初中数学北师大版八年级下册1 不等关系教案

教学

环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情境

【情境引入】

 如图，用长度为 l 的绳子围成一个正方形，要使正方形的面积不大于 25 ，那么绳长应满足怎样的关系式？

提示：能用含 l 的式子表示这个正方形的面积吗？

教师活动：教师提出问题，激发学生的思考，并用提示引导学生分析数量关系，引出本节课要讲的内容.

认真观察并思考，并举手回答

通过情境问题引发学生的思考，调动学生的积极性，激发学生的探索欲.

环节二 探究新知

【合作探究】

教师活动：教师出示问题，在学生充分思考后，用课件展示分析过程和成果.问题涉及“不大于”“不小于”，先让学生举例说明对这两个词的认识，教师再明确这两个词的含义及其符号表示.

问题1： 如图，用长度为 l cm的绳子围成一个正方形，要使正方形的面积不大于 25 ，那么绳长应满足怎样的关系式？

预设答案：

追问：“不大于”是什么意思？怎么用符号表示出来？

预设答案：不大于25，即小于或等于25，即 ≤25.

【归纳】

“不大于”指的是“小于或等于”，通常用符号“≤”表示.

例如： x 不大于10可以表示为 x ≤10（读作“ x 小于或等于10”）.

类似地，“不小于”指的是“大于或等于”，通常用符号“≥”表示（读作“大于或等于”）.

问题2： 如果用长度为 l cm 的绳子围成一个圆，要使圆的面积不小于 100 ，那么绳长应满足怎样的关系式？

预设答案：

即 ≥100.

问题3：当 l = 8 时，围成正方形或圆，哪个面积大？ l = 12时呢？改变 l 的取值再试一试，由此你能得到什么猜想？

预设答案：

当 l = 8 时，正方形的面积为 ()，圆的面积为 ()，

4 < ，此时圆的面积大.

当 l = 12 时，正方形的面积为 ()，圆的面积为 ()，

9 < ，此时还是圆的面积大.

改变 l 的值，如：l = 16，此时正方形的面积为 ()，圆的面积为 ()，

16< ，仍能得到相同的结论.

猜想: 用长度均为 l cm 的两根绳子分别围成一个正方形和一个圆，无论 l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即 >.

【做一做】

教师活动：教师出示问题，让学生进行回忆并动手推导，在学生充分交流得出结论后，用课件展示计算过程并进行归纳.

 1. 铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高三边之和不得超过160 cm. 设行李的长、宽、高分别为 a cm，b cm，c cm，请你列出行李的长、宽、高满足的关系式.

预设答案：

长+宽+高  不超过（不大于，即小于或等于）

a+b+c      ≤       160

2. 通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以估计出它的树龄.通常规定以树干离地面 1.5 cm 的地方为测量部位. 某棵树栽种时的树围为 6 cm，以后10年内每年增加约 3 cm，设经过 x 年后这棵树的树围超过 30 cm，请你列出 x 满足的关系式.

预设答案：

初始树围  增长速度3cm/年 超过(大于)30 cm

6        + 3x          >30

【议一议】

观察由上述问题得到的关系式： >，a+b+c≤160，6+3x＞30，它们有什么共同特点？

预设答案：都由不等号连接.

【归纳】

一般地，用不等号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式.

注：需要说明的是，用“≠”连接的式子也是不等式.

常用的不等符号

   认真思考，积极作答

   根据提示分析“不大于”的含义，并跟随教师对“不大于”和“不小于”进行归纳总结

在问题1的经验下，对问题2进行独立分析，并用不等号将结果表示出来

分组计算并比较，交流结果，师生共同总结得出猜想

分析问题，列出关系式，试着说明理由

仔细观察，寻找联系，得出结论

通过探究问题直接建立不等关系，让学生充分感受生活中的不等关系，锻炼学生分析问题中数量关系的能力，更好地感受模型思想.

体会同类量之间最常见的是比大小问题，并发展学生的归纳猜想能力，在解决这一串问题的过程中，让学生体会不等式与方程、函数一样，也是刻画事物变化规律的重要模型，并初步感知最优化思想.

进一步让学生经历由实际问题建立不等式的过程，为后面得出不等式的概念积累素材.

让学生抽象概括不等式的概念.可与等式进行类比，培养学生的类比思想和语言表达能力.

通过归纳帮助学生进行整理，并引出不等式的概念.

环节三

应用新知

【典型例题】

【例】用适当的不等号表示下列关系 ：

(1)  a是正数；

(2)  x的2倍与3的和小于4；

(3)  x的一半与6的和大于x的4倍；

(4)  x的3倍不大于x与3的差.

分析：关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等，正确选择不等号．

教师活动：组织学生小组比拼，竞答竞速，交流思路.

解：(1) a＞0；

(2)  2x + 3 < 4；

(3)  + 6 > 4x；

(4)  3x ≤ x 3.

认真思考，抢答思路，跟随教师一起分析问题，解决问题

例题训练，示范分析解答，进一步提高新知识的掌握.

环节四

巩固新知

【随堂练习】

 1. 用适当的不等号表示下列关系： 

 (1)  a 是非负数；

 (2) 直角三角形的一条直角边a比斜边c短；

 (3) x 与17的和比它的5倍小；

 (4) 两数的平方和不小于这两数积的2倍.

解：(1) a≥0；     (2) a < c；   

(3) x + 17 < 5x；    (4) ≥2ab.

结论：列不等式是常见的不等关系

 明显的不等关系：

    如，大于、超过、比…大(＞)；小于、不足、比…小(＜)；不大于、不超过、至多(≤)；不小于、不低于、至少(≥)；不等于(≠)；

 隐含的不等关系：

    如，正数(＞0)；负数(＜0)；非负数(≥0)；非正数(≤0).

小组内PK，完成练习，看看谁做得又快又准

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，小组比拼激发学生的学习兴趣，提升荣誉感，活跃课堂气氛.

2. 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：

现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量 x（千克）应满足的不等式.

解：600x + 100(10 x) ≥ 4200

环节五

课堂小结

回顾本节课所讲的内容

通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

环节六

布置作业

教科书习题2.1第2，3，4题

课后完成练习

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.