初中数学人教版七年级下册第六章 实数6.3 实数教案设计

这是一份初中数学人教版七年级下册第六章 实数6.3 实数教案设计，共17页。教案主要包含了典型例题，思路点拨，巩固练习A组，提高练习B组，答案解析，答案与解析，总结升华，巩固练习B组等内容，欢迎下载使用。

要点一：有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
要点二：实数的概念
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
要点三：实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
要点四：实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
例题精讲：
【典型例题】
类型一、实数概念
例1：（1）指出下列各数中的有理数和无理数：

【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.
（2）把下列各数分别填入相应的集合内：
，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）
…
有理数集合
…
无理数集合
[随堂演练1]
【变式1】在下列语句中：
①无理数的相反数是无理数； ②一个数的绝对值一定是非负数；
③有理数比无理数小； ④无限小数不一定是无理数．
其中正确的是（ ）
A．②③B．②③④C．①②④D．②④
【变式2】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由.
(1)无理数都是开方开不尽的数.( )
(2)无理数都是无限小数.( )
(3)无限小数都是无理数.( )
(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( )
(5)不带根号的数都是有理数.( )
(6)带根号的数都是无理数.( )
(7)有理数都是有限小数.( )
(8)实数包括有限小数和无限小数.( )
类型二、实数大小的比较
例2： （1）比较和0.5的大小． （2）比较与的大小．
[随堂演练2]
【变式1】比较大小


【变式2】若两个连续整数x、y满足x＜+1＜y，则x+y的值是 ．
例3：（1）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）

ac＞bcB．|a﹣b|=a﹣bC．﹣a＜﹣b＜cD．﹣a﹣c＞﹣b﹣c
类型三、实数的运算
例4：（1）化简：
(2) (3)
（2）若，则________．
（3）求的值．
[随堂演练4]
【变式1】已知，求的值．
【变式2】若的两个平方根是方程的一组解．
（1）求的值；
（2）求的算术平方根．
类型四、实数的综合运用
例5：（1）已知，且，求的值．
（2）如图，半径为1个单位的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：圆的周长C=2πr）
（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是 ；
（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：
+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2
①第几次滚动后，Q点距离原点最近？第几次滚动后，Q点距离原点最远？
②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？
【思路点拨】（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；
（2）①利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出Q点移动距离变化；
②利用绝对值得性质以及有理数的加减运算得出移动距离和Q表示的数即可．
[随堂演练5]
【变式1】已知，求的值．
三、课后作业：
【巩固练习A组】
一.选择题
1.实数，0，﹣π，，﹣，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是（ ）
A．4B．2C．1D．3
2. 下列说法正确的是（ ）
A．无理数都是无限不循环小数B．无限小数都是无理数
C．有理数都是有限小数D．带根号的数都是无理数
3.估计的大小应在（ ）
A．7～8之间B．8.0～8.5之间
C．8.5～9.0之间D．9～10之间
4.如图，数轴上点表示的数可能是（ ）.
A． B． C． D．

5. 实数和的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
6．一个正方体水晶砖，体积为100，它的棱长大约在（ ）
A．4～5之间B．5～6之间
C．6～7之间D．7～8之间
二.填空题
7.在，，，，这五个实数中，无理数是_________________．
8.在数轴上与1距离是的点，表示的实数为______．
9.｜3.14－π｜＝______； ______．
10. 的整数部分是________，小数部分是________．
11.已知为整数，且满足，则________．
12. ﹣的相反数是 ，﹣2的绝对值是________，的立方根是 ．
三.解答题
13．化简：|﹣|﹣|3﹣|．
14. 天安门广场的面积大约是440000，若将其近似看作一个正方形，那么它的边长大约是多少？（用计算器计算，精确到）
15. 已知求的值．
【提高练习B组】
一.选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．|﹣2|=﹣2 B．0的倒数是0
C．4的平方根是2D．﹣3的相反数是3
2. 三个数，－3，的大小顺序是（ ）．
A． B．
C． D．
3. 要使，的取值范围是（ ）．
A．≤3 B．≥3 C．0≤≤3 D．一切实数
4. 估算的值在（ ）．
A．7和8之间 B．6和7之间 C．3和4之间 D．2和3之间
5. 若，、互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对是（ ）
A. B.与 C.与 D.与
6. 实数、、在数轴上对应点的位置如图所示，则下列关系正确的是（ ）
A．＞0 B．＜0 C． D．
二.填空题
7．，3.33……，， ，，，， ，中，无理数的个数是 个.
8. ＜0时，化简＝________.
9. 计算：＝__________．
10. 如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为 ．

