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【中考一轮复习】2023年中考数学总复习学案——专题10 一元一次不等式(组)（原卷版＋解析版）
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这是一份【中考一轮复习】2023年中考数学总复习学案——专题10 一元一次不等式(组)（原卷版＋解析版），文件包含专题10一元一次不等式组归纳与讲解解析版docx、专题10一元一次不等式组归纳与讲解原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共30页， 欢迎下载使用。
技巧1：一元一次不等式组的解法技巧
技巧2：一元一次不等式的解法的应用
技巧3：含字母系数的一元一次不等式(组)的应用
【题型】一、不等式的性质
【题型】二、不等式(组)的解集的数轴表示
【题型】三、求一元一次不等式的特解的方法
【题型】四、确定不等式(组)中字母的取值范围
【题型】五、求一元一次方程组中的待定字母的取值范围
【题型】六、一元一次不等式的应用
【考纲要求】
1、了解不等式(组)有关的概念，理解不等式的基本性质；
2、会解简单的一元一次不等式(组)；并能在数轴上表示出其解集．
3、能列出一元一次不等式(组)解决实际问题.
【考点总结】一、一元一次不等式(组)
【注意】
不等式的解与不等式的解集的区别与联系：
1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。
2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。
3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。
2. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。
2．列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，
如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等．
这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．
3．列不等式(组)解应用题的一般步骤：
(1)审题；
(2)设未知数；
(3)找出能够包含未知数的不等量关系；
(4)列出不等式(组)；
(5)求出不等式(组)的解；
(6)在不等式(组)的解中找出符合题意的值；
(7)写出答案(包括单位名称)．
【技巧归纳】
技巧1：一元一次不等式组的解法技巧
【类型】一、解普通型的一元一次不等式组
1．不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2x＜6，,x－2≤0))的解集，在数轴上表示正确的是( )
2．解不等式组，并把解集表示在数轴上．
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋5≤3（x＋2），①,\f(1－2x,3)＋\f(1,5)＞0.②))
【类型】二、解连写型的不等式组
3．满足不等式组－1A．5 B．4 C．3 D．无数
4．若式子4－k的值大于－1且不大于3，则k的取值范围是____________．
5．用两种不同的方法解不等式组－1【类型】三、“绝对值”型不等式转化为不等式组求解．
6．解不等式eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3x－1,2)))≤4.
【类型】四、“分式”型不等式转化为不等式组求解
7．解不等式eq \f(3x－6,2x＋1)<0.
参考答案
1．C
2．解：由①得，x≥－1.
由②得，x＜eq \f(4,5).
∴不等式组的解集为－1≤x＜eq \f(4,5).
表示在数轴上，如图所示．
3．B 4.1≤k＜5
5．解：方法1：原不等式组可化为下面的不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1<\f(2x－1,3)，①,\f(2x－1,3)≤5.②))解不等式①，得x>－1.
解不等式②，得x≤8.
所以不等式组的解集为－1方法2：－1－2<2x≤16，－16．分析：由绝对值的知识|x|＜a(a＞0)，可知－a＜x＜a.
解：由eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3x－1,2)))≤4，得－4≤eq \f(3x－1,2)≤4.
则原不等式可转化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(3x－1,2)≥－4，①,\f(3x－1,2)≤4.②))
解不等式①，得x≥－eq \f(7,3).
解不等式②，得x≤3.
所以原不等式的解集为－eq \f(7,3)≤x≤3.
点拨：解题时要先将不等式转化为不等式组再进行求解．
7．解：∵eq \f(3x－6,2x＋1)＜0，
∴3x－6与2x＋1异号．
即：(Ⅰ)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－6＞0，,2x＋1＜0))或
(Ⅱ)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－6＜0，,2x＋1＞0.))
解(Ⅰ)的不等式组得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＞2，,x＜－\f(1,2).))
∴此不等式组无解．
解(Ⅱ)的不等式组得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＜2，,x＞－\f(1,2).))
∴此不等式组的解集为－eq \f(1,2)＜x＜2.
∴原不等式的解集为－eq \f(1,2)＜x＜2.
技巧2：一元一次不等式的解法的应用
【类型】一、直接解不等式
1．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．
(1)x＞eq \f(1,3)x－2； (2)eq \f(4x－1,3)－x＞1； (3)eq \f(x＋1,3)≥2(x＋1)．
2．下面解不等式的过程是否正确？如不正确，请找出开始错误之处，并改正．
解不等式：eq \f(4－3x,3)－1＜eq \f(7＋5x,5).
解：去分母，得5(4－3x)－1＜3(7＋5x)． ①
去括号，得20－15x－1＜21＋15x. ②
移项，合并同类项，得－30x＜2. ③
系数化为1，得x＞－eq \f(1,15). ④
【类型】二、解含字母系数的一元一次不等式
3．解关于x的不等式ax－x－2＞0.
【类型】三、解与方程(组)的解综合的不等式
4．当m取何值时，关于x的方程eq \f(2,3)x－1＝6m＋5(x－m)的解是非负数？
5．二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝10，,4x－3y＝2))的解满足不等式ax＋y＞4，求a的取值范围．
【类型】四、解与新定义综合的不等式
6．定义新运算：对于任意实数a，b，都有a★b＝a(a－b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2★5＝2×(2－5)＋1＝－5.
(1)求(－2)★3的值；
(2)若3★x的值小于13，求x的取值范围，并在数轴上表示出来．
【类型】五、解与不等式的解综合的不等式
7．已知关于x的不等式3x－m≤0的正整数解有四个，求m的取值范围．
8．关于x的两个不等式①eq \f(3x＋a,2)<1与②1－3x>0.
