数学必修 第二册5.2 向量数量积的坐标表示学案及答案

2.5.2　向量数量积的坐标表示 2.5.3　利用数量积计算长度与角度

平面向量数量积的坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．

答案：2.　x1x2＋y1＝0

研习1  数量积的坐标运算

[典例1]　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(－1,1)，则a·b＋b2＝(　　)

A.3 B．5 

C．1 D．－1

(2)已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)的值．

[自主记]

(1)[答案]　D

[解析]　a·b＋b2＝2×(－1)＋(－1)×1＋(－1)2＋12＝－2－1＋1＋1＝－1.

(2)[分析]　先求出a·b，a2，b2，再对(3a－b)·(a－2b)展开求解．

[解]　解法一：因为a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a2＝22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13，

所以(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2

＝3×5－7×8＋2×13＝－15.

解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，

∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)，

a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)．

∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15.

[巧归纳]　数量积的坐标运算的常用方法

(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：

|a|2＝a·a.

(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2.

(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.

(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程组来进行求解．

[练习1]　已知向量a∥b，b＝(1,2)，|a·b|＝10.

(1)求向量a的坐标．

(2)若a，b同向，c＝(2，－1)，求(b·c)·a，(a·b)·c.

解：(1)设a＝(x，y)，∴a·b＝x＋2y.

∵a∥b，∴y＝2x.

由解得或

∴a＝(2,4)或a＝(－2，－4)．

(2) ∵a，b同向，∴a＝(2,4)．

∴(b·c)·a＝[1×2＋2×(－1)]·a＝0·a＝0.

(a·b)·c＝(2＋2×4)·c＝10·(2，－1)＝(20，－10).

研习2  向量的模与夹角

[典例2]　(1)若向量a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x,2x－1)，则|a－b|的最小值为________．

(2)已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得①a与b的夹角为直角；②a与b的夹角为钝角．

[自主记]

(1)[答案]　

[解析]　∵a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x,2x－1)，

∴a－b＝(2x－1,3－x)－(1－x,2x－1)＝(3x－2,4－3x)，

∴|a－b|＝

＝＝，

∴当x＝1时，|a－b|取最小值为.

(2)[分析]　由夹角的坐标公式列方程或不等式求解．

[解]　设a与b的夹角为θ，

|a|＝＝，|b|＝，a·b＝1＋2λ.

①因为a与b的夹角为直角，

所以cos θ＝0，所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，

所以λ＝－.

②因为a与b的夹角为钝角，

所以cos θ<0，且cos θ≠－1，

所以a·b<0，且a与b不反向．

由a·b<0，得1＋2λ<0，故λ<－，

由a与b共线得λ＝2，

故a与b不可能反向．

所以λ的取值范围为.

[巧归纳]　1.应用向量的夹角公式求夹角时，应先分别求出两个向量的模，再求出它们的数量积，最后代入公式求出夹角的余弦值，进而求出夹角．

其流程图为：

2.借助两向量平行和垂直的条件求解某参数的值，这是向量运算的重要应用之一．具体做法是：借助a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0或a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(这里a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))，列关于某参数的方程(或方程组)，然后解之即可.

[练习2]　1.已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，则向量a，b的夹角为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案：B　

解析：由于2a＋b＝(4,2)，

则b＝(4,2)－2a＝(2,0)，

则a·b＝2，|a|＝，|b|＝2.

设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝.

又θ∈[0，π]，所以θ＝.

2.设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝　(　　)

A.   B.

C．2 D．10

答案：B

研习3  数量积的坐标运算的应用

[典例3]　已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．

(1)求使·取到最小值时的；

(2)对(1)中求出的点C，求cos ∠ACB.

[自主记]

[分析]　(1)由向量共线可设出的坐标表示，然后由坐标运算建立关于参数的函数关系进行求解．(2)由cos θ＝求cos ∠ACB的值．

[解]　(1)因为点C是直线OP上一点，所以向量与共线．设＝t，则＝(2t，t)，

＝－＝(1－2t,7－t)，

＝－＝(5－2t，1－t)，

·＝(1－2t)(5－2t) ＋(7－t)(1－t)

＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8，

当t＝2时，·取得最小值，此时＝(4,2)．

(2)当＝(4,2)时，

＝(－3,5)，＝(1，－1)，

所以||＝，||＝，·＝－8，

cos∠ACB＝＝－.

[巧归纳]　利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何的问题转化为向量问题，进而通过向量的运算来研究几何元素间的关系.

[练习3]　已知△ABC的顶点分别为A(2,1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，求：

(1)点D的坐标以及||；

(2)判断△ABC的形状，并说明理由．

解：(1)设点D的坐标为(x，y)，由题意可知BC⊥AD，

又B，C，D三点共线，故∥，

因为＝(x－2，y－1)，

＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)，

所以

解得所以＝，

||＝＝.

所以点D的坐标为，||＝.

(2)因为＝(－5，－2)，＝(1,1)，

所以·＝(－5)×1＋(－2)×1＝－7，

||＝＝，||＝.

所以cos A＝＝<0，

所以角A为钝角．所以△ABC为钝角三角形．

1.已知a＝(2,1)，b＝(－1,3)，若存在向量c，使a·c＝4，b·c＝9，则向量c＝(　　)

A.   B.

C.   D.

答案：C　

解析：设c＝(x，y)，

则有解得故选C.

2.已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋xb与b垂直，则实数x＝(　　)

A.   B. 

C．2 D．－

答案：D　

解析：由于向量a＋xb与b垂直，则(a＋xb)·b＝0，所以a·b＋xb2＝0，则6－4＋5x＝0，解得x＝－.

3.已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．

(1)试计算a·b及|a＋b|的值；

(2)求向量a与b夹角的余弦值．

解：(1)a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，

b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)，

∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，

|a＋b|＝＝＝.

(2)设a与b夹角为θ.

由a·b＝|a||b|cos θ，得

cos θ＝＝＝.

[误区警示]　向量夹角范围不清致误

[示例]　已知a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且a与b的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是(　　)

A．(－∞，－2)∪

B.

C.∪

D.

[错解]　∵a与b的夹角θ为锐角，

∴cos θ>0，即a·b＝1－2λ>0，得λ<，故选D.

[错因分析]　以上错解是由于思考欠全面，由不等价转化而造成的．如当a与b同向时，即a与b的夹角θ＝0°时cos θ＝1>0，此时λ＝－2，显然是不合理的．

[答案]　A

[正解]　∵a与b的夹角θ为锐角，

∴cos θ>0且cos θ≠1，即a·b>0且a与b方向不同，

即a·b＝1－2λ>0，且a≠mb(m>0)，

解得λ∈(－∞，－2)∪，故选A.

[题后总结]　依据两向量夹角θ的情况，求向量坐标中的参数时，需注意：当θ＝0°时，cos θ＝1>0，即a·b>0；当θ＝180°时，cos θ＝－1<0，即a·b<0.这是解题过程中容易忽略的情况．