江苏省南京外国语学校2022—2023学年下学期3月月考九年级数学试卷

2022-2023学年 九年级(下) 南京外国语学校3月月考

一．选择题（共6小题，每题2分，共12分）

1．9的平方根是　　

A．3 B． C． D．

2．第七次全国人口普查数据显示，贵州省常住人口约为3856.21万人，将38562100用科学记数法表示为　　

A． B． C． D．

3．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　

A． B． C． D．

4．下列计算正确的是　　

A． B． C． D．

5．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　

A． B． C．且 D．且

6．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是　　

A． B． C． D．

二．填空题（共10小题，每题2分，共20分）

7．要使式子有意义，则的取值范围是 　　．

8．分解因式的结果是 　　．

9．计算：　　．

10．设，是一元二次方程的两个根，则　　．

11．一条上山直道的坡度为，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 　　米．

12．已知：点在直线上，也在双曲线上，则的值为　　

13．已知关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是　　．

14．2022年9月29日，大型客机取得中国民用航空局型号合格证，这标志着我国具备按照国际通行适航标准研制大型客机的能力，是我国大飞机事业征程上的重要里程碑．如果某型号飞机降落后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为 　　秒．

15．如图，已知第一象限内的点在反比例函数的图象上，第二象限的点在反比例函数的图象上，且，，则的值为 　　．

16．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点，时，方程的两根为，则，其中正确的结论有　　．

三．解答题（共11小题，共88分）

17．（8分）计算：

；

．

18．（10分）（1）解方程：

（2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来：．

19．（4分）一个四位数，千位上的数字是，百位上的数字是，十位上的数字为，个为上的数字为，如果可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除．写出论证过程（以这个四位数为例即可）．

20．（8分）已知关于的方程无解，求的值．

21．（6分）如图，是的中线，是锐角，，，．

（1）求的长．

（2）求的值．

22．（9分）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离与慢车行驶的时间之间的关系如图：

（1）快车的速度为 　　，点的坐标为 　　．

（2）慢车出发多少小时后，两车相距．

23．（6分）圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为4米．

（1）求的度数．

（2）求表的长（最后结果精确到0.1米）．

（参考数据：，，，

24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、两点，与双曲线交于点、两点，．

（1）求，的值；

（2）求点坐标并直接写出不等式的解集；

（3）连接并延长交双曲线于点，连接、，求的面积．

25．（9分）已知二次函数为常数）．

（1）若，

①求此二次函数图象的对称轴和顶点坐标．

②当时，函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围．

③当时，设此二次函数的最大值为与最小值为，求．

（2）若点、点，当此二次函数的图象与线段有两个交点时，直接写出的取值范围．

26．（9分）如图，四边形内接于，对角线为的直径，过点作的垂线交的延长线于点，点为的中点，连接，，．

（1）求的度数；

（2）求证：是的切线；

（3）若平分，，，求，的值．

27．（9分）定义：若实数，满足，，且，为常数，则称点为“线点”．例如，点和是“线点”．已知：在直角坐标系中，点．

（1）和两点中，点　　是“线点”；

（2）若点是“线点”，用含的代数式表示，并求的取值范围；

（3）若点是“线点”，直线分别交轴、轴于点，，当时，直接写出的值．

2022-2023学年 九年级(下)南京外国语学校3月月考

参考答案与试题解析

一．选择题（共6小题）

1．9的平方根是　　

A．3 B． C． D．

【解答】解：9的平方根是；

故选：．

2．第七次全国人口普查数据显示，贵州省常住人口约为3856.21万人，将38562100用科学记数法表示为　　

A． B． C． D．

【解答】解：；

故选：．

3．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　

A． B． C． D．

【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是，

故选：．

4．下列计算正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：、，故本选项符合题意；

、，故本选项不合题意；

、，故本选项不合题意；

、与不是同类项，不能合并，故本选项不合题意．

故选：．

5．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　

A． B． C．且 D．且

【解答】解：根据题意，得△且，

解得且．

故选：．

6．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是　　

A． B． C． D．

【解答】解：延长到，连接，如图：

，，，

，

，

，

故选：．

二．填空题（共10小题）

7．要使式子有意义，则的取值范围是 　且　．

【解答】解：由题意得，

，

解得且．

故答案为：且．

8．分解因式的结果是 　　．

【解答】解：

，

故答案为：．

9．计算：　　．

【解答】解：原式

．

故答案为：

10．设，是一元二次方程的两个根，则　　．

【解答】解：，是一元二次方程的两个根，

、，

．

故答案为：．

11．一条上山直道的坡度为，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 　　米．

【解答】解：设上升的高度为米，

上山直道的坡度为，

水平距离为米，

由勾股定理得：，

解得：，（舍去），

故答案为：．

12．已知：点在直线上，也在双曲线上，则的值为　6　

【解答】解：点在直线上，

，

点在双曲线上，

，

．

故答案为：6．

13．已知关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是　　．

【解答】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

不等式组有3个整数解，

，

故答案为：．

14．2022年9月29日，大型客机取得中国民用航空局型号合格证，这标志着我国具备按照国际通行适航标准研制大型客机的能力，是我国大飞机事业征程上的重要里程碑．如果某型号飞机降落后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为 　18　秒．

【解答】解：，

，

抛物线开口向下，

当时，有最大值，

飞机滑行到最大距离停下来，此时滑行的时间最长，

该飞机着陆后滑行最长时间为18秒．

故答案为：18．

15．如图，已知第一象限内的点在反比例函数的图象上，第二象限的点在反比例函数的图象上，且，，则的值为 　　．

【解答】解：作轴于，轴于，如图，则，

在中，，

，，

，

，

，

，

，

而，

．

故答案为：．

16．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点，时，方程的两根为，则，其中正确的结论有　②③④⑤　．