(1)若两个不等式的解集相同，求a的值；
(2)若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围．
参考答案
1．解：(1)x＞eq \f(1,3)x－2，
eq \f(2,3)x＞ －2，
x＞ －3.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
(2)eq \f(4x－1,3)－x＞1，
4x－1－3x＞ 3，
x＞ 4.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
(3)eq \f(x＋1,3)≥2(x＋1)，
x＋1≥ 6x＋6，
－5x≥ 5，
x≤ －1.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
2．解：第①步开始错误，应该改成：
去分母，得5(4－3x)－15＜3(7＋5x)．
去括号，得20－15x－15＜21＋15x.
移项，合并同类项，得－30x＜16.
系数化为1，得x＞－eq \f(8,15).
3．解：移项，合并同类项得，(a－1)x＞2，
当a－1＞0，即a＞1时，x＞eq \f(2,a－1)；
当a－1＝0，即a＝1时，x无解；
当a－1＜0，即a＜1时，x＜eq \f(2,a－1).
4．解：解方程得x＝－eq \f(3,13)(m＋1)，由题意得－eq \f(3,13)(m＋1)≥0，解得m≤－1.
5．解：解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1( 2x＋3y＝10，,4x－3y＝2，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2.))代入不等式得2a＋2＞4.所以a＞1.
6．解：(1)(－2)★3＝－2×(－2－3)＋1＝－2×(－5)＋1＝10＋1＝11.
(2)∵3★x＜13，∴3(3－x)＋1＜13，
去括号，得9－3x＋1＜13，
移项，合并同类项，得－3x＜3，
系数化为1，得x＞－1.
在数轴上表示如图所示．
7．解：解不等式得x≤eq \f(m,3)，由题意得4≤eq \f(m,3)＜5，解得12≤m＜15.
方法规律：已知一个不等式的解集满足特定要求，求字母参数的取值范围时，我们可先解出这个含字母参数的不等式的解集，然后根据题意列出一个(或几个)关于字母参数的不等式，从而可求出字母参数的取值范围．
8．解：(1)由①得x＜eq \f(2－a,3)，由②得x＜eq \f(1,3)，由两个不等的解集相同，得eq \f(2－a,3)＝eq \f(1,3)，解得a＝1.
(2)由不等式①的解都是②的解，得eq \f(2－a,3)≤eq \f(1,3)，解得a≥1.
技巧3：含字母系数的一元一次不等式(组)的应用
【类型】一、与方程组的综合问题
1．已知实数x，y同时满足三个条件：①x－y＝2－m；②4x－3y＝2＋m；③x＞y.那么实数m的取值范围是( )
A．m＞－2 B．m＜2 C．m＜－2 D．m＞2
2．已知方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝－7－a，,x－y＝1＋3a))的解中，x为非正数，y为负数．
(1)求a的取值范围； (2)化简|a－3|＋|a＋2|.
3．在等式y＝ax＋b中，当x＝1时，y＝－3；当x＝－3时，y＝13.
(1)求a，b的值；
(2)当－1＜x＜2时，求y的取值范围．
【类型】二、与不等式(组)的解集的综合问题
题型1：已知解集求字母系数的值或范围
4．已知不等式(a－2)x＞4－2a的解集为x＜－2，则a的取值范围是__________．
5．若不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－a＜1，,x－2b＞3))的解集为－1＜x＜1，求(b－1)a＋1的值．
题型2：已知整数解的情况求字母系数的值或取值范围
6．已知不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＞2，,x＜a))的解集中共有5个整数，则a的取值范围为( )
A．7＜a≤8 B．6＜a≤7 C．7≤a＜8 D．7≤a≤8
7．如果不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－a≥0，,3x－b＜0))的整数解是1，2，3，求适合这个不等式组的整数a，b的值．
题型3：已知不等式组有无解求字母系数的取值范围
8．如果不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1＞0，,x－a＜0))无解，则a的取值范围是__________．
9．若不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1＜a ①，,3x＋5＞x－7 ②))有解，求实数a的取值范围．
参考答案
1．B
2．解：(1)解方程组得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－3＋a，,y＝－4－2a.))∵x为非正数，y为负数，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3＋a≤0，,－4－2a＜0，))解得－2＜a≤3.
(2)∵－2＜a≤3，即a－3≤0，a＋2＞0，∴原式＝3－a＋a＋2＝5.
3．解：(1)将x＝1时，y＝－3；x＝－3时，y＝13代入y＝ax＋b，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＝－3，,－3a＋b＝13，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝1.))
(2)由y＝－4x＋1，得x＝eq \f(1－y,4).∵－1＜x＜2，∴－1＜eq \f(1－y,4)＜2，解得－7＜y＜5.
4．a＜2
5．解：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－a＜1.①，,x－2b＞3.②，))解①得x＜eq \f(a＋1,2)；解②得x＞2b＋3.根据题意得eq \f(a＋1,2)＝1，且2b＋3＝－1，解得a＝1，b＝－2，则(b－1)a＋1＝(－3)2＝9.
6．A
7．解：解不等式组得eq \f(a,2)≤x＜eq \f(b,3).
∵不等式组仅有整数解1，2，3，
∴0＜eq \f(a,2)≤1，3＜eq \f(b,3)≤4.
解得0＜a≤2，9＜b≤12.
∵a，b为整数，
∴a＝1，2，b＝10，11，12.
8．a≤1
9．解：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1＜a①，,3x＋5＞x－7②，))解不等式①得x＜a－1.解不等式②得x＞－6.∵不等式组有解，∴－6＜x＜a－1，则a－1＞－6，a＞－5.
