数学（湖南长沙卷）-学易金卷：2023年中考第一次模拟考试卷

2023年中考数学第一次模拟考试卷

数学·全解全析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1．C

【分析】根据相反数的概念求解即可．

【详解】-（-3）=3，即-3的相反数是3，

故选：C．

【点睛】本题主要考查相反数．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，在任意一个数的前面填上“-”号，新的数就表示原数的相反数．

2．C

【分析】根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形即可．

【详解】解：从正面看该组合体，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为1、2、1．

故选：C．

【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握主视图的画法是正确判断的关键．

3．D

【分析】根据统计图的选择，随机事件的定义，中位数的定义，抽样调查与普查逐项分析判断即可求解．

【详解】解：A. 为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用折线统计图最合适，故该选项不正确，不符合题意；

B. “煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，故该选项不正确，不符合题意；

C. 一组数据的中位数只有1个，故该选项不正确，不符合题意；

D. 为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式，故该选项正确，符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了统计图的选择，随机事件的定义，中位数的定义，抽样调查与普查，掌握相关定义以及统计图知识是解题的关键．必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系．

4．A

【分析】A、根据合并同类项的法则计算判断即可；B、根据幂的乘方运算法则计算判断即可；C、根据二次根式的加减运算法则计算判断即可；D、根据完全平方公式计算即可．

【详解】解：A、原式＝a，正确，符合题意；

B、原式＝a6，错误，不合题意；

C、原式＝，错误，不合题意；

D、原式＝a2﹣2a+1，错误，不合题意；

故选：A．

【点睛】此题考查的是完全平方公式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方、二次根据的加减法，掌握它们的运算法则是解决此题的关键．

5．B

【分析】根据，得出，判断选项中的点所在的象限，即可得出答案．

【详解】∵

∴

选项A：在第一象限

选项B：在第二象限

选项C：在第三象限

选项D：在第四象限

小手盖住的点位于第二象限

故选：B

【点睛】本题考查了点的象限的判断，熟练进行正负的判断是解题的关键．

6．C

【分析】现将数列从小达到重新排列，再根据中位数和众数的定义求解即可．

【详解】数列从小达到重新排列如下：

85，88，90，92，93，93，95，

中位数为：92，众数为：93，

故选：C．

【点睛】本题考查了中位数和众数的定义，理解中位数和众数的定义是解答本题的关键．

7．D

【分析】设快马x天可以追上慢马，根据路程=速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．

【详解】解：设快马x天可以追上慢马，

依题意，得： 240x-150x=150×12．

故选：D．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

8．A

【分析】由邻补角的定义可求得，再由平行线的性质可得，利用三角形的外角性质即可求∠2．

【详解】解：如图，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵∠A＝30°，∠2＝∠4＋∠A，

∴，故A正确．

故选：A．

【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．

9．B

【分析】先根据圆周角定理求得的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数即可．

【详解】解：∵，

∴，

∵四边形是的内接四边形，

∴，

故选：B.

【点睛】此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键．

10．B

【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据角平分线的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．

【详解】如图，设与的交点为，

根据作图可得，且平分，

，

四边形是矩形，

，

，

又， ，

，

，

，

四边形是平行四边形，

垂直平分，

，

四边形是菱形，故①正确；

②，

，

∠AFB＝2∠ACB；故②正确；

③由菱形的面积可得AC•EF＝CF•CD；故③不正确，

④四边形是矩形，

，

若AF平分∠BAC，，

则，

，

，

，

，

，

，

CF＝2BF．故④正确；

故选B

【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．

二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）

11．x>3

【分析】根据分式有意义条件和二次根式有意义的条件得x-3>0，求解即可．

【详解】解：由题意，得

所以x-3>0，

解得：x>3，     故答案为：x>3．

【点睛】本题考查分式有意义条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义条件：分母不等于0，二次根式有意义的条件：被开方数为非负数是解题的关键．

12．

【分析】先去分母，将分式方程转化成整式方程求解，再检验即可求解；

【详解】解：方程两边同时乘以2x(x+1)，得

3(x+1)=4x

3x+3=4x

x=3，

检验：把x=3代入2x(x+1)=2×3(3+1)=24≠0，

∴原分式方程的解为：x=3．

故答案为：x=3．

【点睛】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是将分式方程转化成整式方程求解，注意：解分式方程一定要验根．

