高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用优秀课时作业

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第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。
第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。
第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。
2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。
3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。
4、授课方式变化，选课制度将全面推开。
5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
1.4.2 空间向量应用(二)
思维导图
常见考法
考点一 空间向量求线线角
【例1】(2020·全国高三一模(文))如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A．B．C．D．
向量法求异面直线所成角的一般步骤
(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；
(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值
【举一反三】
1．(2020·河南高二)已知在正方体中，P为线段上的动点，则直线与直线所成角余弦值的范围是( )
A．B．C．D．
2.三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，N，M分别是A1B1，A1C1的中点，则AM与BN所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,10) B.eq \f(3,5) C.eq \f(7,10) D.eq \f(4,5)
3．已知四棱锥S­ABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(\r(2),3) C．eq \f(\r(3),3) D．eq \f(2,3)
考点二 空间向量求线面角
【例2】(2020·全国高二)如图所示，是四棱锥的高，四边形为正方形，点是线段的中点，.
(1)求证：；
(2)若点是线段上靠近的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值.
若直线l与平面α的夹角为θ，直线l的方向向量l与平面α的法向量n的夹角为β，则θ＝eq \f(π,2)－β或θ＝β－eq \f(π,2)，故有sin θ＝|cs β|＝eq \f(|l·n|,|l||n|).
【举一反三】
1．(2020·浙江高三开学考试)如图，四棱锥中，，，，，，．

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
2．(2020·天津河西.高三二模)在正四棱柱中，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)若为上的动点，使直线与平面所成角的正弦值是，求的长.
3．(2020·江苏)如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC，且，AC=BC=2，D，E分别为AB，PB中点，PD⊥平面ABC，PD=3.
(1)求直线CE与直线PA夹角的余弦值；
(2)求直线PC与平面DEC夹角的正弦值.
考点三 空间向量求二面角
【例3】(2020·河南高三其他(理))如图，在三棱锥中，．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有两种：
①求平面的垂线的方向向量；
②利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解
【举一反三】
1．(2020·全国)如图，圆的直径，为圆周上不与点、重合的点，垂直于圆所在平面，，.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
2．(2020·全国)如图，已知四棱锥中，是平行四边形，，平面平面，，，分别是，的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，，求二面角的余弦值.
3．(2020·全国)如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，是的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
考点四 空间向量求距离
【例4】(2020·全国高二课时练习)如图，棱长为1的正方体，是底面的中心，则到平面的距离是( )

A．B．C．D．
求点到平面的距离的步骤可简化为：
①求平面的法向量；
②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．
空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解
【举一反三】
1．(2019·湖南高二期末)已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为( )
A．B．C．1D．
2．(2020·黑龙江道里 哈尔滨三中高三二模(理))已知四面体中，，，两两垂直，，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为( )
A．B．C．D．
3．(2020·全国高二课时练习)若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是( )
A．B．C．D．