距为-9.

答案:B

3.已知直线的倾斜角为60°,在y轴上的截距为-2,则此直线的方程为(　　)

A.y=x+2 B.y=-x+2

C.y=-x-2 D.y=x-2

解析:∵α=60°,∴k=tan 60°=,∴直线l的方程为y=x-2.

答案:D

4.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为(　　)

A.y=x+4 B.y=2x+4

C.y=-2x+4 D.y=-x+4

解析:由题意可设所求直线方程为y=kx+4,又由2k=-1,得k=-,∴所求直线方程为y=-x+4.

答案:D

5.已知直线l过点P(2,1),且直线l的斜率为直线x-4y+3=0的斜率的2倍,则直线l的点斜式方程为　　　　　　. 

解析:由x-4y+3=0,得y=x+,其斜率为,

故所求直线l的斜率为,又直线l过点P(2,1),

所以直线l的点斜式方程为y-1=(x-2).

答案:y-1=(x-2)

6.已知直线l的斜率与直线3x-2y=6的斜率相等,且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,求直线l的斜截式方程.

解:由题意知,直线l的斜率为,

故设直线l的方程为y=x+b,

l在x轴上的截距为-b,在y轴上的截距为b,

所以-b-b=1,b=-,

所以直线l的斜截式方程为y=x-.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。