高中数学第二章 平面向量及其应用5 从力的做功到向量的数量积5.2 向量数量积的坐标表示学案

这是一份高中数学第二章 平面向量及其应用5 从力的做功到向量的数量积5.2 向量数量积的坐标表示学案，共7页。


1．平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示
(1)数量积的坐标表示：
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)模、夹角、垂直的坐标表示：
2．平面直角坐标系中，两点间的距离公式
如果表示向量a的有向线段eq \(AB,\s\up8(→))的起点和终点的坐标分别是Aeq (\a\vs4\al\c1(x1，y1))，Beq (\a\vs4\al\c1(x2，y2))，那么a＝(x2－x1，y2－y1)．
则|a|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up8(→))))＝eq \r((\a\vs4\al\c1(x2－x1))2＋(\a\vs4\al\c1(y2－y1))2).
思考 如何利用向量知识与方法推导平面直角坐标系中，两点间的距离公式？
[提示] eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up8(→))))＝eq \r(\(AB,\s\up8(→))·\(AB,\s\up8(→)))＝eq \r((\a\vs4\al\c1(x2－x1))2＋(\a\vs4\al\c1(y2－y1))2).
1．已知向量a＝(－4,7)，向量b＝(5,2)，则a·b的值是( )
A．34B．27
C．－43D．－6
D [a·b＝(－4,7)·(5,2)＝－4×5＋7×2＝－6.]
2．设向量eq \(OA,\s\up8(→))＝(1,0)，eq \(OB,\s\up8(→))＝(1,1)，则向量eq \(OA,\s\up8(→))，eq \(OB,\s\up8(→))的夹角为( )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,4)
C．eq \f(π,3)D．eq \f(π,2)
B [cs θ＝eq \f(\(OA,\s\up8(→))·\(OB,\s\up8(→)),|\(OA,\s\up8(→))||\(OB,\s\up8(→))|)＝eq \f(1×1＋0×1,\r(1)·\r(12＋12))＝eq \f(\r(2),2)，
∵θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，π))，∴θ＝eq \f(π,4).]
3．已知a＝(2，－1)，b＝(1，x)，且a⊥b，则x＝________.
2 [由题意知a·b＝2×1＋(－1)×x＝0，得x＝2.]
4．已知a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝eq \r(5).
(1)求|a＋2b|；
(2)若(a＋b)·c＝eq \f(5,2)，求向量a与c的夹角.
[解] (1)a＋2b＝(1,2)＋2(－2，－4)＝(－3，－6)，
∴|a＋2b|＝eq \r((－3)2＋(－6)2)＝3eq \r(5).
(2)∵b＝(－2，－4)＝－2(1,2)＝－2a，
∴a＋b＝－a，
∴(a＋b)·c＝－a·c＝eq \f(5,2).∴a·c＝－eq \f(5,2).
又|a|＝eq \r(5)，|c|＝eq \r(5)，
∴cs〈a，c〉＝eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(－\f(5,2),|\r(5)||\r(5)|)＝－eq \f(1,2)，又〈a，c〉∈[0，π]，∴〈a，c〉＝eq \f(2π,3).
∴向量a与c的夹角为eq \f(2π,3).
【例1】 已知向量a和b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：
(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.
[解] (1)设a＝λb＝(λ，2λ)．
∵a·b＝10，
∴eq \r(5)λ·eq \r(5)cs 0°＝10，解得λ＝2.∴a＝(2,4)．
(2)(a·c)·b＝[(2×2＋4×(－1)]·b＝0·b＝0.
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.
eq \([跟进训练])
1．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，
求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b)．
[解] (1)a·b＝3＋(－1)×(－2)＝5.
(2)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，
∴(a＋b)2＝|a＋b|2＝16＋9＝25.
(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝(9＋1)－(1＋4)＝5.
【例2】 已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，求满足下列条件的实数λ的取值范围．
(1)a与b的夹角为90°；
(2)a与b的夹角为锐角．
[思路点拨] 由向量的夹角公式，可转化判定a·b的符号．
[解] (1)a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
∵a⊥b，∴a·b＝0，∴1＋2λ＝0，∴λ＝－eq \f(1,2).
(2)∵a与b的夹角为锐角，∴a·b>0且a与b不同向．
因此1＋2λ>0，∴λ>－eq \f(1,2).
又∵a与b共线且同向时，λ＝2.