【题型讲解】
【题型】一、不等式的性质
例1、若a＞b，则下列等式一定成立的是（ ）
A．a＞b+2B．a+1＞b+1C．﹣a＞﹣bD．|a|＞|b|
【答案】B
【分析】利用不等式的基本性质判断即可．
【详解】A、由a＞b不一定能得出a＞b+2，故本选项不合题意；
B、若a＞b，则a+1＞b+1，故本选项符合题意；
C、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项不合题意；
D、由a＞b不一定能得出|a|＞|b|，故本选项不合题意．
故选：B．
【题型】二、不等式(组)的解集的数轴表示
例2、不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
解不等式x+2＞0，得：x＞-2，
解不等式2x-4≤0，得：x≤2，
则不等式组的解集为-2＜x≤2，
将解集表示在数轴上如下：
故选C．
【题型】三、求一元一次不等式的特解的方法
例3、不等式的非负整数解有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【详解】
解：，
解得：，
则不等式的非负整数解有：0，1，2，3共4个．
故选：D．
【题型】四、确定不等式(组)中字母的取值范围
例4、若不等式组的解集是﹣1＜x≤1，则a＝_____，b＝_____．
【答案】-2 -3
【详解】
解：由题意得：
解不等式 ① 得: x>1+a ,
解不等式②得:x≤
不等式组的解集为: 1+a＜x≤
不等式组的解集是﹣1＜x≤1,
..1+a=-1, =1,
解得:a=-2,b=-3
故答案为: -2, -3.
【题型】五、求一元一次方程组中的待定字母的取值范围
例5、若不等式组的解集是 x＞3，则m的取值范围是（ ）.
A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3
【答案】C
【解析】
详解：，
解①得，x>3；
解②得，x>m，
∵不等式组的解集是x>3，
则m⩽3.
故选：C.
【题型】六、一元一次不等式的应用
例6、某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【答案】C
【分析】根据竞赛得分答对的题数未答对的题数，根据本次竞赛得分要超过120分，列出不等式即可．
【详解】解：设要答对x道．
，
，
，
解得：，
根据x必须为整数，故x取最小整数15，即小华参加本次竞赛得分要超过120分，他至少要答对15道题．
故选C．
一元一次不等式(组)（达标训练）
一、单选题
1．若，则下列不等式一定成立的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质解答．不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：A、∵m>n，∴-2m<-2n，则-2m+1<-2n+1，故该选项不成立，不符合题意；
B、∵m>n，∴m+1>n+1，则，故该选项成立，符合题意；
C、∵m>n，∴m+a>n+a，不能判断m+a>n+b，故该选项不成立，不符合题意；
D、∵m>n，当a>0时，-am<-an；当a<0时，-am>-an；故该选项不成立，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
2．北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品x件，则能够得到的不等式是（ ）
A．100x+80（10﹣x）＞900B．100+80（10﹣x）＜900
C．100x+80（10﹣x）≥900D．100x+80（10﹣x）≤900
【答案】D
【分析】设购买冰墩墩礼品x件，则购买雪容融礼品（10﹣x）件，根据“冰墩墩单价×冰墩墩个数+雪容融单价×雪容融个数≤900”可得不等式．
【详解】解：设购买冰墩墩礼品x件，则购买雪容融礼品（10﹣x）件，
根据题意，得：100x+80（10﹣x）≤900，
故选：D．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是理解题意，找到其中蕴含的不等关系．
3．不等式组的解是（ ）
A．B．C．D．无解
【答案】C
【分析】先求出每个不等式的解集，再结合起来即可得到不等式组的解集．
【详解】由得：
由得：
∴
故选C
【点睛】本题考查一元一次方程组的求解，掌握方法是关键．
4．不等式3﹣x＜2x+6的解集是（ ）
A．x＜1B．x＞1C．x＜﹣1D．x＞﹣1
【答案】D
【分析】根据一元一次不等式的解法，移项、合并同类项、系数化1求解即可．
【详解】解：，
移项得，
合并同类项得，
系数化1得，
不等式的解集是，
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解决问题的关键．
5．在数轴上表示不等式的解集正确的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】根据不等式解集的表示方法依次判断．
【详解】解：在数轴上表示不等式x>−1的解集的是A．
故选：A．
【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确掌握不等式解集的表示方法,区分实心点与空心点，是解题的关键．
二、填空题
6．超市用1200元钱批发了A，B两种西瓜进行销售，两种西瓜的批发价和零售价如下表所示，若计划将这批西瓜全部售完后，所获利润率不低于40%，则该超市至少批发A种西瓜__________．
【答案】120
【分析】设批发A种西瓜x kg，根据“利润率不低于40%”列出不等式，求解即可．
【详解】解：设批发A种西瓜xkg，则
（6-4）x+×（4-3）≥1200×40%，
解得x≥120．
答：该超市至少批发A种西瓜120kg．
故答案为：120．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的不等关系，列不等式求解．
7．不等式的解集为____．
【答案】
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；本题可以采用去括号、移项、合并同类项即可求解．
【详解】解：去分母，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：．
∴不等式的解集为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式．严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意∶不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号方向改变；在数轴上表示不等式的解集要注意实心点和空心点的区别．
三、解答题
8．解不等式组：并将解集在数轴上表示．
【答案】，数轴表示见解析
【分析】先求出每个一元一次不等式的解集，再求两个解集的公共部分，即是不等式组的解集．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵与的公共部分为，
∴不等式组的解集是：．
在数轴上表示解集如下：
【点睛】本题考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组解集的求解方法是解题关键．
一元一次不等式(组)（提升测评）
一、单选题
1．2022年北京冬季奥运会开幕式于2022年2月4日20：00在国家体育馆举行，嘉淇利用相关数字做游戏：
①画一条数轴，在数轴上用点A，B，C分别表示﹣20，2022，﹣24，如图1所示；
②将这条数轴在点A处剪断，点A右侧的部分称为数轴I，点A左侧的部分称为数轴Ⅱ；
③平移数轴Ⅱ使点A位于点B的正下方，如图2所示；
④扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k倍，使点C正上方位于数轴I的点A左侧．
则整数k的最小值为（ ）
A．511B．510C．509D．500
【答案】A
【分析】根据题意可得，列出不等式，求得最小整数解即可求解．
【详解】解：依题意，，
