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【中考一轮复习】2023年中考数学总复习学案——专题09 分式方程（原卷版＋解析版）
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这是一份【中考一轮复习】2023年中考数学总复习学案——专题09 分式方程（原卷版＋解析版），文件包含专题09分式方程归纳与讲解解析版docx、专题09分式方程归纳与讲解原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共28页， 欢迎下载使用。
技巧1：分式的意义及性质的四种题型
技巧2：分式运算的八种技巧
技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范围
技巧4：分式求值的方法
【题型】一、分式有意义的条件
【题型】二、分式的运算
【题型】三、分式的基本性质
【题型】四、解分式方程
【题型】五、分式方程的解
【题型】六、列分式方程
【考纲要求】
1、理解分式、最简分式、最简公分母的概念，掌握分式的基本性质，能熟练地进行约分、通分．
2、能根据分式的加、减、乘、除的运算法则解决计算、化简、求值等问题，并掌握分式有意义、无意义和值为零的约束条件．
3、理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)。
4、了解解分式方程产生增根的原因，会检验和对分式方程出现的增根进行讨论．
【考点总结】一、分式
【考点总结】二、分式方程
【注意】
1.约分前后分式的值要相等.
2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
3.约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式
分式混合运算的运算
运算顺序：1.先把除法统一成乘法运算；
2.分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；
3.确定分式的符号，然后约分；
4.结果应是最简分式.
【技巧归纳】
技巧1：分式的意义及性质的四种题型
【类型】一、分式的识别
1．在eq \f(3x,4x－2)，eq \f(－5,x2＋7)，eq \f(4x－2,5)，2m，eq \f(x2,π＋1)，eq \f(2m2,m)中，不是分式的式子有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．从a－1，3＋π，2，x2＋5中任选2个构成分式，共有________个．
【类型】二、分式有无意义的条件
3．若代数式eq \f(1,a－4)在实数范围内有意义，则实数a的取值范围为( )
A．a＝4 B．a>4 C．a<4 D．a≠4
4．当x＝________时，分式eq \f(x－1,x2－1)无意义．
5．已知不论x为何实数，分式eq \f(3x＋5,x2－6x＋m)总有意义，试求m的取值范围．
【类型】三、分式值为正、负数或0的条件
6．若eq \f(x＋2,x2－2x＋1)的值为正数，则x的取值范围是( )
A．x＜－2 B．x＜1 C．x＞－2且x≠1 D．x＞1
7．若分式eq \f(3x－4,2－x)的值为负数，则x的取值范围是________．
8．已知分式eq \f(a－1,a2－b2)的值为0，求a的值及b的取值范围．
【类型】四、分式的基本性质及其应用
9．下列各式正确的是( )
A.eq \f(a,b)＝eq \f(a2,b2) B.eq \f(a,b)＝eq \f(ab,a＋b) C.eq \f(a,b)＝eq \f(a＋c,b＋c) D.eq \f(a,b)＝eq \f(ab,b2)
10．要使式子 eq \f(1,x－3)＝eq \f(x＋2,x2－x－6) 从左到右的变形成立，x应满足的条件是( )
A．x＞－2 B．x＝－2 C．x＜－2 D．x≠－2
11．已知 eq \f(x,4)＝eq \f(y,6)＝eq \f(z,7)≠0，求 eq \f(x＋2y＋3z,6x－5y＋4z) 的值．
12．已知x＋y＋z＝0，xyz≠0，求eq \f(x,|y＋z|)＋eq \f(y,|z＋x|)＋eq \f(z,|x＋y|)的值．
参考答案
1．C 点拨：eq \f(4x－2,5)，2m，eq \f(x2,π＋1)不是分式．
2．6 点拨：以a－1为分母，可构成3个分式；以x2＋5为分母，可构成3个分式，所以共可构成6个分式．
3．D 4.±1
5．解：x2－6x＋m＝(x－3)2＋(m－9)．
因为(x－3)2≥0，
所以当m－9＞0，即m＞9时，x2－6x＋m始终为正数，分式总有意义．
6．C 点拨：x2－2x＋1＝(x－1)2.因为分式的值为正数，所以x＋2＞0且x－1≠0.解得x＞－2且x≠1.
7．x＞2或x＜eq \f(4,3)
8．解：因为分式eq \f(a－1,a2－b2)的值为0，所以a－1＝0且a2－b2≠0.解得a＝1且b≠±1.
