江苏省南京外国语学校2022-2023学年九年级下学期月考阶段练习(一)数学试题

2022-2023 学年南京外国语学校九年级（下）阶段练习（一）

数学试卷

（考试时间：120 分钟  卷面总分：120 分 ）

一、选择题（每题 2 分，共 12 分。请把答案填写在答卷纸的相应位置上）

1．9 的平方根是（ ▲ ）

A．3    B．v    C．    D．81

2．第七次全国人口普查数据显示，江苏省常住人口约为8474.8万人，将84748000用科学记数法（精确到十万位）表示为 （ ▲ ）

A．   B．  C．   D．

3．下列计算正确的是（ ▲ ）

A．  B．  C．  D．

4．点 关于原点对称的点的坐标是（ ▲ ）

A．    B．   C．   D．

5．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（▲ ）

A．    B．   C．且  D．且

6．如图，在 网格正方形中，每个小正方形的边长为 1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ▲ ）

A．    B．    C．    D．

二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上）

7．使式子有意义的的取值范围是      ▲      ．

8．分解因式的结果是      ▲      ．

9．计算的结果是      ▲      ．

10．设，是方程的两个根，则的值为      ▲      ．

11．一条上山直道的坡度为，沿这条直道上山，在斜坡上每前进100米所上升的高度为      ▲      米．（结果保留根号）

12．已知点是直线与双曲线的交点，则的值为      ▲      ．

13．关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是      ▲      ．

14．2022年9月29日，C919大型客机取得中国民用航空局型号合格证，这标志着我国具备按照国际通行适航标准研制大型客机的能力，是我国大飞机事业征程上的重要里程碑．如果某型号飞机降落后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为      ▲      秒．

15．如图，已知第一象限内的点 A 在反比例函数上，第二象限的点 B 在反比例函数（是常数，）上，且，，则的值为      ▲      ．

16．已知二次函数图像的对称轴为直线，部分图像如图所示，下列结论中：①； ②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图像经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论有      ▲      ．（填序号）

三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（8 分）计算：

（1）；    （2）

18．（10分）解方程和不等式组：

（1）解方程：；

（2）解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来，并写出该不等式组的整数解．

19．（4 分）设是一个四位数，若可以被3整除，求证：这个四位数也能被3整除．

20．（8 分）若关于的方程无解，求的值．

21．（6分）如图，是的中线，是锐角，，，．

（1）求的长；

（2）求的值．

22．（9分）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地， 两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续驶往乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离与慢车行驶的时间之间的关系如图所示．

（1）快车的速度为      ▲      ， 点的坐标为      ▲      ， 点的实际意义是      ▲      ；

（2）慢车出发多少小时后，两车相距．

23．（6分）圭表（如图 1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图 2 是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即）为37°，夏至正午太阳高度角（即）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为4米．求表的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，）

24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、两点，与双曲线交于点、两点，．

（1）      ▲      ，      ▲      ，点坐标为      ▲      ；

（2）直接写出不等式的解集：      ▲      ；

（3）连接并延长交双曲线于点，连接、，求的面积．

25．（9分）已知二次函数（为常数）．

（1）若，

①求此二次函数图像的顶点坐标；

②当时，函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围：      ▲      ；

③当时，设此二次函数的最大值为与最小值为，求；

（2）若点、点，当此二次函数的图像与线段有两个交点时，直接写出的取值范围：      ▲      ．

26．（9 分）如图，四边形是的内接四边形，，为直径，过作垂直于的延长线，垂足为，延长交的延长线于．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的半径；