∵扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k倍，使点C正上方位于数轴I的点A左侧，
，
即，
解得，
为正整数，
∴的最小值为，
故选A．
【点睛】本题考查了数轴上两点距离，一元一次不等式的应用，根据题意得出是解题的关键．
2．不等式的解在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，继而可得答案．
【详解】解：去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得，
在数轴上表示为：
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
3．已知实数a，b，c满足，．则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．a，b，c不可能同时相等D．若，则
【答案】B
【分析】A.根据，则，根据，得出；
B.根据，得出，把代入得：，即可得出答案；
C.当时，可以使，，即可判断出答案；
D.根据解析B可知，，即可判断．
【详解】A.∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故A错误；
B.∵，即，
∴，
把代入得：，
，
解得：，故B正确；
C.当时，可以使，，
∴a，b，c可能同时相等，故C错误；
D.根据解析B可知，，把代入得：，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，等式基本性质和不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质和等式的性质，是解题的关键．
4．若数a使关于x的分式方程有非负整数解，且使关于y的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．﹣5B．﹣3C．0D．2
【答案】D
【分析】解不等式组，根据题意确定a的范围；解出分式方程，根据题意确定a的范围，根据题意计算即可．
【详解】解：，
解不等式①得：y＞﹣8，
解不等式②得：y≤a，
∴原不等式组的解集为：﹣8＜y≤a，
∵不等式组至少有3个整数解，
∴a≥﹣5，
，
去分母得∶1﹣x﹣a＝x﹣3，
解得：x，
∵分式方程有非负整数解，
∴x≥0（x为整数）且x≠3，
∴为非负整数，且3，
∴a≤4且a≠﹣2，
∴符合条件的所有整数a的值为：﹣4，0，2，4，
∴符合条件的所有整数a的和是：2，
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．
5．已知三个实数a、b、c，满足，，且、、，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由两个已知等式3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1．可用其中一个未知数表示另两个未知数，然后由条件：a，b，c均是非负数，列出c的不等式组，可求出未知数c的取值范围，再把m＝3a+b﹣7c中a，b转化为c，即可得解．
【详解】解：联立方程组，
解得，，
由题意知：a，b，c均是非负数，
则，
解得，
∴3a+b﹣7c
＝3（﹣3+7c）+（7﹣11c）﹣7c
＝﹣2+3c，
当c＝时，3a+b﹣7c有最小值，即3a+b﹣7c＝﹣2+3×＝﹣．
故选：B．
【点睛】此题主要考查代数式求值，考查的知识点相对较多，包括不等式的求解、求最大值最小值等，另外还要求有充分利用已知条件的能力．
二、填空题
6．一元二次方程x2+5x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 _____．
【答案】####
【分析】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可得，进行计算即可得．
【详解】解：根据题意得，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式并认真计算．
7．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是________．
【答案】m≤6且m≠4
【分析】先求得分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：关于x的分式方程的解为：x＝6−m，
∵分式方程有可能产生增根2，
∴6−m≠2，
∴m≠4，
∵关于x的分式方程的解是非负数，
∴6−m≥0，
解得：m≤6，
综上，m的取值范围是：m≤6且m≠4．
故答案为：m≤6且m≠4．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解分式方程一定要注意有可能产生增根的情况，这是解题的关键．
三、解答题
8．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．
(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
(2)飞箭航模店计划购买两种模型共200个，且每个“神舟”模型的售价为30元，“天宫”模型的售价为15元．设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元．
①求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元
(2)①②购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为1250元
【分析】（1）根据总数，设立未知数，建立分式方程，即可求解.
（2）①设“神舟”模型个，则“天宫”模型为个，根据利润关系即可表示w与a的关系式.
②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，即可找到a的取值范围，利用一次函数性质即可求解.
（1）
解：设“天宫”模型成本为每个元，则“神舟”模型成本为每个元.
依题意得.
解得.
经检验，是原方程的解.
答：“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元；
（2）
解：①“神舟”模型个，则“天宫”模型为个.
.
②购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的.
.
解得：.
.
.
.
即：购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得利润.最大利润为1250元.
【点睛】本题考查了分式方程、一次函数的性质，关键在于找到等量关系，建立方程，不等式，函数模型.
9．解不等式组：
【答案】
【分析】先分别求出两个一元一次不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小，小大大小取中间、大大小小找不到”即可求解．
【详解】解：，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴该不等式组的解集为 ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，理解并掌握求不等式组的原则“同大取大、同小取小，小大大小取中间、大大小小找不到”是解题的关键．
不
等
式
或
组
不等式的基本性质
（1）不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变
（2）不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变
（3）不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变
解法
① 去分母；② 去括号；③ 移项；④ 合并同类项；⑤ 未知数的系数化为1.
在①至⑤步的变形中,一定要注意不等号的方向是否需要改变.
一元一次不等式组
定义
一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组.