13．或

【分析】连接，先根据垂径定理、线段中点的定义可得，设的半径长为，则，，再在中，利用勾股定理即可得．

【详解】解：如图，连接，

是中的弦的中点，且，

，，

设的半径长为，则，

，

，

在中，，即，

解得，

即的半径长为，

故答案为：．

【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．

14．800

【分析】在样本中“200只A种候鸟中有10只佩有识别卡”，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．

【详解】解：设该湿地约有x只A种候鸟，

则200：10＝x：40，

解得x＝800．

故答案为：800．

15．

【分析】，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案．

【详解】解：∵是方程的根

∴，

∴

∴k=-4

故答案是-4．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的问题是本题的解题关键．

16．④

【分析】根据等式的性质2即可得到结论．

【详解】等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式，等式不变，

∴第④步等式两边都除以，得，前提必须为，因此错误；

故答案为：④．

【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键．

三、解答题（本大题共9小题，其中第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，满分72分）

17．9

【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的化简法则计算即可．

【详解】

=        ……4分

=9．                      ……6分

【点睛】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．

18．不等式组的解集是

【分析】分别求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可．

【详解】解：，

解不等式得：，    ……2分

解不等式得：，  ……4分

∴不等式组的解集是．   ……6分

【点睛】本题主要考查了解不等式组，准确求出两个不等式的解集，是解题的关键．

19．该建筑物的高度约为31.9m

【分析】如图，作交于点E，作交于点F，作交于点H，根据题意分别求出BF和AF的长，再根据即可求解．

【详解】作交于点E，作交于点F，作交于点H

则，，

∵

∴设，则

在中，

∴

∴

∴（负值舍去）

∴，         ……3分

∴，

设，则

在中，

∵

∴

在中，

∵

∴

即

∵

∴

∴

∴  

答：该建筑物的高度约为31.9m．……6分

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握坡角坡度，仰角的定义，添加合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．

20．(1)120，99

(2)见解析

(3)

【分析】（1）由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；

（2）求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；

（3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．

【详解】（1）解：参与了本次问卷调查的学生人数为：（名），

则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：，

故答案为：120，99；     ……2分

（2）解：条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：（名），

则选修“园艺”的学生人数为：（名），

补全条形统计图如下：

        ……4分

（3）解：把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、，

画树状图如下：

共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，

小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．   ……8分

【点睛】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

21．(1)证明见解析

(2)∠D＝70°

【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B＝∠C，根据AAS推出△ABE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出即可；

（2）根据全等得出AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，求出CF＝CD，推出∠D＝∠CFD，即可求出答案．

【详解】（1）证明：∵ABCD，

∴∠B＝∠C，

在△ABE和△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF（AAS），

∴AB＝CD；        ……4分

（2）解：∵△ABE≌△DCF，

∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，

∵∠B＝40°，

∴∠C＝40°

∵AB＝CF，

∴CF＝CD，

∴∠D＝∠CFD＝（180°﹣40°）＝70°．     ……8分

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的判定求出△ABE≌△CDF是解此题的关键．

22．(1)购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元

(2)共有6种进货方案

(3)当购进A种纪念品160件B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元

【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组进行求解即可；

（2）根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可；

（3）设总利润为W元，求出W和x之间的函数关系式，利用一次函数的性质进行求解即可．

【详解】（1）设A种纪念品单价为a元，B种纪念品单价为b元

根据题意，得  解得

∴购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元.     ……3分

（2）设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个

根据题意，得

变形得

由题意得：

由①得：

由②得：

∴

∵x，y均为正整数

∴x可取的正整数值是150，152，154，156，158，160

与x相对应的y可取的正整数值是25，24，23，22，21，20

∴共有6种进货方案.         ……6分

（3）设总利润为W元

则

∵

∴W随x的增大而增大

∴当时，W有最大值：（元）      

∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元． ……9分

【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的实际应用．根据题意正确的列出二元一次方程组，一元一次不等式组，根据一次函数的性质进行求解，是解题的关键．

23．(1)证明见解析

(2)

