初中数学人教版七年级上册4.3.1 角当堂达标检测题

第13讲   与角度有关的计算

知识点1：角的概念以及度分秒的换算

1．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点就是角的顶点，这两条射线是角的两条边。角通常用三个字母及符号“∠”来表示，在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．

2．用量角器测量角度时一定要做到两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐、 量角器的0刻度线和角的一条边对齐．

3．角的常用度量单位是度、分、秒．

1°的 为1分，记作1′，即1°=60′．

1′的 为1秒，记作1″，即1′=60″．

【典例】

1.下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（　　）

A.  B.  C.  D.

【方法总结】

所有的角都可以用顶点处的字母和表示两条射线的另外两个字母来表示；当某个角的顶点处只有１个角（两条射线）时，该角可以用“∠”和顶点字母来表示。

【随堂练习】

1．（2019春•岱岳区期中）下列换算中，错误的是　　

A．” B．”  

C．” D．

2．（2018秋•肥东县期末）下列关系式正确的是　　

A． B． C．’ D．’

3．（2018秋•常德期末）下列说法正确的是　　

A． B． 

C． D．

4．（2018秋•下城区期末）下列角度换算错误的是　　

A． B． 

C． D．

5．（2018秋•海淀区期末）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，的大小是　　

A． B． C． D．

知识点2：角平分线的定义

1.从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

2.尺规作图，作∠AOB的平分线的方法：

（1）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边 于点M，N。

（2）分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧， 两弧交于点P。

（3）作射线OP。

射线OP即为所求。

【典例】

1.已知∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是________

【方法总结】

本题已知角的数量关系∠AOC=4∠AOB，以及OD、OM是角平分线，但不知道角∠AOC与∠AOB的位置关系，无法直接得出结论。所以作图分两种情况，即：∠AOB在∠AOC内部和∠AOB在∠AOC外部，结合图形根据已知条件求出未知角的度数。

【随堂练习】

1．（2018秋•金牛区期末）如图，，，是的角平分线，则的度数为　　

A． B． C． D．

2．（2018秋•即墨区期末）如图，是的平分线，，，则　　

A． B． C． D．

3．（2018秋•潮安区期末）木工师傅在锯木板时，往往先在木板两端用墨盒弹一根墨线然后再锯，这样做的数学道理是　　

A．两点确定一条直线 

B．两点之间线段最短 

C．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离 

D．从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线

4．（2018秋•北仑区期末）如图，方向是北偏西方向，平分，则的度数为　　

A． B． C． D．

5．（2018秋•和平区期末）若是内的一条射线，且平分，则有下列结论：

①；②；③；④，其中正确的个数有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．（2018秋•杭州期末）如图，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，过点在三角板的内部作射线，使得恰好是的角平分线，此时与满足的数量关系是　　

A． B． C． D．不确定

7．（2019春•大兴区期末）已知：如图，，是的平分线，是的平分线，且．

求证：．

知识点3：余角和补角

1.如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角. ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C , ∠A与∠C互余；

余角的性质：

同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。

等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。

2.如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角

∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C , ∠A与∠C互补；

补角的性质：

同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。

等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D，则：∠C=∠B。

【典例】

1.如图，点A、B、O在同一条直线上，∠COE和∠BOE互余，射线OF和OD分别平分∠COE和∠BOE，则∠AOF+∠BOD与∠DOF的关系是__________

【方法总结】

题中给出了互余的两个角，隐含了一对互补的角。通过一对互余角的角平分线求出平分后小角组成的大角为45°，利用平角是180°，求出剩余角度之和是135°，进而求出二者之间的比例关系。

【随堂练习】

1．（2018秋•沛县期末）如图，与互余，与互补，平分，则的度数是　　

A． B． C． D．

2．（2019春•道里区期末）下列说法中错误的是　　

A．经过三点中的两点画直线一定可以画三条直线 

B．两点之间，线段最短 

C．若点是的中点，则 

D．同角的余角相等

3．（2019春•乳山市期末）若锐角的补角度数为，则锐角的余角度数为　　

A． B． C． D．

4．（2019春•红河州期末）已知，则的余角等于　　

A． B． C． D．

5．（2019•平谷区二模）点，，，，的位置如图所示，下列结论中，错误的是　　

A． B．平分 

C． D．与互补

6．（2019•山西模拟）已知，则的补角是　　

A． B． C． D．

7．（2019•百色一模）已知，则的补角是　　

A． B． C． D．

8．（2019春•渝中区校级月考）的余角为，则的补角为　　

A． B． C． D．

二．填空题（共1小题）

9．（2019春•东海县期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，若，则　　．

知识点4：对顶角和邻补角

1.如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角。

对顶角的性质：对顶角相等。

2.两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角。

邻补角的性质：（1）一个角与它的邻补角的和等于180°；（2）如果两个角互为邻补角，那么它们的角平分线互相垂直。

【典例】

1.如图所示，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠BOE=4：1，则∠AOF=______

【方法总结】

解角度问题常设某一角度为未知数，把其他关联角用未知数表示出来，根据已知条件间建立关于该未知数的方程，解方程即可求得未知数的值，从而得到所求角的度数。用代数方法解几何问题是常用方法之一。

【随堂练习】

1．（2019春•覃塘区期末）已知和是对顶角，且，则的度数为　　

A． B． C． D．

2．（2019春•克东县期末）下面四个图形中，与是对顶角的为　　

A． B． 

C． D．

3．（2019春•白水县期末）如图，直线，相交于点，，，平分，给出下列结论：

①当时，；

②为的平分线；

③与相等的角有三个；

④．

其中正确的结论有　　

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

4．（2019春•江门期末）如图，直线、相交形成四个角，互为对顶角的是　　

A．与 B．与 C．与 D．与

5．（2019春•潍坊期末）直线，相交于点，则对顶角共有　　

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

6．（2019春•信丰县期中）如图所示、直线，相交于点，已知，则的大小为　　

A． B． C． D．

二．填空题（共2小题）

7．（2019春•包河区期末）如图，已知，、、相交于点，，，则的度数是　　．

8．（2019春•滨海新区期末）如图，直线、相交于点，下列描述：①和互为对顶角；②和互为邻补角；③；④；⑤，其中正确的是　　．

综合集训

1.如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示138°的点在直线b上，则∠1=_______°．

2.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=140°，∠COE=20°，则∠BOE=　________°．

3.一个角的补角为158°12′，那么这个角的余角等于__________．

4.如图，∠AOB=90°，OC平分∠AOB，OE平分∠AOD，若∠EOC=60°，则∠BOD=__________．

5.一个角的补角加上14°，等于这个角的余角的5倍，这个角的度数是　________．

6如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOF=∠DOE=90°，∠DOF=58°，则∠BOE=________，∠AOC=________．

7.计算：

（1）48°39′+67°31′﹣21°17′；

（2）23°53′×3﹣107°43′÷5．

8.如图，已知OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线．

（1）若∠AOC=120°，∠BOC=30°，求∠DOE的度数；

（2）若∠AOB=90°，∠BOC=α，求∠DOE的度数．

9.如图，直线AB上有一点O，射线OD在直线AB上方且不与OA、OB重合，OC平分∠AOD，OE平分∠BOD

（1）当∠AOD=70°时，∠DOE=_______°；

（2）当∠AOD=100°时，求：∠DOE、∠COE的度数；

（3）直接写出，当∠AOD=x°时，∠COD与∠DOE之间满足的关系．