解法
先求出各个不等式的解再确定其公共部分，即为原不等式组的解集。
四种基本不等式组的解集
不等式组(a解集
图示
口诀
x≥b
大大取大
x≤a
小小取小
a≤x≤b
大小小大中间找
无解
大大小小解不了
名称
A
B
批发价（元/）
4
3
零售价（元/）
6
4
技巧1：一元一次不等式组的解法技巧
技巧2：一元一次不等式的解法的应用
技巧3：含字母系数的一元一次不等式(组)的应用
【题型】一、不等式的性质
【题型】二、不等式(组)的解集的数轴表示
【题型】三、求一元一次不等式的特解的方法
【题型】四、确定不等式(组)中字母的取值范围
【题型】五、求一元一次方程组中的待定字母的取值范围
【题型】六、一元一次不等式的应用
【考纲要求】
1、了解不等式(组)有关的概念，理解不等式的基本性质；
2、会解简单的一元一次不等式(组)；并能在数轴上表示出其解集．
3、能列出一元一次不等式(组)解决实际问题.
【考点总结】一、一元一次不等式(组)
【注意】
不等式的解与不等式的解集的区别与联系：
1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。
2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。
3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。
2. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。
2．列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，
如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等．
这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．
3．列不等式(组)解应用题的一般步骤：
(1)审题；
(2)设未知数；
(3)找出能够包含未知数的不等量关系；
(4)列出不等式(组)；
(5)求出不等式(组)的解；
(6)在不等式(组)的解中找出符合题意的值；
(7)写出答案(包括单位名称)．
【技巧归纳】
技巧1：一元一次不等式组的解法技巧
【类型】一、解普通型的一元一次不等式组
1．不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2x＜6，,x－2≤0))的解集，在数轴上表示正确的是( )
2．解不等式组，并把解集表示在数轴上．
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋5≤3（x＋2），①,\f(1－2x,3)＋\f(1,5)＞0.②))
【类型】二、解连写型的不等式组
3．满足不等式组－1
4．若式子4－k的值大于－1且不大于3，则k的取值范围是____________．
5．用两种不同的方法解不等式组－1
6．解不等式eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3x－1,2)))≤4.
【类型】四、“分式”型不等式转化为不等式组求解
7．解不等式eq \f(3x－6,2x＋1)<0.
参考答案
1．C
2．解：由①得，x≥－1.
由②得，x＜eq \f(4,5).
∴不等式组的解集为－1≤x＜eq \f(4,5).
表示在数轴上，如图所示．
3．B 4.1≤k＜5
5．解：方法1：原不等式组可化为下面的不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1<\f(2x－1,3)，①,\f(2x－1,3)≤5.②))解不等式①，得x>－1.
解不等式②，得x≤8.
所以不等式组的解集为－1
解：由eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3x－1,2)))≤4，得－4≤eq \f(3x－1,2)≤4.
则原不等式可转化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(3x－1,2)≥－4，①,\f(3x－1,2)≤4.②))
解不等式①，得x≥－eq \f(7,3).
解不等式②，得x≤3.
所以原不等式的解集为－eq \f(7,3)≤x≤3.
点拨：解题时要先将不等式转化为不等式组再进行求解．
7．解：∵eq \f(3x－6,2x＋1)＜0，
∴3x－6与2x＋1异号．
即：(Ⅰ)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－6＞0，,2x＋1＜0))或
(Ⅱ)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－6＜0，,2x＋1＞0.))
解(Ⅰ)的不等式组得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＞2，,x＜－\f(1,2).))
∴此不等式组无解．
解(Ⅱ)的不等式组得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＜2，,x＞－\f(1,2).))
∴此不等式组的解集为－eq \f(1,2)＜x＜2.
∴原不等式的解集为－eq \f(1,2)＜x＜2.
技巧2：一元一次不等式的解法的应用
【类型】一、直接解不等式
1．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．
(1)x＞eq \f(1,3)x－2； (2)eq \f(4x－1,3)－x＞1； (3)eq \f(x＋1,3)≥2(x＋1)．
2．下面解不等式的过程是否正确？如不正确，请找出开始错误之处，并改正．
解不等式：eq \f(4－3x,3)－1＜eq \f(7＋5x,5).
解：去分母，得5(4－3x)－1＜3(7＋5x)． ①
去括号，得20－15x－1＜21＋15x. ②
移项，合并同类项，得－30x＜2. ③
系数化为1，得x＞－eq \f(1,15). ④
【类型】二、解含字母系数的一元一次不等式
3．解关于x的不等式ax－x－2＞0.
【类型】三、解与方程(组)的解综合的不等式
4．当m取何值时，关于x的方程eq \f(2,3)x－1＝6m＋5(x－m)的解是非负数？
5．二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝10，,4x－3y＝2))的解满足不等式ax＋y＞4，求a的取值范围．
【类型】四、解与新定义综合的不等式
6．定义新运算：对于任意实数a，b，都有a★b＝a(a－b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2★5＝2×(2－5)＋1＝－5.
(1)求(－2)★3的值；
(2)若3★x的值小于13，求x的取值范围，并在数轴上表示出来．
【类型】五、解与不等式的解综合的不等式
7．已知关于x的不等式3x－m≤0的正整数解有四个，求m的取值范围．
8．关于x的两个不等式①eq \f(3x＋a,2)<1与②1－3x>0.
