2023年上海市杨浦区中考数学一模试卷（含解析）

2023年上海市杨浦区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列函数中，二次函数是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  已知点在平面直角坐标系中，射线与轴正半轴的夹角为，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为：，它把物体从地面点处送到离地面米高的处，则物体从到所经过的路程为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

5.  如图，在中，，，垂足为点，下列结论中，错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在中，平分，点在边上，线段与交于点，且，下列结论中，错误的是(    )

A. ∽
B. ∽
C. ∽
D. ∽

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7.  求值：        ．

8.  计算：        ．

9.  如果函数，那么        ．

10.  如果两个相似三角形的周长比为：，那么它们的对应高的比为______．

11.  已知点是线段的黄金分割点，如果，那么线段        ．

12.  已知在中，，，，那么       

13.  已知抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是        ．

14.  将抛物线向下平移个单位后，它的顶点恰好落在轴上，那么        ．

15.  广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度米关于水珠与喷头的水平距离米的函数解析式是水珠可以达到的最大高度是        米．

16.  如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点到球心的长度为厘米，小球在左右两个最高位置时，细绳相应所成的角为，那么小球在最高和最低位置时的高度差为        厘米参考数据：，，

17.  如图，已知在四边形中，，，，点、分别在线段、上如果，那么的值为        ．

18.  如图，已知在矩形中，，，将矩形绕点旋转，使点恰好落在对角线上的点处，点、分别落在点、处，边、分别与边交于点、，那么线段的长为        ．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
在平面直角坐标系中，点、在抛物线上．
如果，那么抛物线的对称轴为直线        ；
如果点、在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标．

20.  本小题分
如图，已知中，点、分别在边和上，，且经过的重心．
设，        用向量表示；
如果，，求边的长．

21.  本小题分
如图，某条道路上通行车辆限速为千米小时，在离道路米的点处建一个监测点，道路的段为监测区在中，已知，，车辆通过段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？精确到秒参考数据：
 

22.  本小题分
新定义：由边长为的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点如图，已知在的网格图形中，的顶点、、都在格点上请按要求完成下列问题：
       ；        ；
请仅用无刻度的直尺在线段上求作一点，使不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论

23.  本小题分
已知：如图，在中，点、、分别在边、、上，，．
求证：∽；
联结，如果，求证：．

24.  本小题分
已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．
求抛物线的表达式；
点是直线上方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，与直线交于点如果，求点的坐标；
在第小题的条件下，联结，试问点关于直线对称的点是否恰好落在直线上？请说明理由．

25.  本小题分
已知在正方形中，对角线，点、分别在边、上，．
如图，如果，求线段的长；
过点作，垂足为点，与交于点．
求证：；
设的中点为点，如果，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意；
B、是二次函数，故此选项符合题意；
C、可化为，不是二次函数，故此选项不合题意；
D、不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：．
利用二次函数定义进行解答即可．
此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数的定义，一次函数、反比例函数定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：连接，作轴于点，则，
点
，，
，
射线与轴正半轴的夹角为，
，
故选：．
根据题意，画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理可以得到的长，从而可以计算出的值．
本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出的长．
 

3.【答案】 

【解析】解：、得出的是向量的方向不是单位向量，故不符合题意；
B、符合向量的长度及方向，故符合题意；
C、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故不符合题意；
D、左边得出的是向量的方向，右边得出的是向量的方向，两者方向不一定相同，故不符合题意．
故选：．
长度不为的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．
本题考查了向量的性质．注意：平面向量既有大小，又有方向．
 

4.【答案】 

【解析】解：：：，
：：，
，
，
物体从到所经过的路程为，
故选：．
由题意可得物体从到所经过的路程为的长，根据坡比求出的长，再根据勾股定理求出的长即可．
本题考查了轨迹，解直角三角形，知道坡比的概念是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
∽，
，
故A、选项正确，不符合题意；
故C选项错误，符合题意；
，
，
，，
，
∽，
，
故D选项正确，不符合题意．
故选：．
根据题意，易证明∽，∽，根据相似三角形的性质即可选择．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
∽，
故A正确；
∽，
，
又，
∽，
故B正确；
平分，
，
又，
∽，
故C正确；
由已知条件无法证明∽，
故D错误；
故选：．
根据相似三角形的判定逐一判定即可．
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据特殊角的三角函数值知：，
故答案为：．
根据特殊角的三角函数值直接写出即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，解题时牢记特殊角的三角函数值是关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据平面向量的加法法则计算即可．
本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是掌握平面向量的加法法则，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：把代入得：
．
故答案为：．
计算自变量为对应的函数值即可．
本题考查了函数值：函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．
 

10.【答案】： 

【解析】解：两个相似三角形的周长比为：，
这两个相似三角形的相似比为：，
它们的对应高的比为：：，
故答案为：：．
根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比，再根据对应高线的比等于相似比可得到答案．
本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比、对应高线比等于相似比是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：点是线段的黄金分割点，，，
，
故答案为：．
由黄金分割的定义得，即可得出结论．
本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，比值叫做黄金比．
 

