北师大版高中数学选择性必修第一册6-1-1条件概率的概念学案

第六章　概　率

§1　随机事件的条件概率

  1.1　条件概率的概念

 [笔记教材]

知识点一　条件概率

设A，B是两个事件，且P(A)>0，则称

为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率．P(B|A)读作________发生的条件下________发生的概率．

注意：在事件A发生的前提下，事件B发生的概率不一定是P(B)，即P(B|A)与P(B)不一定相等．

知识点一　

　A　B

知识点二　条件概率的性质

假设A，B，C都是事件，且P(A)>0，则条件概率满足如下性质：

(1)P(B|A)∈________；

(2)P(A|A)＝________；

(3)如果B与C是两个互斥事件，则P[(B∪C)|A]＝________.

答案：(1)[0,1]　(2)1　(3)P(B|A)＋P(C|A)

[重点理解]

条件概率的理解

(1)一般地，每个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是指随机试验结果的部分信息已知(即在原试验条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率．

(2)事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件下的概率在很多情况下是不同的．

(3)当题目涉及“在……前提下”等字眼时，一般为条件概率．若题目没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也是条件概率．

(4)在条件概率的定义中，要强调P(A)＞0.当P(A)＝0时，不能用这一方法定义事件A发生的条件下，事件B发生的概率．

[自我排查]

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)

(1)在“A已发生”的条件下，B发生的概率可记作P(A|B)．()

(2)在某种情况下，条件概率中的条件意味着对样本空间进行压缩，相应的概率可在压缩的样本空间内直接计算．(√)

(3)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.()

(4)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．(√)

(5)当0<P(A)<1，且0<P(B)<1时，P(B|A)≠P(AB)．(√)

2．由“0”“1”组成的三位数组中，若用事件A表示“第二位数字为0”，用事件B表示“第一位数字为0”，则P(A|B)等于(　　)

A. B． 

C. D．

答案：A

3．下列式子成立的是(　　)

A．P(A|B)＝P(B|A) 

B．0<P(B|A)<1

C．P(AB)＝P(B|A)·P(A) 

D．P(A∩B|A)＝P(B)

答案：C

4．把一枚硬币任意掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，事件B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝________.

答案：

研习1  条件概率的计算

[典例1]　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．

[解]　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.

从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝6×5＝30，n(A)＝4×5＝20，n(AB)＝4×3＝12，于是P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝＝.

方法一：在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝＝＝.

方法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝＝＝.

[巧归纳]　条件概率的求法：(1)利用定义，分别求出P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.特别地，当B⊆A时，P(B|A)＝.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.

[练习1](1)一箱子内有6个白球，5个黑球，一次摸出3个球，在已知它们颜色相同的情况下，其颜色为白色的概率是(　　)

A.  　　 B.

C.  　　 D.

(2)一个家庭中有两个孩子，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个孩子是女孩，问这时另一个孩子是男孩的概率是________．

(1)答案：C

解析：设在已知它们颜色相同的前提下，其颜色为白色为事件A，则P(A)＝＝＝.

(2)答案：

解析：一个家庭有两个孩子只有4种可能：{两个都是男孩}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}，由题可知这4个基本事件发生是等可能的．根据题意，设A表示事件“其中有一个孩子是女孩”，B表示事件“另一个孩子是男孩”，则P(A)＝，P(AB)＝＝.P(B|A)＝＝.

研习2  　条件概率的性质

[典例2]　一个袋中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，不放回地从中依次摸两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率为________．

[答案]　

[解析]　设事件A为“摸出第一个球为红球”，事件B为“摸出第二个球为黄球”，事件C为“摸出第二个球为黑球”．P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝，P(C|A)＝＝＝.所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝，即所求概率为.

[巧归纳]　若事件B，C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，即为了求得比较复杂事件的概率，往往可以先把它分解成若干个互斥的较简单事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用概率的加法公式即得所求的复杂事件的概率．

[练习2]有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．

答案：

解析：设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则D＝B∪C，且B与C互斥，又P(A)＝＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝，故P(D|A)＝P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.

研习3  较复杂事件的概率求解

[典例3]　在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中的5道题就能获得优秀．已知某考生能答对其中的10道题，并且已知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．

[解]　设“该考生6道题全答对”为事件A，“该考生恰好答对了5道题”为事件B，“该考生恰好答对了4道题”为事件C，“该考生在这次考试中通过”为事件D，“该考生在这次考试中获得优秀”为事件E，则D＝A∪B∪C，E＝A∪B，且A，B，C两两互斥，由古典概型的概率公式知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.又AD＝A，BD＝B，所以P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝＋＝＋＝＋＝.

[巧归纳]　　　求较复杂事件的概率的一般步骤：

(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示．

(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥事件还是对立事件)，列出关系式．

(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式选行计算．

(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．

[练习3]将外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则试验成功．求试验成功的概率．

解：设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，R＝{第二次取出的球是红球}，W＝{第二次取出的球是白球}，则容易求得P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝，P(W|A)＝，P(R|B)＝，P(W|B)＝.

事件“试验成功”表示为RA∪RB，又事件RA与事件RB互斥，所以由概率的加法公式得P(RA∪RB)＝P(RA)＋P(RB)＝P(R|A)·P(A)＋P(R|B)·P(B)＝×＋×＝.

1．下面几种概率是条件概率的是(　　)

A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，各投篮一次都投中的概率

B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率

C．有10件产品，其中3件为次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率

D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，则小明在一次上学路上遇到红灯的概率

答案：B

解析：仅有选项B符合条件概率的定义．

2．从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A＝“取到的两个数之和为偶数”，事件B＝“取到的两个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　)

A. B． 

C. D．

答案：B

解析：因为P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝.

3．盒中有10只螺丝钉，其中3只是坏的，现在从盒中不放回地依次抽取两只，那么在第一只抽取为好的条件下，第二只是坏的概率为(　　)

A. B． 

C. D．

答案：B

解析：设事件A为“第一只抽取为好的”，事件B为“第二只是坏的”，则P(A)＝，P(AB)＝，所以P(B|A)＝，故选B.

4．某气象台统计，该地区下雨的概率为，刮四级以上风的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为.设A为下雨，B为刮四级以上的风，则P(B|A)＝________.

答案：

解析：，由题意知P(A)＝，P(AB)＝，故P(B|A)＝＝＝.

[误区警示]

对条件概率理解不透致错

 [示例]　设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是多少？

[错解]　0.4

[错因分析]　本题在求解时常常误以为它能活到25岁时的概率为0.4.错因在于没有弄清题意，误以为动物活到25岁的概率与动物活到20岁的概率相同．而题意是求20岁的动物能活到25岁的概率，是条件概率．

[正解]　设A＝“能活到20岁”，B＝“能活到25岁”，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，而所求概率为P(B|A)，由于B⊆A，故A∩B＝B，于是P(B|A)＝＝＝＝0.5.

所以这个动物能活到25岁的概率是0.5.

[题后总结]　计算条件概率要明确

(1)准确理解条件概率的概念，条件概率中的两个事件是互相影响的，其结果受两个条件的概率的制约．

(2)要正确求出条件概率，必须首先弄清楚“事件A发生”“事件A发生并且事件B也发生”“事件B在事件A发生的条件下发生”的概率之间的关系．