(1)若两个不等式的解集相同，求a的值；
(2)若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围．
参考答案
1．解：(1)x＞eq \f(1,3)x－2，
eq \f(2,3)x＞ －2，
x＞ －3.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
(2)eq \f(4x－1,3)－x＞1，
4x－1－3x＞ 3，
x＞ 4.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
(3)eq \f(x＋1,3)≥2(x＋1)，
x＋1≥ 6x＋6，
－5x≥ 5，
x≤ －1.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
2．解：第①步开始错误，应该改成：
去分母，得5(4－3x)－15＜3(7＋5x)．
去括号，得20－15x－15＜21＋15x.
移项，合并同类项，得－30x＜16.
系数化为1，得x＞－eq \f(8,15).
3．解：移项，合并同类项得，(a－1)x＞2，
当a－1＞0，即a＞1时，x＞eq \f(2,a－1)；
当a－1＝0，即a＝1时，x无解；
当a－1＜0，即a＜1时，x＜eq \f(2,a－1).
4．解：解方程得x＝－eq \f(3,13)(m＋1)，由题意得－eq \f(3,13)(m＋1)≥0，解得m≤－1.
5．解：解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1( 2x＋3y＝10，,4x－3y＝2，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2.))代入不等式得2a＋2＞4.所以a＞1.
6．解：(1)(－2)★3＝－2×(－2－3)＋1＝－2×(－5)＋1＝10＋1＝11.
(2)∵3★x＜13，∴3(3－x)＋1＜13，
去括号，得9－3x＋1＜13，
移项，合并同类项，得－3x＜3，
系数化为1，得x＞－1.
在数轴上表示如图所示．
7．解：解不等式得x≤eq \f(m,3)，由题意得4≤eq \f(m,3)＜5，解得12≤m＜15.
方法规律：已知一个不等式的解集满足特定要求，求字母参数的取值范围时，我们可先解出这个含字母参数的不等式的解集，然后根据题意列出一个(或几个)关于字母参数的不等式，从而可求出字母参数的取值范围．
8．解：(1)由①得x＜eq \f(2－a,3)，由②得x＜eq \f(1,3)，由两个不等的解集相同，得eq \f(2－a,3)＝eq \f(1,3)，解得a＝1.
(2)由不等式①的解都是②的解，得eq \f(2－a,3)≤eq \f(1,3)，解得a≥1.
技巧3：含字母系数的一元一次不等式(组)的应用
【类型】一、与方程组的综合问题
1．已知实数x，y同时满足三个条件：①x－y＝2－m；②4x－3y＝2＋m；③x＞y.那么实数m的取值范围是( )
A．m＞－2 B．m＜2 C．m＜－2 D．m＞2
2．已知方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝－7－a，,x－y＝1＋3a))的解中，x为非正数，y为负数．
(1)求a的取值范围； (2)化简|a－3|＋|a＋2|.
3．在等式y＝ax＋b中，当x＝1时，y＝－3；当x＝－3时，y＝13.
(1)求a，b的值；
(2)当－1＜x＜2时，求y的取值范围．
【类型】二、与不等式(组)的解集的综合问题
题型1：已知解集求字母系数的值或范围
4．已知不等式(a－2)x＞4－2a的解集为x＜－2，则a的取值范围是__________．
5．若不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－a＜1，,x－2b＞3))的解集为－1＜x＜1，求(b－1)a＋1的值．
题型2：已知整数解的情况求字母系数的值或取值范围
6．已知不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＞2，,x＜a))的解集中共有5个整数，则a的取值范围为( )
A．7＜a≤8 B．6＜a≤7 C．7≤a＜8 D．7≤a≤8
7．如果不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－a≥0，,3x－b＜0))的整数解是1，2，3，求适合这个不等式组的整数a，b的值．
题型3：已知不等式组有无解求字母系数的取值范围
8．如果不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1＞0，,x－a＜0))无解，则a的取值范围是__________．
9．若不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1＜a ①，,3x＋5＞x－7 ②))有解，求实数a的取值范围．
参考答案
1．B
2．解：(1)解方程组得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－3＋a，,y＝－4－2a.))∵x为非正数，y为负数，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3＋a≤0，,－4－2a＜0，))解得－2＜a≤3.
(2)∵－2＜a≤3，即a－3≤0，a＋2＞0，∴原式＝3－a＋a＋2＝5.
3．解：(1)将x＝1时，y＝－3；x＝－3时，y＝13代入y＝ax＋b，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＝－3，,－3a＋b＝13，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝1.))
(2)由y＝－4x＋1，得x＝eq \f(1－y,4).∵－1＜x＜2，∴－1＜eq \f(1－y,4)＜2，解得－7＜y＜5.
4．a＜2
5．解：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－a＜1.①，,x－2b＞3.②，))解①得x＜eq \f(a＋1,2)；解②得x＞2b＋3.根据题意得eq \f(a＋1,2)＝1，且2b＋3＝－1，解得a＝1，b＝－2，则(b－1)a＋1＝(－3)2＝9.
6．A
7．解：解不等式组得eq \f(a,2)≤x＜eq \f(b,3).
∵不等式组仅有整数解1，2，3，
∴0＜eq \f(a,2)≤1，3＜eq \f(b,3)≤4.
解得0＜a≤2，9＜b≤12.
∵a，b为整数，
∴a＝1，2，b＝10，11，12.
8．a≤1
9．解：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1＜a①，,3x＋5＞x－7②，))解不等式①得x＜a－1.解不等式②得x＞－6.∵不等式组有解，∴－6＜x＜a－1，则a－1＞－6，a＞－5.