(3)解析式为，当时，y有最大值为

【分析】（1）利用AA证明，即可；

（2）过点E作于点N，可得四边形为矩形，从而得到，再由勾股定理求出BM=3，从而得到，进而得到，再由勾股定理，即可求解；

（3）延长交的延长线于点G．根据，可得，再证得，可得，从而得到，再根据三角形的面积公式，得到函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．

（1）

证明：∵是边上的高，

∴，

又∵，

∴；      ……2分

（2）

解：过点E作于点N，

在平行四边形中，，

又∵是边上的高，

∴AM⊥AD，

∴，

∴四边形为矩形，

∴，

在中，，

又∵E为的中点，

∴，

∴，

∴，

在中，；     ……5分

；

（3）

解：延长交的延长线于点G．

∵，

∴，

∴，

∵ABCD，

∴，∠EGC=∠BFE=90°，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

∴，

∴当时，y有最大值为．      ……9分

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质是解题的关键．

24．（1）30°；（2）见解析；（3）

【分析】（1）连接BD，易证，则由全等三角形的性质可得△DBP是等边三角形，则可得∠BPD=60゜，再由BC边是直径即可求得结果；

（2）连接AP并延长交BC于点G，则由垂直平分线的性质可得AG⊥BC，且BG=CG，设，则CE、EG、BC、AB、BP均可用x的代数式表示，这样在由勾股定理可求得PG的长，在中，由正切的三角函数可求得∠GEP=60゜，从而可得，根据相似三角形的性质即可得结论；

（3）延长MP交AB于点H，连接AP，过点P作，垂足为N，则由已知易得∠MHA=90゜，由直角三角形的性质及勾股定理可得AH、MH的长，从而可求得△PAB的面积，在Rt△MNP中，由直角三角形的性质可得PN的长，从而可求得△PAC的面积，而，从而可求得结果．

【详解】（1）如图，连接BD

是等边三角形，

，．

，，

，

，．

，

，

，

是等边三角形，

．

BC为半圆O的直径，

，

．       ……3分

（2）如图，连接AP并延长交BC于点G

，，

，．

设，则，

．

，

．

，

．

，

．

在中，由勾股定理得：，

．

在中，，

，

．

，

，

，

．         ……6分

（3）如图，延长MP交AB于点H，连接AP，过点P作，垂足为N

，，

．

，

．

，

．

在中，，，

，

．

，

．

，

在中，，，

．

．

．         ……10分

【点睛】本题是一个几何综合题，考查了圆的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，30゜角的直角三角形的性质，勾股定理，图形面积的计算，锐角三角函数等知识，题目不算太难，但涉及的知识点多，关键是要灵活运用这些知识．

25．(1)

(2)①，；②见解析

(3)①，理由见解析；②3

【分析】（1）通过一次函数表达式可以求出A、B两点坐标，将A、B、C三点坐标代入二次函数表达式即可求解；

（2）①通过联立关系式可得：，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到的值；

②通过A（-2，0），E即可求出AE的长度；

通过B，F即可求出BF的长度；

（3）①通过二次函数平移前后的表达式可以确定新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移个单位，向上平移3个单位得到的，从而可以得到：，．通过联立关系式可得：，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到点P、点Q的横坐标，通过坐标即可表示出的长度．

②由①可得，求解即可．

【详解】（1）令，则，解得，

∴，

将点代入中，解得，

∴点的坐标为．

将，，代入可得：

，解得：，

∴二次函数的表达式为．      ……2分

（2）①∵一次函数与二次函数的图像交于点、（），

∴联立关系式得：，

整理得：，

解得：，，

故答案为：，；      ……4分

②当时，位于的上方，∵、，

∴，，

∴，

当时，位于的下方，同理可证．  ……6分

故可得：；

（3）方法一：

①∵二次函数图像的顶点为，

二次函数的图像的顶点为，

∴新二次函数的图像是由原二次函数的图像向右平移个单位，向上平移3个单位得到的．

∴的对应点为，的对应点为，

联立关系式可得：，

整理得：，

，

当时，解得：，，

∴，，

∴．       ……8分

②∵，．

∴，

∴，

解得:．     ……10分

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，联立关系式求交点坐标及利用点的坐标表示线段的长度，能够熟练掌握函数中表示线段长度的方法，求交点坐标的方法，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解决本题的关键．