11. 若，求的值.
12. 当 时,有最大值,最大值是 ________.
三.解答题
13．（1）求出下列各数：①2的平方根； ②﹣27的立方根； ③的算术平方根．
（2）将（1）中求出的每个数准确地表示在数轴上．
（3）将（1）中求出的每个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接．
14.已知实数、、满足，求的值；
15. 已知是的算术平方根，是的立方根，求B－A的平方根．
【答案解析】
例1：（1）【答案与解析】有理数有
无理数有……
【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，，，.
（2）【答案与解析】
有理数有：， ，，，0，
无理数有：，，， ，，， 0.3737737773……
【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，， ，，.
[随堂演练1]
【变式1】【答案】C；
解：①因为实数包括有理数和无理数，无理数的相反数 不可能式有理数，故本选项正确；
②一个数的绝对值一定≥0，故本选项正确；
③数的大小，和它是有理数还是无理数无关，故本选项是错误的；
④无限循环小数是有理数，故本选项正确．
【变式2】【答案】
(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020 020 002…这类的数也是无理数.
(2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.
(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数.
(4)(×)0是有理数.
(5)(×)如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数.
(6)(×)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数.
(7)(×)有理数还包括无限循环小数.
(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以 实数可以用有限小数和无限小数表示.
例2：（1）【答案与解析】解：作商，得．因为，即，所以．
【总结升华】根据若，均为正数，则由“，，”分别得到结论“，，，”从而比较两个实数的大小．比较大小的方法有作差法和作商法等，根据具体情况选用适当的方法.
（2）【思路点拨】根据，，则来比较两个实数的大小．
【答案与解析】
解：因为，．
所以＜
【总结升华】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、倒数法等.
[随堂演练2]
【变式1】【答案】＜； ＞； ＜； ＜； ＜； ＞； ＜.
【变式2】【答案】7．解：∵，∴，∵x＜+1＜y，∴x=3，y=4，∴x+y=3+4=7．
例3：（1）【答案】D；【解析】解：∵由图可知，a＜b＜0＜c，∴A、ac＜bc，故A选项错误；
B、∵a＜b，∴a﹣b＜0，∴|a﹣b|=b﹣a，故B选项错误；
C、∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b，故C选项错误；
D、∵﹣a＞﹣b，c＞0，∴﹣a﹣c＞﹣b﹣c，故D选项正确．故选：D．
【总结升华】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．
例4：（1）【答案与解析】
解：