【题型讲解】
【题型】一、不等式的性质
例1、若a＞b，则下列等式一定成立的是（ ）
A．a＞b+2B．a+1＞b+1C．﹣a＞﹣bD．|a|＞|b|
【答案】B
【分析】利用不等式的基本性质判断即可．
【详解】A、由a＞b不一定能得出a＞b+2，故本选项不合题意；
B、若a＞b，则a+1＞b+1，故本选项符合题意；
C、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项不合题意；
D、由a＞b不一定能得出|a|＞|b|，故本选项不合题意．
故选：B．
【题型】二、不等式(组)的解集的数轴表示
例2、不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
解不等式x+2＞0，得：x＞-2，
解不等式2x-4≤0，得：x≤2，
则不等式组的解集为-2＜x≤2，
将解集表示在数轴上如下：
故选C．
【题型】三、求一元一次不等式的特解的方法
例3、不等式的非负整数解有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【详解】
解：，
解得：，
则不等式的非负整数解有：0，1，2，3共4个．
故选：D．
【题型】四、确定不等式(组)中字母的取值范围
例4、若不等式组的解集是﹣1＜x≤1，则a＝_____，b＝_____．
【答案】-2 -3
【详解】
解：由题意得：
解不等式 ① 得: x>1+a ,
解不等式②得:x≤
不等式组的解集为: 1+a＜x≤
不等式组的解集是﹣1＜x≤1,
..1+a=-1, =1,
解得:a=-2,b=-3
故答案为: -2, -3.
【题型】五、求一元一次方程组中的待定字母的取值范围
例5、若不等式组的解集是 x＞3，则m的取值范围是（ ）.
A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3
【答案】C
【解析】
详解：，
解①得，x>3；
解②得，x>m，
∵不等式组的解集是x>3，
则m⩽3.
故选：C.
【题型】六、一元一次不等式的应用
例6、某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【答案】C
【分析】根据竞赛得分答对的题数未答对的题数，根据本次竞赛得分要超过120分，列出不等式即可．
【详解】解：设要答对x道．
，
，
，
解得：，
根据x必须为整数，故x取最小整数15，即小华参加本次竞赛得分要超过120分，他至少要答对15道题．
故选C．
一元一次不等式(组)（达标训练）
一、单选题
1．若，则下列不等式一定成立的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质解答．不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：A、∵m>n，∴-2m<-2n，则-2m+1<-2n+1，故该选项不成立，不符合题意；
B、∵m>n，∴m+1>n+1，则，故该选项成立，符合题意；
C、∵m>n，∴m+a>n+a，不能判断m+a>n+b，故该选项不成立，不符合题意；
D、∵m>n，当a>0时，-am<-an；当a<0时，-am>-an；故该选项不成立，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
2．北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品x件，则能够得到的不等式是（ ）
A．100x+80（10﹣x）＞900B．100+80（10﹣x）＜900
C．100x+80（10﹣x）≥900D．100x+80（10﹣x）≤900
【答案】D
【分析】设购买冰墩墩礼品x件，则购买雪容融礼品（10﹣x）件，根据“冰墩墩单价×冰墩墩个数+雪容融单价×雪容融个数≤900”可得不等式．
【详解】解：设购买冰墩墩礼品x件，则购买雪容融礼品（10﹣x）件，
根据题意，得：100x+80（10﹣x）≤900，
故选：D．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是理解题意，找到其中蕴含的不等关系．
3．不等式组的解是（ ）
A．B．C．D．无解
【答案】C
【分析】先求出每个不等式的解集，再结合起来即可得到不等式组的解集．
【详解】由得：
由得：
∴
故选C
【点睛】本题考查一元一次方程组的求解，掌握方法是关键．
4．不等式3﹣x＜2x+6的解集是（ ）
A．x＜1B．x＞1C．x＜﹣1D．x＞﹣1
【答案】D
【分析】根据一元一次不等式的解法，移项、合并同类项、系数化1求解即可．
【详解】解：，
移项得，
合并同类项得，
系数化1得，
不等式的解集是，
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解决问题的关键．
5．在数轴上表示不等式的解集正确的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】根据不等式解集的表示方法依次判断．
【详解】解：在数轴上表示不等式x>−1的解集的是A．
故选：A．
【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确掌握不等式解集的表示方法,区分实心点与空心点，是解题的关键．
二、填空题
6．超市用1200元钱批发了A，B两种西瓜进行销售，两种西瓜的批发价和零售价如下表所示，若计划将这批西瓜全部售完后，所获利润率不低于40%，则该超市至少批发A种西瓜__________．
【答案】120
【分析】设批发A种西瓜x kg，根据“利润率不低于40%”列出不等式，求解即可．
【详解】解：设批发A种西瓜xkg，则
（6-4）x+×（4-3）≥1200×40%，
解得x≥120．
答：该超市至少批发A种西瓜120kg．
故答案为：120．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的不等关系，列不等式求解．
7．不等式的解集为____．
【答案】
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；本题可以采用去括号、移项、合并同类项即可求解．
【详解】解：去分母，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：．
∴不等式的解集为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式．严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意∶不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号方向改变；在数轴上表示不等式的解集要注意实心点和空心点的区别．
三、解答题
8．解不等式组：并将解集在数轴上表示．
【答案】，数轴表示见解析
【分析】先求出每个一元一次不等式的解集，再求两个解集的公共部分，即是不等式组的解集．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵与的公共部分为，
∴不等式组的解集是：．
在数轴上表示解集如下：
【点睛】本题考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组解集的求解方法是解题关键．
一元一次不等式(组)（提升测评）
一、单选题
1．2022年北京冬季奥运会开幕式于2022年2月4日20：00在国家体育馆举行，嘉淇利用相关数字做游戏：
①画一条数轴，在数轴上用点A，B，C分别表示﹣20，2022，﹣24，如图1所示；
②将这条数轴在点A处剪断，点A右侧的部分称为数轴I，点A左侧的部分称为数轴Ⅱ；
③平移数轴Ⅱ使点A位于点B的正下方，如图2所示；
④扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k倍，使点C正上方位于数轴I的点A左侧．
则整数k的最小值为（ ）
A．511B．510C．509D．500
【答案】A
【分析】根据题意可得，列出不等式，求得最小整数解即可求解．
【详解】解：依题意，，
∵扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k倍，使点C正上方位于数轴I的点A左侧，
，
即，
解得，
为正整数，
∴的最小值为，
故选A．