∴a与b的夹角为锐角时，λ的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)．
若本例条件不变，如何求a与b的夹角为钝角时，λ的取值范围？
[解] ∵a与b的夹角θ为钝角，
∴cs θ<0且cs θ≠－1，
∴a·b<0且a与b不反向．
由a·b<0得1＋2λ<0，故λ<－eq \f(1,2)，
由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向，所以λ的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2))).
利用数量积求两向量夹角的步骤
【例3】 设平面向量a＝(1,1)，b＝(0,2)．
求a－2b的坐标和模的大小．
[解] ∵a＝(1,1)，b＝(0,2)，
∴a－2b＝(1,1)－2(0,2)＝(1，－3)，
∴|a－2b|＝eq \r(12＋(－3)2)＝eq \r(10).
1．在本例条件不变的情况下，若c＝3a－(a·b)b，求|c|.
[解] ∵a·b＝x1x2＋y1y2＝2，
∴c＝3(1,1)－2(0,2)＝(3，－1)，
∴|c|＝eq \r(32＋(－1)2)＝eq \r(10).
2．在本例条件不变的情况下，若ka－b与a＋b共线，求k的值．
[解] ∵a＝(1,1)，b＝(0,2)，
∴ka－b＝k(1,1)－(0,2)＝(k，k－2)．a＋b＝(1,1)＋(0,2)＝(1,3)．
∵ka－b与a＋b共线，
∴eq \f(k－2,k)＝3，∴k＝－1.
3．在本例条件不变的情况下，若|ka－b|＝eq \r(10)，求k的值．
[解] ∵ka－b＝k(1,1)－(0,2)＝(k，k－2)，且|ka－b|＝eq \r(10).
∴eq \r(k2＋(k－2)2)＝eq \r(10)，
解得k＝3或k＝－1.即当k＝3或k＝－1时满足条件．
1．已知向量a＝(x，y)求其模，主要利用公式|a|＝eq \r(x2＋y2)求解．
2．形如(ma＋nb)·(ka＋eb)(m，n，k，e∈R)的坐标运算，有两条途径：
其一，先化简再代入，即展开转化为a2，a·b，b2的坐标运算；
其二，先代入再化简，即先求ma＋nb与ka＋eb的坐标，再运算．
3．向量是研究几何的工具，尤其是在解决与平行，垂直，线段的长，角的大小有关的问题时，有非常重要的应用．
eq \([跟进训练])
2．在△ABC，AB＝3，AC＝5，∠A＝120°，求其中线AD的长．
[解] 依题意，eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→)))，
所以eq \(AD,\s\up8(→))2＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up8(→))2＋2eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))2)，
所以|eq \(AD,\s\up8(→))|2＝eq \f(1,4)(|eq \(AB,\s\up8(→))|2＋2|eq \(AB,\s\up8(→))|·|eq \(AC,\s\up8(→))|cs∠A＋|eq \(AC,\s\up8(→))|2)＝eq \f(1,4)(32＋2×3×5×cs120°＋52)＝eq \f(19,4)，
所以|eq \(AD,\s\up8(→))|＝eq \f(\r(19),2).即中线AD的长为eq \f(\r(19),2).
1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥bx1x2＋y1y2＝0.
2．向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此可利用向量的坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，可判断两向量是否垂直．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若两非零向量的夹角θ满足cs θ＜0，则θ一定是钝角．( )
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq \(AB,\s\up8(→))|＝eq \r((x2－x1)2＋(y2－y1)2)．( )
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥bx1x2＋y1y2＝0．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )
A．－4 B．－3
C．－2D．－1
B [因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.]
3．若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝4eq \r(5)，则b＝________.
(－4,8) [由题意可设b＝λa＝(λ，－2λ)，λ<0，
则|b|2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，
∴b＝－4a＝(－4,8)．]
4．已知a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，若(5a－b)·(b－3a)＝－55，试求b的坐标.
[解] ∵a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，
∴5a－b＝(－11，－10－k)，b－3a＝(5，k＋6)．
∴(5a－b)·(b－3a)＝(－11，－10－k)·(5，k＋6)＝－55－(k＋10)(k＋6)＝－55，
∴(k＋10)(k＋6)＝0，
∴k＝－10或k＝－6，
∴b＝(－4，－10)或b＝(－4，－6)．
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．(重点)
2．能运用向量数量积的坐标表达式表示向量的模与夹角，会判断两个向量的垂直关系．(难点)
通过平面向量数量积的应用，培养数学运算与逻辑推理素养.
平面向量数量积的坐标运算
向量的夹角
向量的模