.
【总结升华】有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
（2）【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中，b，c的值.
【答案】3；【解析】解：由非负数性质可知：，即，∴ ．
【总结升华】初中阶段所学的非负数有||，，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0 .
（3）【答案与解析】解：（1）当≥0时，，，所以．
（2）当＜0时，，，所以．即 值为0或2．
【总结升华】本题是涉及平方根（算术平方根）和立方根的综合运算，但还应注意本题需要分类讨论．要注意对的讨论，而开立方不需要讨论符号．
[随堂演练4]【变式1】【答案】解：由已知得，解得．
∴＝.
【变式2】【答案】解：（1）∵ 的平方根是的一组解，则设的平方根为，，
则根据题意得：解得∴ 为．
（2）∵ ．∴ 的算术平方根为4．
例5：（1）【答案与解析】解：∵ ，且，．
∴ ，即，．解得 ＝3，＝5，得＝64．∴ ．
【总结升华】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由，可求、，又，所以＝64，则可求．
（2）【答案与解析】
解：（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是﹣2π；
故答案为：﹣2π；
（2）①第4次滚动后Q点离原点最近，第3次滚动后，Q点离原点最远；
②|﹢2|+|﹣1|+|﹣5|+|+4|+|+3|+|﹣2|=17，
Q点运动的路程共有：17×2π×1=34π；
（+2）+（﹣1）+（﹣5）+（+4 ）+（+3 ）+（﹣2）=1，
1×2π=2π，此时点Q所表示的数是2π．
【总结升华】此题主要考查了数轴的应用以及绝对值得性质和圆的周长公式应用，利用数轴得出对应数是解题关键．
[随堂演练5]
【变式1】【答案】
解：知条件得，
由②得，，∵ ，∴ ，则．
把代入①得，＝1．
∴ ．
【巩固练习A组】
一.选择题
1.【答案】B．
【解析】在实数，0，﹣π，，﹣，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1）中，无理数有：﹣π，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），共2个.
2. 【答案】A；
【解析】根据无理数的定义作答.
3. 【答案】C；
【解析】，因为76比较接近81，所以在8.5～9.0之间.
4. 【答案】B；
【解析】2＜＜3
5. 【答案】C；
【解析】.
6. 【答案】A；
【解析】.
二.填空题
7． 【答案】，；
8. 【答案】；
【解析】与1的距离是的点在1的左右两边各有一个点，分别是、.
9. 【答案】π－3.14；.
【解析】负数的绝对值等于它的相反数.
10.【答案】2；；
【解析】，故整数部分为2，－2为小数部分.
11.【答案】 －1, 0, 1；
12.【答案】；2﹣；2．
三.解答题
13.【解析】
解：|﹣|﹣|3﹣|
=﹣（3﹣）
=2﹣﹣3．
14.【解析】
解：设广场的边长为，由题意得：
440000
＝≈663.
答：它的边长约为663m.
15.【解析】
解：∵
∴－2＝0且＝0
解得＝2，＝－3，
∴＝2－3＝－1.
【巩固练习B组】
一.选择题
1.【答案】D
【解析】A、|﹣2|=2，错误；B、0没有倒数，错误；C、4的平方根为±2，错误；
D、﹣3的相反数为3，正确.
2. 【答案】B；
【解析】．
3. 【答案】D；
【解析】本题主要考查立方根的性质，即．因为，所以可取一切实数．
4. 【答案】D；
【解析】，，所以选D.
5. 【答案】C；
【解析】＋＝0，＝－，所以 ，所以 ＋＝0.
6. 【答案】B；
【解析】从数轴上可以看出－3＜＜－2，－2＜＜－1，0＜＜1，所以很明显
＜0.
二.填空题
7. 【答案】4；
【解析】， ，，为无理数.
8. 【答案】0；
【解析】∵ ，∴ ．
9. 【答案】；
【解析】．
10.【答案】﹣﹣2．
【解析】如图，∵数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，
∴AB=﹣（﹣1）=+1，∵点B关于点A的对称点为C，∴AC=+1，
∴点C所表示的数为﹣（+1）﹣1=﹣﹣2．
11.【答案】1；
【解析】 ∴，∴.
12.【答案】±2；3；
【解析】当时，有最大值3.
三.解答题
13.【解析】
解：（1）2的平方根是，﹣27的立方根是﹣3，的算术平方根2；
（2）如图：
（3）﹣3＜﹣＜＜2．
14.【解析】
解：∵ ，，．
由题意，得方程组
， 解得．
∴＝.
15.【解析】
解：∵是的算术平方根，是的立方根，
∴，
解得
∴A＝1，B＝2，B－A＝1
∴B－A的平方根＝±1．
课程目标
1. 了解无理数和实数的意义；
2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .
课程重点
会进行实数的计算
课程难点
实数的综合运用
教学方法建议
熟悉掌握概念，熟练各种题型变换