江苏省南京市南京外国语学校2022-2023学年七年级下学期期中数学试题

江苏省南京市南京外国语学校2022-2023学年七年级下学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列算式中，计算结果等于的是（　　）

A． B． C． D．

2．下列各条线段的长能组成三角形的是（    ）

A．5，7，12 B．5，12，16 C．2，3，6 D．5，5，12

3．如图，在所标识的角中，同位角是（　　）

A．和 B．和 C．和 D．和

4．下列命题中，是真命题的是（    ）

A．两个锐角的和是锐角 B．邻补角是互补的角

C．同旁内角互补 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等

5．一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为，则这个正多边形是（    ）

A．正五方形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形

6．如图所示，下列条件中能判定是（　　）

A． B．

C． D．

7．如图，已知AB∥CD∥EF，则∠、∠、∠三者之间的关系是(      )

A．° B．°

C．° D．

8．从前，古希腊一位庄园主把一块长为a米，宽为b米的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ）

A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定

二、填空题

9．两年多来，新冠肺炎给人类带来了巨大灾难，经科学家研究，冠状病毒多数为球形或近似球形，其直径约为0.0000011米．将0.0000011用科学记数法表示为 _____．

10．“等边三角形的三个内角都得于”的逆命题是______．

11．______．（______）．

三、解答题

12．若，则______．若，，则______．

四、填空题

13．如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为______．

14．若中不含有x的四次项，则a的值为______．

15．若，则_______．

16．如图，在中，已知，垂足为,若是的中点，则___________．

17．如图，将沿、翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为______°．

18．如图，点在线段上，且，点在上，若，，，则的度数为________．

五、解答题

19．计算与化简

(1)

(2)

(3)

(4)

20．已知n为正整数，且．求下列各式的值：

(1)

(2)

21．请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据：

，，，与平行吗？为什么？

解：．理由如下：

∵（已知），∴ °

即 （ ）

又∵（ ），

且，

∴ ＝ （ ）

∴（ ）

22．画图（只用无刻的直尺）并填空：

如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点．

(1)将向左平移格，再向上平移格，请在图中画出平移后的；

(2)的面积为______；

(3)利用网格在图中画出的中线，高线；

(4)在图中能使的格点的个数有______个（点异于点）

23．证明命题：三角形的外角和等于360°．（要求画出图形，写出已知、求证、证明）

24．如图，一个长和宽分别为，的长方形中剪下两个大小相同的边长为的正方形有关线段的长如图所示)，留下一个“”型的图形(阴影部分)．

(1)用含，的式子表示“”型图形的面积并化简；

(2)若 ，请计算“”型区域的面积．

25．已知中，平分，点在射线上．

(1)如图①，若，，求的度数；

(2)如图②，若，，求的度数；

(3)如图③，若，，直线与的一条边垂直，则的度数为______．（直接写出答案）

26．三角形中有三条重要线段——中线，高线和角平分线，下面我们一起来研究中线和高线的特点．

问题1：如图1：是的中线，求证：

问题2：如图2：，求证：

问题3：运用上述两个问题的发现我们一起探究如何作一条直线平分多边形面积：

（1）如图3：在四边形，小孙同学的辅助线：

①连接对角线，②作交的延长线于E；③取的中点M，则直线为所求直线．

（2）如图4：在四边形，小悟同学的辅助线：

①连接对角线和；②取的中点O，③连接；④过点O作的平行线与四边形的边交点于P，则直线则为所求直线．

下面就请你完成小孙和小悟的证明．

问题4：小空同学运用类比和转化的数学思想作了一条直线平分五边形，请你也尝试画一画吧！

（保作图痕迹并写出作图方法）

参考答案：

1．B

【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则和幂的乘方运算法则分别计算得出答案．

【详解】A、，故此选项不合题意；

B、，故此选项符合题意；

C、，故此选项不合题意；

D、，故此选项不合题意；

故选：B．

【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项和幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．

2．B

【分析】根据三角形的三边关系逐一进行判断即可得到答案．

【详解】解：A、，不满足三角形的三边关系，不能组成三角形，不符合题意，选项错误；

B、5，12，16满足三角形的三边关系，能组成三角形，符合题意，选项正确；

C、，不满足三角形的三边关系，不能组成三角形，不符合题意，选项错误；

D、，不满足三角形的三边关系，不能组成三角形，不符合题意，选项错误，

故选B．

【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

3．C

【分析】根据同位角的概念：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角进行判断即可．

【详解】解：和是邻补角，不是同位角，选项A不符合题意；

和是邻补角，不是同位角，选项B不符合题意；

和是同位角，选项C符合题意；

和，不是同位角，选项D不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查的是同位角的定义，掌握两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角是同位角是解题的关键．

4．B

【分析】根据角的分类，邻补角的定义，平行线的性质，逐项判断即可．

【详解】解：A．两个锐角的和可能是锐角，可能是直角，可能是钝角，例如：，两个锐角的和为钝角，故A不符合题意；

B．邻补角是互补的角，此命题正确，故B符合题意；

C．两直线平行，同旁内角互补，原命题为假命题，故C不符合题意；

D．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题为假命题，故D不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了命题真假的判定，解题的关键是熟练掌握角的分类，邻补角的定义，平行线的性质．

