新高考数学三轮冲刺“小题速练”29（2份打包，教师版+原卷版）

2021届高三数学“小题速练”29

答案解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

化简集合，按交集定义，即可求解.

【详解】由，得，所以，

故选：B．

【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.

2.已知复数z满足z(1+2i)=i，则复数在复平面内对应点所在的象限是（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．

【详解】解：由，得，所以

复数在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限．

故选：D．

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．

3.已知向量，，则“m＜1”是“，夹角为钝角”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意结合平面向量数量积的知识可得若，夹角为钝角，则且，再由且结合充分条件、必要条件的概念即可得解.

【详解】若，夹角为钝角，则且，

由可得，解得且，

由且可得“m＜1”是“，夹角为钝角”的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】本题考查了利用平面向量数量积解决向量夹角问题，考查了充分条件、必要条件的判断，属于中档题.

4.甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（    ）

A. 90 B. 120 C. 210 D. 216

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意：分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上；第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，算出每类的站法数，然后再利用分类计数原理求解.

【详解】因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，

所以分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上，共有：种站法；

第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，共有：种站法；

所以每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是.

故选：C

【点睛】本题主要考查排列组合的应用以及分类计数原理的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.

5.已知定义在上函数，，，，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先判断函数在时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到，比较三个数的大小，然后根据函数在时的单调性，比较出三个数的大小.

【详解】当时，，函数在时，是增函数.因为，所以函数是奇函数，所以有，因为，函数在时，是增函数，所以，故本题选D.

【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.

6.对n个不同的实数a1，a2，…，an可得n！个不同的排列，每个排列为一行写成一个n！行的数阵.对第i行ai1，ai2，…，ain，记bi=－ai1+2ai2－3ai3+…+(－1)nnain，i=1，2，3…，n！.例如用1，2，3可得数阵如图，对于此数阵中每一列各数之和都是12，所以bl+b2+…b6=－12+2×12－3×12=－24.那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1+b2+…b120等于（    ）

A. －3600 B. －1800 C. －1080 D. －720

【答案】C

【解析】

【分析】

根据用1，2，3，4，5形成的数阵和每个排列为一行写成一个n！行的数阵，得到数阵中行数，然后求得每一列各数字之和，再代入公式求解.

【详解】由题意可知：数阵中行数为：，

在用1，2，3，4，5形成的数阵中，

每一列各数字之和都是：，

.

故选：C

【点睛】本题主要考查数列的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.

7.已知中，，，，为所在平面上一点，且满足.设，则的值为（    ）

A. 2 B. 1 C.  D.

【答案】C

【解析】

分析】

由由，得：点是的外心，由向量的投影的概念可得：，再代入运算，即可

【详解】解：由，得：点是的外心，

又外心是中垂线的交点，则有：，

即，

又，，，

所以，解得：，

即，

故选：．

【点睛】本题考查了外心是中垂线的交点，投影的概念，平面向量的数量积公式，属中档题.

8.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=BB1=1，M是AC的中点，则三棱锥B1－ABM的外接球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意找到三棱锥B1－ABM的外接球球心为中点,即可求出其半径,则可求出其表面积.

【详解】如图所示：

取中点为，中点为.并连接,

则平面,

所以

所以三棱锥B1－ABM的外接球球心为中点.

所以,

所以三棱锥B1－ABM的外接球的表面积为.

故选:B

【点睛】本题考查三棱锥的外接球表面积,属于基础题.解本题的关键在于画出三棱柱，找到三棱锥的外接球球心.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分；部分选对的得3分；有选错的得0分.

9. 若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（    ）

A. 的虚部为 B.

C. 为纯虚数 D. 的共轭复数为

【答案】ABC

【解析】

【分析】

首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.

【详解】因为，

对于A：的虚部为，正确；

对于B：模长，正确；

对于C：因为，故为纯虚数，正确；

对于D：的共轭复数为，错误.

故选：ABC.

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.

10. 下列命题正确的是（    ）

A. “”是“”的必要不充分条件

B. 命题“，”的否定是“，”

C. 若，则

D. 设，“”，是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据不等式的性质可判断A；根据含有量词的否定可判断B；根据基本不等式的适用条件可判断C；根据奇函数的性质可判断D.

【详解】对于A，当时，可得，故“”是“”的充分条件，故A错误；

对于B，由特称命题的否定是存在改任意，否定结论可知B选项正确；

对于C，若时，，故C错误；

对于D，当时，，此时，充分性成立，当为奇函数时，由，可得，必要性不成立，故D正确.

故选：BD.

【点睛】本题考查充分条件与必要条件，考查命题及其关系以及不等关系和不等式，属于基础题.

11. 关于的说法，正确的是(    )

A. 展开式中的二项式系数之和为2048

B. 展开式中只有第6项的二项式系数最大

C. 展开式中第6项和第7项的二项式系数最大

D. 展开式中第6项的系数最小

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据二项式系数的性质即可判断选项A；

由为奇数可知，展开式中二项式系数最大项为中间两项，据此即可判断选项BC；

由展开式中第6项的系数为负数，且其绝对值最大即可判断选项D.

【详解】对于选项A：由二项式系数的性质知，的二项式系数之和为，故选项A正确；

因为的展开式共有项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故选项C正确，选项B错误；

因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故选项D正确；

故选：ACD

【点睛】本题考查利用二项式定理求二项展开式系数之和、系数最大项、系数最小项及二项式系数最大项；考查运算求解能力；区别二项式系数与系数是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.

12. 如图直角梯形，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．则（    ）

A. 平面平面 B.

C. 二面角的大小为 D. 与平面所成角的正切值为

【答案】AC

【解析】

【分析】

A中利用折前折后不变可知,根据可证,可得线面垂直，进而证明面面垂直；B选项中不是直角可知不垂直，故错误；

C中二面角的平面角为,故正确；D中与平面所成角为,计算其正切值即可.

【详解】A中, ,在三角形中，，所以,又，可得平面，平面，所以平面平面，A选项正确；

B中，若，又，可得平面,则,而,

显然矛盾，故B选项错误；

C中，二面角的平面角为，根据折前着后不变知，故C选项正确；

D中，由上面分析可知，为直线与平面所成角，在中，,故D选项错误.

故选：AC

【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，二面角，线面角的求法，属于中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选三人中男生人数为，则数学期望______.

【答案】2

【解析】

【分析】

的可能值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.

【详解】的可能值为，

则；；.

故分布列为：

故.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.

14. 如图，在正方体中，的中点为，的中点为，异面直线与所成的角是______.

【答案】

【解析】

【分析】

取中点，连接，连接交于，可知即为异面直线与所成的角，求出即可.

【详解】取中点，连接，连接交于，

在正方体中，可知,

四边形是平行四边形，，

即为异面直线与所成的角，

可知在和中，

,

，,

,,

，即异面直线与所成的角为.

故答案为：.

【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，属于基础题.

15. 在展开式中，的系数为______.

【答案】80

【解析】

分析】

将原式化为，根据二项式定理，求出展开式中，的系数，即可得出结果.

【详解】，

二项式的展开式的第项为，

令，则，

令，则，

则展开式中，的系数为.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.

16. 关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围______.

【答案】

【解析】

【分析】

分离参数，构造函数，利用导数讨论的单调性，再结合关于的方程在上有两个不相等的实根等价于与有两个交点，即可求出的取值范围.

【详解】，，

设，，

设，，

即在是减函数，又，

当时，，即，

当时，，即，

在为增函数，在为减函数，

当时，，，

关于的方程在上有两个不相等的实根等价于与有两个交点，

由上可知，

实数的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用导数解决方程根的问题，属于较难题.