北师大版高中数学选择性必修第一册6-2离散型随机变量及其分布列学案

§2　离散型随机变量及其分布列

 [笔记教材]

知识点一　随机变量

(1)定义：取值随着试验结果的变化而________称为随机变量．

(2)表示方法：随机变量常用字母________等来表示．

答案：(1)变化的量　(2)X，Y，ξ，η

 知识点二　离散型随机变量

(1)定义：取值能够______________称为离散型随机变量．

(2)分布列：若离散型随机变量X的取值为x1，x2，xn，…，随机变量X取xi的概率为pi(i＝1,2，…，n)，记作P(X＝xi)＝________.

①式也可以列成表，如表：

表或①式称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列．

(3)性质：①pi>0(i＝1,2，…，n，…)；

②p1＋p2＋…＋pn＋…＝________.

(4)表示方法：如果随机变量X的分布列为表或①式，我们称随机变量X________这一分布列，记作

X～.

答案：(1)一一列举出来的随机变量　(2)pi(i＝1,2，…，n，…)　(3)1　(4)服从

 知识点三　两点分布

(1)伯努利试验的定义

若在某个试验中，每次试验只有两个________的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，每次“成功”的概率均为p，每次“失败”的概率均为1－p，则称这样的试验为伯努利试验．

(2)两点分布(又称0－1分布或伯努利分布)

如果随机变量X的分布列如表：

其中0<p<1，q＝1－p，那么称离散型随机变量X____________的两点分布(又称0－1分布或伯努利分布)．

注：两点分布的试验结果只有两种可能，且它们的概率之和为________．

答案：(1)相互对立　(2)服从参数为p　1

[重点理解]

1．对随机变量的理解

注意随机变量的三个特征：(1)可用数值表示；(2)试验之前可以判断随机变量可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定一次试验会出现哪－个结果，这就是“随机”的意义．

2．对离散型随机变量的理解

离散型随机变量的特征

(1)可用数值表示；

(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；

(3)试险之前不能确定取何值；

(4)试验结果能一一列出；

(5)本章研究的离散型随机变量只取有限个值．

 [自我排查]

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)

(1)随机事件发生前，其结果不能确定，但可能出现的结果能确定．(√)

(2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(√)

(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．()

(4)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．()

(5)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和，并且所有概率之和为1.(√)

(6)已知两离散型随机变量X，Y，满足Y＝2X，则X，Y的分布列相同．()

2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(　　)

A．取到产品的件数 B．取到正品的概率

C．取到次品的件数 D．取到次品的概率

答案：C3.同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为X，则X的所有可能的取值集合为________．

答案：{0,1,2,3,4,5}

4．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件取到次品就停止，抽取次数为X，则X＝3表示的试验是________．

答案：共抽取3次，前两次均是正品，第3次是次品

5．在射击试验中，令X＝如果射中的概率是0.9，则随机变量X的分布列为________．

答案：

研习1   离散型随机变量的判定

[典例1]　指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．

(1)一个袋中装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；

(2)某林场中的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度．

[解]　(1)是离散型随机变量．因为从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，所以所含白球的个数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．

(2)不是离散型随机变量．因为林场中树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，所以不是离散型随机变量．

[巧归纳]　离散型随机变量判定的关键及方法：(1)关键：判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出．(2)具体方法：①明确随机试验的所有可能结果；②将随机试验的试验结果数量化；③确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．

[练习1]指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．

(1)白炽灯的寿命X；

(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差X；

(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位X.

解：(1)白炽灯的寿命X的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以X不是离散型随机变量．

(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．

(3)不是离散型随机变量．因为水位在(0,29]这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出.

研习2  随机变量表示的结果和取值

[典例2]　写出下列随机变量可能的值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果．

(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1个球，被取出的球的编号为X；

(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X.

[解] 　(1)X的可能取值为1,2,3，…，10，X＝k(k＝1,2，…，10)表示取出第k号球．

(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.X＝k表示取出k个红球，4－k个白球，其中k＝0,1,2,3,4.

[巧归纳]　用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点：

(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．

(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．

[练习2](多选题)如果ξ是一个随机变量，则下列命题中的真命题有(　　)

A．ξ取每一个可能值的概率都是非负数

B．ξ取所有可能值的概率之和是1

C．ξ的取值与自然数一一对应

D．ξ的取值是实数

答案：ABD

解析：根据概率性质可得ξ取每一个可能值的概率都是非负数，所以A正确；

ξ取所有可能值的概率之和是1，所以B正确；

ξ的取值是实数，不一定是自然数，所以C错误，D正确．

故选ABD.

研习3  　离散型随机变量的分布列

[典例3]　一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ的分布列．

[解]　随机变量ξ的可能取值为3,4,5.

当ξ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两只球的编号只能是1,2，故有P(ξ＝3)＝＝；

当ξ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两只球只能在编号为1,2,3的3只球中取2只，

故有P(ξ＝4)＝＝；

当ξ＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他两只球只能在编号为1,2,3,4的4只球中取2只，故有P(ξ＝5)＝＝＝.