5．B

【分析】设这个外角是，则内角是，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是即可求解．

【详解】解：一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为，

设这个外角是，则内角是，

根据题意得：，

解得：，

，

故选：B．

【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，根据内角与它相邻的外角互补列出方程是解题的关键．

6．D

【分析】利用平行线的判定定理逐项分析即可得出答案．

【详解】解：A、∵，

∴（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；

B、由无法得到，故此选项不符合题意；

C、∵

∴（同旁内角互补，两直线平行），故此选项不符合题意；

D、∵，

∴（内错角相等，两直线平行），故此选项符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．

7．B

【分析】根据平行线的性质可得∠CEF=180°-y，x=z+∠CEF，利用等量代换可得x=z+180°-y，再变形即可．

【详解】解：∵CD∥EF，

∴∠C+∠CEF=180°，

∴∠CEF=180°-y，

∵AB∥CD，

∴x=z+∠CEF，

∴x=z+180°-y，

∴x+y-z=180°，

故选：B．

8．A

【分析】原面积可列式为，第二年按照庄园主的想法则面积变为，又，通过计算可知租地面积变小了．

【详解】解：由题意可知：原面积为（平方米），

第二年按照庄园主的想法则面积变为

平方米，

∵，

∴，

∴面积变小了，

故选：A．

【点睛】本题考查了多项式乘多项式，关键在于学生认真读题结合所学知识完成计算．

9．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】解：0.0000011用科学记数法表示为．

故答案为：．

【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

10．三个内角都等于的三角形是等边三角形

【分析】逆命题就是原命题的题设和结论互换，找到原命题的题设为等边三角形，结论为三个内角相等，互换即可．

【详解】解：命题“等边三角形的三个内角都等于”的逆命题是“三个内角都等于的三角形是等边三角形”．

故答案为：三个内角都等于的三角形是等边三角形．

【点睛】本题考查逆命题的概念，关键是知道题设和结论互换，属于基础题，难度不大．

11．     /     /

【分析】根据单项式乘以多项式法则，单项式乘以单项式法则计算，即可求解．

【详解】解：；

∵，

∴．

故答案为：；

【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式法则，单项式乘以单项式法则，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．

12．     3     /1.5

【分析】先把底数化为3的幂的形式得到，再利用同底数幂的乘法可得，于是解方程得到m的值；利用幂的除法法则得到，然后把，，代入计算即可．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

∴，

解得，

∵，，

∴，

故答案为：3，．

【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握各运算法则时解题的关键．

13．

【分析】根据三角尺的特殊角的度数可求的度数，再根据三角形的外角和定理即可求解．

【详解】解：根据题意，一副三角尺，

∴，，

∴，且，

∵是的外角，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查特殊角的和差，三角形的外角和定理，理解角的位置关系，角的和差，外角和定理是解题的关键．

14．3

【分析】根据多项式乘以多项式的法则计算，再合并同类项后不含x的四次项，可求a的值．

【详解】解：

由题意可知，

解得．

故答案为：3．

【点睛】本题考查单项式乘以多项式以及合并同类项，解题的关键是熟练运用单项式乘以多项式的法则，本题属于基础题型．

15．或或

【分析】根据任意非零数的0次方为1、1的任意次方都为1、-1的偶次方为1，分类讨论，得出结论．

【详解】解：当时，即时，

，符合题意；

当时，即时，

，符合题意；

当时，即时，

，符合题意；

综上所述，或或．

故答案为：或或．

【点睛】本题考查乘方的符号规律，零指数幂．正确掌握乘方的符号规律和零指数幂的公式，能分类讨论是解题关键．

16．

【分析】设的面积为S，根据三角形面积公式，利用是的中点得到，再利用得到，所以，从而得到的值．

【详解】解：设的面积为S，

是的中点，

，

，

，

，

故答案为：

【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．

17．80

【分析】延长交于点G，根据三角形内角和定理可求出，由翻折的性质可知，，即得出，从而求出，由三角形外角性质结合三角形内角和定理即可得出，从而可求出．

【详解】如图，延长交于点G，

∵，

∴，

由翻折可知，，

∴，即，

∴，

∵，，

∴，即，

∴，

故答案为：80．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，翻折的性质，三角形外角性质，熟练掌握其定理是解题的关键．

18．

【分析】根据题意，设，则，在中，，证，由，得，从而有，解得，最后由，求得的值．

【详解】解：∵，

∴，

设，则，

∵，

∴，

∵在中，

，

又∵，，

∴．

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

∵，，，

又∵，，，

∴，，

∵，

∴，

解得，，

∵，

∴，

故答案为：

【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，与相交线相关的角度计算，综合运用题设条件是解题的关键．

19．(1)

(2)

(3)

(4)