【解答】解：①抛物线开口向上，

，

抛物线的对称轴为直线，

即，

，

抛物线与轴的交点在轴下方，

，

，所以①不符题意；

②物线与轴有2个交点，

△，所以②符合题意；

③时，，

，

而，

，

，

，所以③符合题意；

④时，有最小值，

为任意实数），

即，所以④符合题意；

⑤图象经过点，时，方程的两根为，，

二次函数与直线的一个交点为，，

抛物线的对称轴为直线，

二次函数与直线的另一个交点为，，

即，，

，所以⑤符合题意．

故答案为：②③④⑤．

三．解答题（共11小题）

17．计算：

；

．

【解答】解：（1）

；

（2）

．

18．（1）解方程：

（2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来：．

【解答】解：（1）去分母得，，

去括号得，，

移项得，，

合并同类项得，，

系数化为1得，；

（2），

解不等式①，得，

解不等式②，得，

在数轴上表示如下：

所以，此不等式组的解集是．

19．一个四位数，千位上的数字是，百位上的数字是，十位上的数字为，个为上的数字为，如果可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除．写出论证过程（以这个四位数为例即可）．

【解答】证明：（1）设为整数），

这个四位数可以写为：，

，

，

是整数，

可以被3整除．

20．已知关于的方程无解，求的值．

【解答】解：，

方程两边同时乘以得，，

去括号，得，

移项、合并同类项，得，

方程无解，

，

，

又或，

或，

解得或，

综上所述：值是4或或．

21．如图，是的中线，是锐角，，，．

（1）求的长．

（2）求的值．

【解答】解：（1）作于，设，

在中，，

，

，

，解得，

，，

在中，，

，

为等腰直角三角形，

，

，

答：的度数为，的值为3；

（2）为中线，

，

，

，

即的值为2．

22．一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离与慢车行驶的时间之间的关系如图：

（1）快车的速度为 　100　，点的坐标为 　　．

（2）慢车出发多少小时后，两车相距．

【解答】解：（1）由图象可知：慢车的速度为：，

两车3小时相遇，此时慢车走的路程为：，

快车的速度为：，

通过图象和快车、慢车两车速度可知快车比慢车先到达终点，

慢车到达终点时所用时间为：，

点坐标为：，

故答案为：100，；

（2）设慢车出发小时后两车相距，

①相遇前两车相距，

则：，

解得：，

②相遇后两车相距，

则：，

解得：，

慢车出发或时两车相距，

答：慢车出发或时两车相距．

23．圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为4米．

（1）求的度数．

（2）求表的长（最后结果精确到0.1米）．

（参考数据：，，，

【解答】解：（1），，

，

答：的度数是．

（2）在中，，

．

在中，，

，

，

，

（米，

答：表的长是3.3米．

24．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、两点，与双曲线交于点、两点，．

（1）求，的值；

（2）求点坐标并直接写出不等式的解集；

（3）连接并延长交双曲线于点，连接、，求的面积．

【解答】解：（1）点在直线上，，

，

解得，

过作轴于点，

，

，

，

，

，

在中，令，得，

，

，

．

（2）点是和交点，

，

解得或，

点在第三象限，

，

由图象得，当或时，，

不等式的解集为或．

（3）和同底同高，

，

，

．

25．已知二次函数为常数）．

（1）若，

①求此二次函数图象的对称轴和顶点坐标．

②当时，函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围．

③当时，设此二次函数的最大值为与最小值为，求．

（2）若点、点，当此二次函数的图象与线段有两个交点时，直接写出的取值范围．

【解答】解：（1）①当时，，

，

对称轴为直线，顶点坐标为．

②函数图象开口向上，对称轴为直线，

当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，

当时，函数值随的增大而减小，

，

．

③当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，，

最小值，

当时，，当时，，

最大值，

．

（3）点，点，

轴，

二次函数的图象与线段有两个交点，，

，

解得：或，

的取值范围是或．

26．如图，四边形内接于，对角线为的直径，过点作的垂线交的延长线于点，点为的中点，连接，，．

（1）求的度数；

（2）求证：是的切线；

（3）若平分，，，求，的值．

【解答】（1）解：对角线为的直径，

，

；

（2）证明：连接，

，是的中点，

，

，

，

，

，

，

是的切线；

（3）解：连接，

，，

，

，

，

，

，

平分，

，，

，

，

，

过点作于点，则，

设，则，

，

，

或（舍去），

，

．

27．定义：若实数，满足，，且，为常数，则称点为“线点”．例如，点和是“线点”．已知：在直角坐标系中，点．

（1）和两点中，点　　是“线点”；

（2）若点是“线点”，用含的代数式表示，并求的取值范围；

（3）若点是“线点”，直线分别交轴、轴于点，，当时，直接写出的值．

【解答】解：（1）当点，若，满足，且，为常数，则称点为“线点”，

又，则，（1），，

点不是线点；

，则，，，

点是线点，

故答案为：；

（2）点为“线点”，

则，，

，，

，

，

，

，

，

，

即：，

，

，

，

，

，

，

，

，

；

（3）设直线的解析式为：，

则，

解得：，

直线分别交轴，轴于点、，

，

是等腰直角三角形，

，

或，

，，

、两点关于对称，

①若时，如图1所示：

作轴于，轴于，作直线．

、两点关于对称，，

是等腰直角三角形，

，

，

在上截取，则，

，

，，

，

由（2）知，，

解得：，，

由（2）知：，，

，

解得：，

②若时，如图2所示，

作轴于，轴于，作直线．

、两点关于对称，

，

是等腰直角三角形，

，

，

在上截取，则，

，

，，

，

由（2）知，，

解得，，

由（2）知：，，

，

解得：，

综上所述，的值为：6或