新高考数学三轮冲刺“小题速练”30（2份打包，教师版+原卷版）

2021届高三数学“小题速练”30

答案解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】

利用复数除法运算求得，从而求得，由此得到对应的坐标，进而求得在复平面内对应的点所在象限.

【详解】因为，

所以，

对应点为，所以在复平面内对应的点位于第三象限.

故选：C.

【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，共轭复数，考查复数对应点所在象限的判断，属于基础题目.

2. 已知集合，集合，则集合（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出集合，即可求出交集.

【详解】，，

.

故选：B.

【点睛】本题考查函数定义域和值域的求法，考查集合交集运算，属于基础题.

3. 已知，，则的最大值为（    ）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据可得，之后利用基本不等式得到，从而求得结果.

【详解】因为，且，

所以，即，

所以有，

当且仅当时取得最大值，

故选：A.

【点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求积的最大值，属于简单题目.

4. 若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意得，利用韦达定理找到之间的关系，代入所求不等式即可求得.

【详解】不等式的解集为，则与是方程的两根，且，

由韦达定理知，，

即，，

则不等式可化简为，

整理得： ，即，由得或，

故选：C.

【点睛】本题主要考一元二次不等式，属于较易题.

5. 设，，，…，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据三角函数的导函数和已知定义，依次对其求导，观察得出，可得解.

【详解】，，

，

，

，

，

由此可知：，

.
故选：D.

【点晴】本题考查三角函数的导数，依次求三角函数的导数找到所具有的周期性是解决此问题的关键，属于中档题.

6. 某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有

A. 72种 B. 36种 C. 24种 D. 18种

【答案】B

【解析】

【分析】

根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可．

【详解】2名内科医生，每个村一名，有2种方法，

3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，

若甲村有1外科,2名护士,则有，其余的分到乙村，

若甲村有2外科,1名护士,则有，其余的分到乙村，

则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种，

故选B.

【点睛】本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.

7. 若幂函数的图象过点，则函数的递增区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

设，代入点求出，再求出的导数，令，即可求出的递增区间.

【详解】设，代入点，则，解得，

，

则，

令，解得，

函数的递增区间为.

故选：A.

【点睛】本题考查待定系数法求幂函数解析式，考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.

8. 设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意变量分离转为在上恒成立，只需，求出最大值即可得到实数的取值范围.

【详解】由题意，可得，即，

当时，，所以在上恒成立，

只需，当时有最小值为1，则有最大值为3，

则，实数的取值范围是，

故选：A

【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解决方法，常用变量分离转为求函数的最值问题，属于基础题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

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A. 月跑步里程最小值出现在2月

B. 月跑步里程逐月增加

C. 月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数

D. 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据折线图，依次分析月跑步里程的最小值，中位数，变化趋势，波动性即得解

【详解】由折线图可知，月跑步里程的最小值出现在2月，故A正确；

月跑步平均里程不是逐月增加的，故B不正确；

月跑步里程数从小到大排列分别是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，故5月份对应的里程数为中位数，故C正确；

1月到5月的月跑步平均里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳，故D正确.

故选：ACD

【点睛】本题考查了统计图表折线图的应用，考查了学生综合分析，数形结合，数据处理能力，属于基础题

10.已知函数，下列结论不正确的是（    ）

A. 函数图像关于对称

B. 函数在上单调递增

C. 若，则

D. 函数f(x)的最小值为－2

【答案】BCD

【解析】

【分析】

去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质求之．

【详解】解：由题意可得：

，

函数图象如下所示

故对称轴为，，故A正确；

显然函数在上单调递增，上单调递减，故B错误；

当，时函数取得最小值，故D错误；

要使，则，则或，或，

所以或， ，故C错误．

故选：BCD．

【点睛】本题主要考查了三角函数的性质的应用，表达式中含有绝对值，故应先去绝对值号，变为分段函数，再分段求值域，属于中档题．

11.已知正方体棱长为，如图，为上的动点，平面.下面说法正确的是（    ）

A. 直线与平面所成角的正弦值范围为

B. 点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大

C. 点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形

D. 己知为中点，当的和最小时，为的中点

【答案】AC

【解析】

【分析】

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A选项的正误；证明出平面，分别取棱、、、、、的中点、、、、、，比较和六边形的周长和面积的大小，可判断B选项的正误；利用空间向量法找出平面与棱、的交点、，判断四边形的形状可判断C选项的正误；将矩形与矩形延展为一个平面，利用、、三点共线得知最短，利用平行线分线段成比例定理求得，可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则点、、设点，

平面，则为平面的一个法向量，且，，

，

所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，A选项正确；

对于B选项，当与重合时，连接、、、，

在正方体中，平面，平面，，

四边形是正方形，则，，平面，

平面，，同理可证，

，平面，

易知是边长为的等边三角形，其面积为，周长为.