【分析】（1）先分别计算负整数指数幂，乘方，零指数幂，然后进行加减运算即可；

（2）先计算积的乘方，同底数幂的乘、除法，最后合并同类项即可；

（3）根据多项式乘多项式的运算法则计算，然后合并同类项即可；

（4）先求解积的乘方，然后进行除法运算，最后合并同类项即可；

【详解】（1）解：

；

（2）解：

；

（3）解：

；

（4）解：

；

【点睛】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，积的乘方，同底数幂的乘、除法，多项式乘多项式，合并同类项等知识．解题的关键在于正确的运算．

20．(1)9

(2)117

【分析】（1）先计算同底数幂的乘法，然后根据幂的乘方的逆运算化成的形式，最后代值求解即可；

（2）先进行幂的乘方运算，然后进行幂的乘方的逆运算化成的形式，最后代值求解即可．

【详解】（1）解：

；

（2）解：

；

【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方运算，幂的乘方的逆运算，代数式求值等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

21．90；90；等量代换；已知；∠1，∠4（∠1，∠4位置可互换）；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行

【分析】根据等量代换和余角的性质进行证明即可．

【详解】解：∵（已知），

∴，

即（等量代换），

又∵（已知），

且，

∴（等角的余角相等），

∴（同位角相等，两条直线平行），

故答案为：90；90；等量代换；已知；∠1，∠4（∠1，∠4位置可互换）；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．

【点睛】本题考查平行线的判定、余角的性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．

22．(1)见解析

(2)4

(3)见解析

(4)7

【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得到答案；

（2）结合题意，根据网格的特点和割补法解答即可；

（3）结合题意，根据网格特点和三角形中线与高的定义作图，即可得到答案；

（4）过点和点作的平行线，结合题意分析，即可得到答案．

【详解】（1）解：如图所示，即为所求．

（2）解：的面积为，

故答案为：4；

（3）解：如图所示，线段，线段即为所求．

（4）解：如图，过点和点作的平行线，

结合题意，得在图中能使的格点的个数有个（点异于）

故答案为：7．

【点睛】本题考查了平移、三角形、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平移、平行线、三角形中线、三角形高的性质，从而完成求解．

23．见解析

【分析】根据命题证明的解题方法，写出已知、求证，再证明即可．

【详解】已知：为三个外角，

求证：．

证明：∵，，

∴

∵

∴

【点睛】本题抓药考查了三角形的内角和定理及邻补角，熟练运用三角形内角和定理是解题的关键．

24．(1)

(2)平方米

【分析】（1）根据“”型图形的面积等于大长方形的面积减去2个正方形的面积列出代数式，根据多项式的乘法进行计算化简即可求解；

（2）根据非负数的性质求得的值，代入（1）中化简结果进行计算即可求解．

【详解】（1）解：“”型区域的面积为：

；

（2）∵

∴

∴ (平方米)，

答：“”型区域的面积是平方米．

【点睛】本题考查了多项式乘以多项式与图形的面积，数形结合是解题的关键．

25．(1)

(2)

(3)°，，

【分析】（1）根据角平分线的定义与平行线的性质，即可求解；

（2）根据三角形内角和定理，可得，进而即可求解；

（3）分3种情况：①当时，②当时，③当时，分别画出图形，即可求解．

【详解】（1）解：∵平分，，

∴，

∵，

∴；

（2）解：∵平分，，

∴

∵中，，

中，，

，

∴

即；

（3）解：当，

当，

当，

，

故答案为：，，．

【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和等于，是解题的关键．

26．【问题1】见解析；【问题2】见解析；【问题3】见解析；【问题4】①连接对角线和；②过点B作，交延长线于M；过点E作，交延长线于N；③取的中点H，则直线即为所求．

【分析】【问题1】过点A作于点P，根据等底同高解答，即可；

【问题2】分别过点A，D作，垂足分别点K，L，根据等高同底解答，即可；

【问题3】（1）根据，可得，从而得到，再由M为中点，可得平分的面积，即可；

（2）根据O为中点，可得平分的面积，平分的面积，从而得到，再由，可得，从而得到，即可；

【问题4】①连接对角线和；②过点B作，交延长线于M；过点E作，交延长线于N；③取的中点H，则直线即为所求．

【详解】【问题1】证明：如图，过点A作于点P，

∴，

∵是的中线，

∴，

∴；

【问题2】

证明：如图，分别过点A，D作，垂足分别点K，L，

∴，

∵，

∴，

∴；

【问题3】

（1）∵，

∴

∴，即，

∵M为中点，

∴平分的面积，即平分四边形的面积．

（2）∵O为中点，

∴平分的面积，平分的面积，

∴折线A－O－C平分四边形的面积，

即，

∵，

∴，

∴，即

∴平分四边形的面积；

【问题4】

解：①连接对角线和；②过点B作，交延长线于M；过点E作，交延长线于N；③取的中点H，则直线即为所求．

∵，，

∴，，

∴，，

∴，，

∵点H为的中点，

∴，

∴，

即线平分五边形．

【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，根据等底同高或等高同底证得两个三角形的面积线等是解题的关键．