【点睛】本题考查了数轴上两点距离，一元一次不等式的应用，根据题意得出是解题的关键．
2．不等式的解在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，继而可得答案．
【详解】解：去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得，
在数轴上表示为：
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
3．已知实数a，b，c满足，．则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．a，b，c不可能同时相等D．若，则
【答案】B
【分析】A.根据，则，根据，得出；
B.根据，得出，把代入得：，即可得出答案；
C.当时，可以使，，即可判断出答案；
D.根据解析B可知，，即可判断．
【详解】A.∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故A错误；
B.∵，即，
∴，
把代入得：，
，
解得：，故B正确；
C.当时，可以使，，
∴a，b，c可能同时相等，故C错误；
D.根据解析B可知，，把代入得：，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，等式基本性质和不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质和等式的性质，是解题的关键．
4．若数a使关于x的分式方程有非负整数解，且使关于y的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．﹣5B．﹣3C．0D．2
【答案】D
【分析】解不等式组，根据题意确定a的范围；解出分式方程，根据题意确定a的范围，根据题意计算即可．
【详解】解：，
解不等式①得：y＞﹣8，
解不等式②得：y≤a，
∴原不等式组的解集为：﹣8＜y≤a，
∵不等式组至少有3个整数解，
∴a≥﹣5，
，
去分母得∶1﹣x﹣a＝x﹣3，
解得：x，
∵分式方程有非负整数解，
∴x≥0（x为整数）且x≠3，
∴为非负整数，且3，
∴a≤4且a≠﹣2，
∴符合条件的所有整数a的值为：﹣4，0，2，4，
∴符合条件的所有整数a的和是：2，
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．
5．已知三个实数a、b、c，满足，，且、、，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由两个已知等式3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1．可用其中一个未知数表示另两个未知数，然后由条件：a，b，c均是非负数，列出c的不等式组，可求出未知数c的取值范围，再把m＝3a+b﹣7c中a，b转化为c，即可得解．
【详解】解：联立方程组，
解得，，
由题意知：a，b，c均是非负数，
则，
解得，
∴3a+b﹣7c
＝3（﹣3+7c）+（7﹣11c）﹣7c
＝﹣2+3c，
当c＝时，3a+b﹣7c有最小值，即3a+b﹣7c＝﹣2+3×＝﹣．
故选：B．
【点睛】此题主要考查代数式求值，考查的知识点相对较多，包括不等式的求解、求最大值最小值等，另外还要求有充分利用已知条件的能力．
二、填空题
6．一元二次方程x2+5x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 _____．
【答案】####
【分析】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可得，进行计算即可得．
【详解】解：根据题意得，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式并认真计算．
7．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是________．
【答案】m≤6且m≠4
【分析】先求得分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：关于x的分式方程的解为：x＝6−m，
∵分式方程有可能产生增根2，
∴6−m≠2，
∴m≠4，
∵关于x的分式方程的解是非负数，
∴6−m≥0，
解得：m≤6，
综上，m的取值范围是：m≤6且m≠4．
故答案为：m≤6且m≠4．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解分式方程一定要注意有可能产生增根的情况，这是解题的关键．
三、解答题
8．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．
(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
(2)飞箭航模店计划购买两种模型共200个，且每个“神舟”模型的售价为30元，“天宫”模型的售价为15元．设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元．
①求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元
(2)①②购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为1250元
【分析】（1）根据总数，设立未知数，建立分式方程，即可求解.
（2）①设“神舟”模型个，则“天宫”模型为个，根据利润关系即可表示w与a的关系式.
②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，即可找到a的取值范围，利用一次函数性质即可求解.
（1）
解：设“天宫”模型成本为每个元，则“神舟”模型成本为每个元.
依题意得.
解得.
经检验，是原方程的解.
答：“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元；
（2）
解：①“神舟”模型个，则“天宫”模型为个.
.
②购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的.
.
解得：.
.
.
.
即：购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得利润.最大利润为1250元.
【点睛】本题考查了分式方程、一次函数的性质，关键在于找到等量关系，建立方程，不等式，函数模型.
9．解不等式组：
【答案】
【分析】先分别求出两个一元一次不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小，小大大小取中间、大大小小找不到”即可求解．
【详解】解：，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴该不等式组的解集为 ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，理解并掌握求不等式组的原则“同大取大、同小取小，小大大小取中间、大大小小找不到”是解题的关键．
不
等
式
或
组
不等式的基本性质
（1）不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变
（2）不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变
（3）不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变
解法
① 去分母；② 去括号；③ 移项；④ 合并同类项；⑤ 未知数的系数化为1.
在①至⑤步的变形中,一定要注意不等号的方向是否需要改变.
一元一次不等式组
定义
一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组.
解法
先求出各个不等式的解再确定其公共部分，即为原不等式组的解集。
四种基本不等式组的解集
不等式组(a
图示
口诀
x≥b
大大取大
x≤a
小小取小
a≤x≤b
大小小大中间找
无解
大大小小解不了
名称
A
B
批发价（元/）
4
3
零售价（元/）
6
4
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