设、、、、、分别为棱、、、、、的中点，

易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，

正六边形的周长为，面积为，

则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，B选项错误；

对于C选项，设平面交棱于点，点，，

平面，平面，，即，得，，

所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，则，，

而，，且，

由空间中两点间的距离公式可得，，，

所以，四边形为等腰梯形，C选项正确；

对于D选项，将矩形与矩形延展为一个平面，如下图所示：

若最短，则、、三点共线，

，，

，所以，点不是棱的中点，D选项错误.

故选：AC.

【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题.

12.函数f(x)=ex+asinx，x∈(－π，+∞)，下列说法正确的是（    ）

A. 当a=1时，f(x)在(0，f(0))处的切线方程为2x－y+1=0

B. 当a=1时，f(x)存在唯一极小值点x0且－1＜f(x0)＜0

C. 对任意a＞0，f(x)在(－π，+∞)上均存在零点

D. 存在a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一个零点

【答案】ABD

【解析】

【分析】

逐一验证选项，选项A，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程，选项B 通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C、D，通过构造函数，将零点问题转化判断函数与直线y＝a 的交点问题．

【详解】选项A，当时，，，

所以，故切点为，，

所以切线斜率，

故直线方程为：，即切线方程为：， 选项A正确.

选项B，当时，，，

恒成立，所以单调递增，

又,

,所以，即，所以

所以存在，使得，即

则在上，，在上，，

所以在上，单调递减，在上，单调递增.

所以存在唯一的极小值点.

,则，，所以B正确.

对于选项C、D，，

令，即 ，所以, 则令,

,令,得

由函数的图像性质可知:

时，，单调递减.

时，，单调递增.

所以时，取得极小值，

即当时取得极小值，

又,即

又因为在上单调递减，所以

所以时，取得极小值，

即当时取得极大值，

又，即

所以

当时，

所以当，即时，f(x)在(－π，+∞)上无零点，所以C不正确.

当，即时，与的图象只有一个交点

即存在a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一个零点，故D正确.

故选：ABD
．

【点睛】本题考查函数的切线、极值、零点问题，含参数问题的处理，考查数学运算，逻辑推理等学科素养的体现，属于难题题．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.的展开式中的常数项为____________________.(用数字作答)

【答案】240

【解析】

【分析】

在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项．

【详解】解：展开式的通项公式为，

令，求得，可得展开式中的常数项为，

故答案为：240．

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．

14.一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的1个绿球和3个红球.甲、乙两人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球，规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是________.

【答案】

【解析】

【分析】

先定义事件，，，，从而得到事件“甲恰好摸到两次绿球的情况为事件，利用事件的独立性进行概率计算，即可得到答案。

【详解】设“甲摸到绿球”的事件为，则，

“甲摸到红球”的事件为，则，

设“乙摸到绿球”的事件为，则，

“乙摸到红球”的事件为，则，

在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的情况是，

所以.

故答案为：

【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是准确定义相关事件。

15.己知a，b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，则的最小值是_______________.

【答案】4

【解析】

【分析】

由题意结合导数的几何意义、导数的运算可得、，进而可得，再利用，结合基本不等式即可得解.

【详解】对求导得，

因为直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，

所以即，

所以，所以切点为，

由切点在切线y=x－a上可得即，

所以，

当且仅当时，等号成立.

所以的最小值是.

故答案为：.

【点睛】本题考查了导数的运算、导数几何意义的应用，考查了基本不等式求最值的应用及运算求解能力，属于中档题.

16.已知双曲线，F1，F2是双曲线的左右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是△F1PF2的内切圆.则M的横坐标为_________，若F1到圆M上点的最大距离为，则△F1PF2的面积为___________.

【答案】    (1). 1    (2).

【解析】

【分析】

利用双曲线的定义以及内切圆的性质，求得的横坐标.由F1到圆M上点的最大距离，求得圆的半径，求得直线的方程，由此求得点的坐标，从而求得，进而求得△F1PF2的面积.

【详解】双曲线的方程为，则.

设圆分别与相切于，

根据双曲线的定义可知，根据内切圆的性质可知①，

而②. 由①②得：，所以,

所以直线的方程为，即的横坐标为.

设的坐标为，则到圆M上点的最大距离为，

即，解得.

设直线的方程为，即.

到直线的距离为，解得.

所以线的方程为.

由且在第一象限，解得.

所以，.

所以△F1PF2的面积为.

故答案为：；

【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查圆的几何性质、直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.