（3）在（2）的条件下，直接写出线段的长：      ▲      ．

27．（9 分）定义：若实数，满足，，且，为常数，则称点为“线点”． 例如，点和是“线点”．已知：在直角坐标系中，点．

（1）和两点中，点      ▲      是“线点”；

（2）若点是“线点”，用含的代数式表示，并求的取值范围；

（3）若点是“线点”，直线分别交轴、轴于点，，当时，直接写出的值：      ▲      ．

南外九下阶段练习（一）

参考答案及评分标准

说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．

一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分）

二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）

7．且   8．    9．    10．

11．     12．6       13．  14．18

15．      16．②③④⑤

三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分）

17．（本题 8 分）

（1）解：原式 …………………………………………2分

…………………………………………………………………3分

…………………………………………………………………………4分

解法二：

解：原式 ………………………………………………………2分

………………………………………………………………3分

…………………………………………………………………………4分

（2）解：原式 ……………………………………………1分

……………………………………………………2分

………………………………………………3分

……………………………………………………………………4分

18．（本题10分）

（1）解：，，

………………………………………………………………………………2分

或……………………………………………………………………………3分

，…………………………………………………………………………………5分

（2）解不等式①得，……………………………………………………………………1分

解不等式②得，…………………………………………………………………………2分

所以该不等式组得解集为．………………………………………………………3分

解集在数轴上表示如下：

…………………………………………………4分

整数解为：，，0． ………………………………………………………………………5分

19．证明：

…………………………………………………………2分

∵是整数

∴能被3整除，又能被3整除，…………………………3分

∴能被3整除． …………………………………………………………………………4分

20．解：

…………………………………………………………………………………1分

①有增根时，，解得；…………………………………………3分

②有增根时，，解得；………………………………………5分

③整式方程无解，则，；……………………………………7分

综上：，6 或 1． ………………………………………………………………………8 分

21．解：（1）作于，设，

在中，∵，

∴，

∴，

∴，解得，

∴，，……………………………………………………………………………2分

在中，∵，

∴，

∴为等腰直角三角形，

∴，………………………………………………………………………………3分

∴，…………………………………………………………………………4分

（2）∵为中线，

∴，

∴，………………………………………………………………5分

∴…………………………………………………………………6分

22．（1）100，（5.8,348）， 慢车出发5.8小时的时候，快车已到达终点乙地，此时两车相距348千米．…………………………………………………………………………………5分

（2）解法一： 设慢车出发小时后两车相距，

①相遇前两车相距，则：，

解得：．…………………………………………………………………………………7分

②相遇后两车相距，则：，

解得：……………………………………………………………………………………9分

∴慢车出发或时两车相距．

解法二：①当两车相遇前（），

设，把（0,480），（3,0）代入，得，

令．解得：．…………………………………………………………7分

②两车相遇后，由图可知时，存在相距．

设，把（4,60），（5.8,348）代入，得，

令，解得．……………………………………………………………8分

答：慢车出发或时两车相距． ……………………………………………9分

23．（6 分）在 中，，，

∴．………………………………………………………………………………2分

同理：在中，， ， …………………………………4分

∵，

∴，……………………………………………………5分

∴ ，

∴（米），

答：表的长是3.3米．……………………………………………………………………6分

24．（10分）

（1），，；………………………………………………………5分

（2）或；………………………………………………………………………7分

（3）∵反比例函数图像与正比例函数图像都关于原点对称

∴它们的交点也关于原点对称，即………………………………………………8分

∴和同底同高，

∴，

∵，

∴．……………………………………………………………10分

25．（9 分）

（1）①当时，，

∵，………………………………………………………………1分

∴顶点坐标为 ．……………………………………………………………………2分

②的取值范围是；……………………………………………………………………4分

③∵当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，

，∴最小值，

∵当时，， 当时，，

∴最大值，

∴．…………………………………………………………………………7分

（2）的取值范围是或．………………………………9分

解：（2）∵点，点，

∴轴，

∵二次函数的图象与线段有两个交点，，

∴，

解得：或，

∴的取值范围是或．

26．（1）连接并延长交于点，连接．

∵，，

∴点，都在的垂直平分线上，

∴于点 ，

∴ ，………………………………………………………………………………1分

∵为的直径，

∴，

∴

∴，

∴

∵于，

∴，

∴，………………………………………………………………………………3分

∴于，

又∵为的半径，

∴为的切线……………………………………………………………………………4分

（2）设的半径为 ，

中，，

∵，

∴

∴

∴…………………………………………………………………5分

中，

，，

∴……………………………………………………………………………………6分

∴

即的半径为6．……………………………………………………………………………7分

（3）……………………………………………………………………………………9 分

27．解：（1）；……………………………………………………………………………2分

（2）∵点为“线点”，

则，，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，…………………………………………………………………………………3分

∵，

∴，

即：，

∴，…………………………………………………………………………………5分

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴；…………………………………………………………………………………………7分

（3）6 或……………………………………………………………………………………9分

解法一： 设直线的解析式为：，

则，

解得：，

∵直线分别交轴，轴于点、，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∵，

∴或 60°，

∵，，

∴、两点关于对称，

①若时，如图1所示：

作轴于，轴于，作直线．

∵、两点关于对称，∴，

∵是等腰直角三角形，

∴，

∴，

在上截取，则，

∴，

∴，，

∴，

由（2）知，，

解得：，，

由（2）知：，，

∴，

解得：，

②若时，如图 2 所示，

作轴于，轴于，作直线．

∵两点关于对称，

∴，

∵等腰直角三角形，

∴，

∴，

在上截取，则，

∴，

∴，，

∴，

由（2）知，，

解得，，

由（2）知：，，

∴，

解得：，

综上所述，的值为：6 或．

解法二：

∵直线分别交轴，轴于点，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∵，

∴或 60°，

∵，，

∴、两点关于对称，

①当时，又，

∴为等边三角形，

∴，

∴，

∴

∴，

由（2）知，

∴

又，

∴

∴；

②当时，又，

∴，

∴，

∴，

∴，

由（2）知，

∴

又，

∴

所以；

综上所述，的值为：6 或．

解法三：

∴

又∵

∴

∴

∴

∴

∴