因此，ξ的分布列为

[巧归纳]　(1)求离散型随机变量的分布列的关键是搞清离散型随机变量X取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出X取每个值的概率，最后列出分布列．

(2)求离散型随机变量X的分布列的步骤是：首先确定X的所有可能的取值；其次，求相应的概率P(X＝xi)＝pi；最后列成表格的形式．

[练习3]将一颗骰子掷2次，求下列随机事件的分布列．

(1)两次掷出的最小点数Y；

(2)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差X.

解：设(i，j)表示掷两次骰子后出现的点数，i表示第一次的点数，j表示第二次的点数．

(1)Y的可能取值为1,2,3,4,5,6.

当Y＝1时，出现的点数为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)．

故P(Y＝1)＝，同理，P(Y＝2)＝＝，P(Y＝3)＝，P(Y＝4)＝，P(Y＝5)＝＝，P(Y＝6)＝.

所以Y的分布列为

(2)X的可能取值为－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5.

当X＝－5时，出现的点数为(1,6)，P(X＝－5)＝.

当X＝－4时，出现的点数为(1,5)，(2,6)，P(X＝－4)＝＝.

同理，P(X＝－3)＝，P(X＝－2)＝，P(X＝－1)＝，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，P(X＝5)＝.

所以X的分布列为

研习4  离散型随机变量的分布列的性质

[典例4]　(1)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1,2,3,4,5)，则P＝(　　)

A. B．

C. D．

(2)设随机变量X的概率分布列为

则P(|X－3|＝1)＝(　　)

A. B．

C. D．

(1)[答案]　D

[解析]　由＜ξ＜知ξ＝1,2，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝.所以P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝.

(2)[答案]　B

[解析]　m＝1－－－＝ ，P(|X－3|＝1)＝P(2)＋P(4)＝＋＝.故选B.

[巧归纳]　离散型随机变量分布列的性质的应用：

(1)利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确．

(2)由于离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的，所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．

[知识链接]　离散型随机变量X的分布列的性质：在离散型随机变量X的分布列中，(1)pi＞0，i＝1,2,3，…；(2)p1＋p2＋…pn＋…＝1.

[练习4]袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X＝则X的分布列为________．

答案：(1)

解析：显然，P(X＝0)＝＝，所以P(X＝1)＝1－＝，

所以X的分布列是

1．下列所述：①某座大桥一天经过的车辆数X；②某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数X；③一天之内的温度X；④一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分．其中X是离散型随机变量的是(　　)

A．①②③ B．①②④

C．①③④ D．②③④

答案：B

解析：①②④中的X可以取的值可以一一列举出来，而③中的X可以取某一区间内的一切值，属于连续型的．

2．(2022河北保定容大中学月考)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是(　　)

A．至少取到1个白球的概率

B．取到白球的个数

C．至多取到1个白球的概率

D．取到的球的个数

答案：B

解析：根据离散型随机变量的定义可得选项B是随机变量，其可以一一列出，其中随机变量X的取值为0,1,2.故选B.

3．设随机变量X等可能地取值1,2,3，…，n，若P(X<4)＝0.3，则n＝(　　)

A．3 B．4 

C．10 D．不确定

答案：C

解析：∵X等可能取1,2,3，…，n，∴X的每个值的概率均为.由题意知P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，∴n＝10.

4．设随机变量X等可能地取值1,2,3,4，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，P(Y<6)的值为(　　)

A．0.3 B．0.5 

C．0.1 D．0.2

答案：A

解析：Y<6，即2X－1<6，∴X<3.5.X＝1,2,3，P＝＝0.3.

5．随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3，其中C为常数，则P(X≥2)＝________.

答案：

解析：由P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，得＋＋＝1，∴C＝.

P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.

[误区警示]

弄错随机变量的可能取值致错

[示例]　布袋中有5个红球，4个黑球，设从袋中取出一个红球得1分，取出一个黑球得0分，现从袋中随机取出4个球，求所得分数X的分布列．

[错解]　由题意可知X可能的取值为1,2,3,4，且X服从超几何分布，其中M＝5，N＝9，n＝4，则P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．

所以随机变量X的分布列为

[错因分析]　错解出错的原因是弄错了X的可能取值．显然，当取出的4个球全部是黑球时，得分为0分，即X＝0.另外，利用分布列的第二个性质进行检验，也很容易知道所求分布列是有问题的．

[正解]　由题意可知从袋中随机取4个球可能出现的结果分别为：0红4黑，1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红0黑，这五种情况分别得0分，1分，2分，3分，4分，故X可能的取值为0,1,2,3,4.

因为P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，

P(X＝4)＝＝，

所以随机变量X的分布列为

[题后总结]　写离散型随机变量的步骤有三步：

(1)找：理解并确定X＝xk的意义，找出随机变量X的所有可能的取值xk(k＝1，2，…，n)．

(2)求：借助概率的有关知识求出随机变量X取每一个值的概率P(X＝xk)＝pk(k＝1,2，…，n)．注意应用计数原理、古典概型等知识．

(3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质．

其中第1步“找”，最基本，也最关键．理解并吃透题意是解好这类问题的前提．