27.2 相似三角形 同步练习 人教版九年级下册数学

27.2 相似三角形 同步练习

一、单选题

1．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（　　） 

A．a＝ b B．a＝2b C．a＝2 b D．a＝4b

2．如图，△ABC中，点D是AB上一点，补充下列条件后，仍不能判定△ADC∽△ACB的是（　　） 

A．∠ADC＝∠ACB B．∠ACD＝∠ABC

C． ＝  D． ＝

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（　　）

A． B． C． D．3

4．如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2=OE•OP；③S△AOD=S四边形OECF；④当BP=1时，tan∠OAE= ，其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．如图□ABCD，E是BC上一点，BE：EC=2：3，AE交BD于F，则BF：FD等于(　　)
 

A．2：5 B．3：5 C．2：3 D．5：7

6．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（　　）

A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10

7．如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（　　）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．

A． B． C．或 D．或

8．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数  上，第二象限的点B在反比例函数  上，且OA⊥OB，  ，则k的值为 （　　）

A．－3　

B．－6　

C．－4　

D．

9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，且AD：BC=1：2，则下列结论中，错误的是（　　）

A． B．

C． D．

10．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．8

11．如图，在 中， ，且 ，则 的值为（　　） 

A． B． C． D．

12．如图．直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F；AC与DF相交于点H，且AH=4，HB=2，BC=10，则 =(　　) 

A． B．2 C． D．

二、填空题

13．定义：如果△ABC内有一点P，满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，那么称点P为△ABC的布罗卡尔点，如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为△ABC的布罗卡尔点，如果PA＝2，那么PC＝　     　．

14．如图，在 和 中， ， ， ， ．则下列四个结论：① ；② ；③ ；④在 绕点 旋转过程中， 面积的最大值为 其中正确的是 　     　．（填写所有正确结论的序号）

15．如图，已知点A在反比例函数 的图象上，作 ，边BC在x轴上，点D为斜边AC的中点，连结DB并延长交y轴于点E，若 的面积为6，则k=　     　.

16．已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，=，那么的值等于　                          　．

17．如图，在 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，把 绕C点旋转得到 ，其中点 在线段AB上，那么 的正切值等于　     　

18．如果两个相似三角形的对应边上的高之比是2：3，则它们的周长比是　     　

三、综合题

19．阅读下列材料，完成任务

小明同学酷爱数学，勤于探索研究，他画了一个三角形ABC，并画出其中一个外角 的角平分线，与BC的延长线交于点N，小明通过测量发现，该图形中的线段有特殊的关系： ，他想证明自己的发现．下面是部分证明过程：

证明：过点C作 交AB于点D，则 （第一步），

∴ ， （第二步）

…

请回答下面问题：

（1）小明部分证明过程中，第一步的依据是　                       　；

（2）请完成证明的剩余部分；

（3）若 ， ， ，请求出CN的长． 

20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°.

（1）当DP⊥AB时，求CQ的长；

（2）当BP=2，求CQ的长

21．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E.

（1）求证：△ABD∽△DCE；

（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长.

22．如图，已知抛物线经过A（﹣2，0）B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点是四边形是平行四边形，求点D的坐标．

（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？

23．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=2，过点A作AM∥BC，点P是AB上一点，作∠CPD=∠B，PD交AM于点D。

（1）如图8-1，在BA的延长线上取点G，使得DG=DA，则 的值为　     　；  

（2）如图8-1，在(1)的条件下，求证：△DGP∽△PBC ；

（3）如图8-2，当点P是AB的中点时，求AD的长。

24．如图，已知 ， ， ， ， ． 

（1）求 和 的大小；  

（2）求 的长  

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】D

3．【答案】A

4．【答案】C

5．【答案】C

6．【答案】D

7．【答案】C

8．【答案】B

9．【答案】C

10．【答案】C

11．【答案】A

12．【答案】A

13．【答案】

14．【答案】①②④

15．【答案】12

16．【答案】

17．【答案】

18．【答案】2：3

19．【答案】（1）平行线分线段成比例定理

（2）证明：∵ 平分 ， 

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ；

（3）解：过点 作 于点 ， 

∵ ， ，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ，即 为 的中点，

∴ 为等腰三角形，

∴ ，

∵ ，即 ，

解得： ．

20．【答案】（1）解：如图，

∵ DP⊥AB ，∠BAC=90°，∠PDQ=90°.
∴∠BAC=∠PDQ=∠APD=90°
∴四边形APDQ是矩形，
∴DQ⊥AC，
∴∠DQC=∠BAC=90°，
∴DQ∥AB，
∵点D是BC的中点，
∴CQ=AQ=AC=×8=4.