12.【答案】 

【解析】解：过作于，则，

，，，
设，则，
在中，
，即，
解得负值舍去，
，，
，
由勾股定理得：．
故答案为：．
过作于，解直角三角形求出和，求出，再根据勾股定理求出即可．
本题考查了解直角三角形和勾股定理，能熟记锐角三角形函数的定义和勾股定理解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，
抛物线开口向上，
，
故答案为：．
由题意可得抛物线开口向上，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
将抛物线沿轴向下平移个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在轴上，
，
故答案为：．
利用平移的性质得出平移后解析式，进而得出其顶点坐标．
此题主要考查了二次函数的平移以及图形的旋转以及配方法求二次函数顶点坐标等知识，正确记忆二次函数平移规律是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
当时，有最大值，
水珠可以达到的最大高度为米．
故答案为：．
先把函数关系式配方，求出函数的最大值，即可得出水珠达到的最大高度．
本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出函数的最大值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图：过作于．

中，厘米，，
．
厘米．
故答案为：．
当小球在最高位置时，过小球作小球位置最低时细绳的垂线，在构建的直角三角形中，可根据偏转角的度数和细绳的长度，求出小球最低位置时的铅直高度，进而可求出小球在最高位置与最低位置时的高度差．
此题考查了三角函数的基本概念，主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接，过作于，如图：

，，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
∽，
，
故答案为：．
连接，过作于，由，，可得是等边三角形，即可得，根据，，可证∽，故．
本题考查等边三角形的性质，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

在矩形中，，，
，
将矩形绕点旋转，使点恰好落在对角线上的点处，
，，，
，
，，
∽，
，即，
，，
，
，
，
，
∽，
，即，
，，
，
，
设，则，
，，
∽，
，即，
解得：，
，
．
故答案为：．
过点作于点，先根据勾股定理求出，再根据旋转的性质可得，，，则，再证明∽，由相似三角形的性质求出，，则，再证明∽，由相似三角形的性质求出，，则，设，则，易证明∽，相似三角形的性质列出方程求解即可．
本题主要考查矩形的性质、旋转的性质、勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：、，，
点和点为抛物线上的对称点，
抛物线的对称轴为直线；
故答案为：；
把、分别代入得，，
、，
把、分别代入得，
解得，
抛物线解析式为，
，
抛物线的顶点坐标为
当时，则点和点为抛物线上的对称点，然后利用抛物线的对称性确定对称轴；
先利用一次函数解析式确定点、的坐标，再把点、的坐标分别入得、的方程组，则解方程可得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
 

20.【答案】 

【解析】解：连接并延长交于，如图：

是的重心，
，
，
，
∽，∽，
，
，
，，
；
故答案为：；
，由知，
，
，，
∽，
，即，
，
解得负值已舍去，
边的长为．
连接并延长交于，由是的重心，，可得，而，即得；
证明∽，可得，即得．
本题考查平面向量和相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
 

21.【答案】解：过作于，如图：

由已知可得，米，
在中，
，
，
米，
在中，
，
米，
米，
千米小时米秒，
而秒，
车辆通过段的时间在秒以内时，可认定为超速． 

【解析】过作于，由已知可得，米，在中，米，在中，米，可得米，而秒，即可得到答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

22.【答案】  

【解析】解：由图可得：
，
过作于，如图：

，
，
，
故答案为：，；
如图：

点即为所求点．
由正方形面积减去三个直角三角形面积可求，过作于，用面积法可求的长，在中可得；
取格点，，连接交于，由可知，从而，即可得，故是满足条件的点．
本题考查作图应用与设计作图，设计三角形面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定定理．
 

23.【答案】证明：如图：

，
，
，
∽，
，
，
∽；
如图：

由知∽，∽，
，，
，
，
，即，
，
∽，
，
． 

【解析】由可得∽，有，又，故∽；
由∽，∽，可得，，即得，而，可得，∽，从而，．
本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
 

24.【答案】解：把，代入得：
，
解得，
；
如图：

由，可得直线解析式为，，
设，则，
，，
，，
∽，
，即，
，
，
，
解得或与重合，舍去，
；
点关于直线对称的点恰好落在直线上，理由如下：
作关于直线的对称点，过作轴于，设交于，如图：

由得抛物线对称轴为直线，，
，，
，
，
，关于直线对称，
，，
，
∽，
，即，
，，
，
，，
∽，
，即，
，，
，
，
由，得直线解析式为，
在中，令得，
在直线直线上，即关于直线对称的点恰好落在直线上． 

【解析】用待定系数法可得；
由，可得直线解析式为，，设，可得，由∽，可得，故，即可解得；
作关于直线的对称点，过作轴于，设交于，由得抛物线对称轴为直线，，证明∽，可得，，从而，又∽，即可得，，，由，得直线解析式为，故E在直线直线上．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
 

25.【答案】解：如图，

连接，
四边形是正方形，，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
设，则，，
，
，
，舍去，
；
证明：如图，

延长，交于，作，
，
，
，
四边形是正方形，
，，，
四边形是平行四边形，，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
；
如图，

作于，
设，则，，
在中，
，
在中，，
，
由知，
，
，
，
舍去，，
，，，
，，
，，
∽，
，
，
，
，
，
． 

【解析】可推出是等边三角形，从而，设，从而表示出和，进一步得出结果；
延长，交于，作，可证得≌，进而得出，根据得出，从而得出；
作于，设，从而，，在中可表示出，在中，，由知，，从而，从而得出，求得的值，从而得出，，，根据∽可得出，进一步得出结果．
本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形．