第四讲 《两条直线的位置关系》精品培优讲义+同步练习
展开第四讲 两条直线的位置关系
◎名人引言
当你还不能对自己说今天学到了什么东西时，你就不要去睡觉.
------利希顿堡
◎知识梳理
一、相交线与平行线
1. 相交线
在同一平面内，若两条直线________________，我们称这两条直线为相交线.
如右图，直线与直线交于点.
2. 平行线
_______________，不相交的两条直线叫作平行线.
如右图，直线与直线平行，记作“∥”.
在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种. 在判断两条直线的位置关系时，一定要注意“在同一平面内”的前提. 两线段平行、两射线平行，指的是线段、射线所在的直线平行.
二、对顶角与邻补角
1. 对顶角
一个角的两边分别是另一个角的两边的_____________， 这样的两个角叫作对顶角. 上图中的与，与均是对顶角.
2. 邻补角
两条直线相交所成的四个角中，两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，这两个角互为邻补角. 上图中的与，与，与，与均是互为邻补角的关系.
对顶角相等，相等的角不一定是对顶角； 邻补角互补，互补的角不一定是邻补角.
三、余角和补角
1. 余角
如果____________________，那么称这两个角互为余角，简称______.
若，则与互为余角. 同角或等角的余角相等.
2. 补角
如果____________________，那么称这两个角互为补角，简称______.
若，则与互为补角. 同角或等角的补角相等.
四、垂线与点到直线的距离
1.垂线的概念
两条直线相交成四个角，如果__________________，那么称这两条直线_________，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.
2.两条直线互相垂直的表示方法
通常用符号“”表示两条直线互相垂直，如直线与
直线垂直，可记作（或），读作垂直
于（或垂直于），垂足为点（如右图）.
3.垂线的性质
平面内，过一点_________一条直线与已知直线垂直.
如图①，点在直线上；如图②，点在直线外.
4.垂线段的性质
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，____________.
如右图，若于点，则线段中，线段最短.
5.点到直线的距离
从直线外一点到这条直线的________________，
叫作点到直线的距离.
如右图，线段是点到直线的垂线段，线段的
长度叫作点到直线的距离.
6.垂线的画法（利用三角尺来画）
（1）一靠：使三角尺的一条直角边靠在已知直线上；
（2）二过：移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过已知点；
（3）三画：沿过已知点的直角边画直线，并在垂足处标上“”.
◎例题精讲
例题1 下列说法正确的是( )
在同一个平面内,不相交的两条线段是平行线
在同一个平面内,两条线段不相交就重合
在同一个平面内,没有公共点的两条直线是平行线
不相交的两条直线是平行线
例题2 下面五个图形中,∠1与∠2是对顶角的图形有_______个.
例题3 如图所示，已知直线、、交于点，，
，求的度数.
例题4 如图，是一条直线，，.（1）求的度数.
（2）图中有哪几对角互为余角?
（3）图中有哪几对角互为补角?
例题5 如图，与相交于点，且.
（1）有什么关系？为什么？
（2）有什么关系？为什么？
例题6 如图①，已知，，垂足为，则点到直线的距离为线段 的长；线段的长为点 到直线 的距离.
例题7 如图②，在直角三角形中，，，，，试化简：.
例题8 如图，已知直线相交于点，.
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数；
（3）在（2）的条件下，过点作，
请直接写出的度数.
◎夯实基础
1. 如图所示,、是直线，、是射线,其中构成对顶角的是( )
- 如图所示，已知直线、相交于点,平分，，
则的度数等于( )
- 下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（ ）
从一条河流向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短
将一根木条固定到墙上需要两颗钉子，所用数学原理是：两点确定一条直线
从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
- 如果和互为补角，且，那么的余角是( )
5. 判断正误：
（1）两条直线不相交就平行，平行就不相交； （ ）
（2）在同一平面内，两条直线不相交就平行，平行就不相交； （ ）
（3）在同一平面内，两条线段不相交就平行； （ ）
（4）在同一平面内，两条直线的位置关系有三种：相交，垂直，平行.（ ）
6. 如图是由两块三角板拼成的图形,在直角顶点处构成
了3个锐角,这三个锐角中互余的角是______________,
相等的角是________,相等的理由是__________________.
- 已知与互余，与互补，若,则的度数是_________.
- 如图所示，，，，
线段的长度是点 到直线_____的距离；点到
直线的距离是线段______的长度；能表示点到直线
（或线段）的距离的线段有______条.
- 平面内互不重合的三条直线的交点个数是__________________.
10. 如图所示,直线，，都经过点，求的度数.
11. 如图，直线与的两边、分别交于点,
,找出图中与相等的角，并说明理由.
- 一个角的余角比这个角的补角的还小10°，
求这个角的补角及这个角的余角.
- 如图，平原上有A、B、C、D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池.
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它到四个村庄距离之和最小.
（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短? 并说明根据.
- 已知，.
（1）如图①，若，求的度数.
（2）如图②，若，求的度数.
（3）根据（1）（2）结果猜想与有怎样的关系？
并根据图①说明理由.
（4）如图②，若，求和的度数.
◎易错扫雷
对垂线段的性质理解不透彻而致错
- 点为直线外一点，点为直线上三点，，，，则点到直线的距离（ ）
等于 等于 小于 不大于
对余角和补角的定义理解不透而致错
- 下列说法中正确的是_________.（填序号）
①钝角与锐角互补； ②的余角是；
③的补角是； ④若，则互余.
误认为垂足一定要在线段或射线上而导致错误
- （1）在图①中，过外一点作的垂线；
（2）在图②中，过点，分别作，的垂线.
◎能力拔高
1.通过画图，寻找对顶角和邻补角(不含平角)：
(1)若2条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角.
(2)若3条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角.
(3)若4条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角.
(4)通过(1)~(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于同一点，则可形成_____________对对顶角，_____________对邻补角.
2.在同一平面上条直线两两相交，求证：所成的角中至少有一个角不大于.