（2）解：∵如图，当点P在线段AB上时，作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，

易证四边形AMDN是矩形，DM、DN分别是△ABC的中位线，DM＝4，DN＝3，
∵∠PDQ＝∠MDN＝90°，
∴∠PDM＝∠QDN，
∵∠DNQ∠DMP＝90°， 
∴△PDM∽△QDN，
∴PM：QN＝DM：DN＝4：3，
∴QN＝PM，
∵PM＝BM−PB＝3−2＝1，
∴QN＝，
∴CQ＝QN＋CN＝＋4＝；
如图，当点P在AB的延长线上时，

同理可证△PDM∽△QDN，DM=4，DN=3
∴PM：QN＝DM：DN＝4：3，      
∴QN＝PM，
∵PM＝BM+PB＝3+2＝5，
∴QN＝，
∴CQ＝QN＋CN＝；
∴当BP＝2，求CQ的长为或．

21．【答案】（1）证明：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，

∴∠B=∠C=45°.

∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，

∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD.

又∵∠ADE=45°，

∴45°+∠EDC=45°+∠BAD.

∴∠EDC=∠BAD.

∴△ABD∽△DCE.

（2）解：讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意.

②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，

于是AB=AC=2，BC=2 ，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2 ﹣2）=4﹣2

③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，

如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC.由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE= AC=1.

22．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），

将点A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：

，

解得： ，

所以函数解析式为：y=x2+2x

（2）解：①以AE为边时，∵A，O，D，E为顶点的四边形是平行四边形，

∴DE=AO=2，D在x轴向方不可能，

∴D在x轴上方，且DE=2，当D点在对称轴直线x=﹣1的右侧时，D的坐标为（1，3）；

当D点在对称轴直线x=﹣1的左侧时，根据二次函数图象的对称性可知点D的坐标为（﹣3，3），

②以AO为对角线时，则DE与AO互相平分，

∵点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为﹣1，

由对称性可知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（﹣1，﹣1），

综上点D的坐标为（1，3）或（﹣3，3）（﹣1，﹣1）

（3）解：假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，如图 ，

设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，

由题意，△BOC为直角三角形，∠COB=90°，且OC：OB=1：3，

①若△PMA∽△COB，则 = ，

即x+2=3（x2+2x），得

x1= ，x2=﹣2（舍去），当x= 时，y= ，即P（ ， ）；

②若△PMA∽△BOC， = ，

即：x2+2x=3（x+2），

得：x1=3，x2=﹣2（舍去）当x=3时，y=15，即P（3，15）

故符合条件的点P有两个，分别（ ， ）或（3，15）

23．【答案】（1）3

（2）证明： (如图1)

∵∠APC=∠GPD+∠DPC ，

∠APC=∠B+∠BCP，

又∠CPD=∠B，

∴∠GPD=∠BCP

又AD=DG，

∴∠G=∠GAD

又AM∥BC，

∴∠GAD=∠B，

∴∠G=∠B．

又∠GPD=∠BCP

∴△DGP∽△PBC

（3）解：(如图2)

在BA的延长线上取点G，使得DA= DG

∵AB=AC，DA=DG，

∴∠ACB=∠B，∠G=∠GAD．

∵AM∥BC，

∵∠GAD=∠B．

∴∠G=∠ACB ．

∴△DGA∽△ACB

∴

∴

又点P是AB的中点，

∴AP=BP=3

设AD=x，则DG=x，AG= x，PG=3+ x，

由(2)得△DGP△PBC，

∴

∴

解得x=9

∴AD=9

24．【答案】（1）解： ，  

，

，

，

  ，

， .

（2）解： ,  

∴ ，

∵ ， ， ，

∴ ,

∴ .