9．D 10.D
11．解：设eq \f(x,4)＝eq \f(y,6)＝eq \f(z,7)＝k(k≠0)，则x＝4k，y＝6k，z＝7k.
所以eq \f(x＋2y＋3z,6x－5y＋4z)＝eq \f(4k＋2×6k＋3×7k,6×4k－5×6k＋4×7k)＝eq \f(37k,22k)＝eq \f(37,22).
12．解：由x＋y＋z＝0，xyz≠0可知，x，y，z必为两正一负或两负一正．当x，y，z为两正一负时，不妨设x＞0，y＞0，z＜0，则原式＝eq \f(x,|－x|)＋eq \f(y,|－y|)＋eq \f(z,|－z|)＝1＋1－1＝1；当x，y，z为两负一正时，不妨设x＞0，y＜0，z＜0，
则原式＝eq \f(x,|－x|)＋eq \f(y,|－y|)＋eq \f(z,|－z|)＝1－1－1＝－1.
综上所述，所求式子的值为1或－1.
值的分式消元求值．
技巧2：分式运算的八种技巧
【类型】一、约分计算法
1．计算：eq \f(a2＋6a,a2＋3a)－eq \f(a2－9,a2＋6a＋9).
【类型】二、整体通分法
2．计算：a－2＋eq \f(4,a＋2).
【类型】三、顺次相加法
3．计算：eq \f(1,x－1)＋eq \f(1,x＋1)＋eq \f(2x,x2＋1)＋eq \f(4x3,x4＋1).
【类型】四、换元通分法
4．计算：(3m－2n)＋eq \f(（3m－2n）3,3m－2n＋1)－(3m－2n)2＋eq \f(2n－3m,3m－2n－1).
【类型】五、裂项相消法eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(即\f(1,n（n＋1）)＝\f(1,n)－\f(1,n＋1)))
5．计算：eq \f(1,a（a＋1）)＋eq \f(1,（a＋1）（a＋2）)＋eq \f(1,（a＋2）（a＋3）)＋…＋eq \f(1,（a＋99）（a＋100）).
【类型】六、整体代入法
6．已知eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,6)，eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \f(1,9)，eq \f(1,a)＋eq \f(1,c)＝eq \f(1,15)，求eq \f(abc,ab＋bc＋ac)的值．
【类型】七、倒数求值法
7．已知 eq \f(x,x2－3x＋1)＝－1，求eq \f(x2,x4－9x2＋1)的值．
【类型】八、消元法
8．已知4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0，且xyz≠0，求eq \f(5x2＋2y2－z2,2x2－3y2－10z2)的值．
参考答案
1．解：原式＝eq \f(a（a＋6）,a（a＋3）)－eq \f(（a＋3）（a－3）,（a＋3）2)＝eq \f(a＋6,a＋3)－eq \f(a－3,a＋3)
＝eq \f(9,a＋3).
点拨：在分式的加减运算中，若分式的分子、分母是多项式，则首先把能因式分解的分子、分母分解因式，其次把分子、分母能约分的先约分，然后再计算，这样可简化计算过程．
2．解：原式＝eq \f(a－2,1)＋eq \f(4,a＋2)
＝eq \f(a2－4,a＋2)＋eq \f(4,a＋2)
＝eq \f(a2,a＋2).
点拨：整式与分式相加减时，可以先将整式看成分母为1的式子，然后通分相加减．
3．解：原式＝eq \f(x＋1,x2－1)＋eq \f(x－1,x2－1)＋eq \f(2x,x2＋1)＋eq \f(4x3,x4＋1)＝eq \f(2x,x2－1)＋eq \f(2x,x2＋1)＋eq \f(4x3,x4＋1)＝eq \f(2x（x2＋1）＋2x（x2－1）,（x2－1）（x2＋1）)＋eq \f(4x3,x4＋1)＝eq \f(4x3,x4－1)＋eq \f(4x3,x4＋1)＝eq \f(4x3（x4＋1）＋4x3（x4－1）,（x4－1）（x4＋1）)＝eq \f(8x7,x8－1).
点拨：此类题在计算时，采用“分步通分相加”的方法，逐步递进进行计算，达到化繁为简的目的．在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑．
4．解：设3m－2n＝x，则原式＝x＋eq \f(x3,x＋1)－x2－eq \f(x,x－1)＝
eq \f(x（x2－1）＋x3（x－1）－x2（x2－1）－x（x＋1）,（x＋1）（x－1）)
＝eq \f(－2x,（x＋1）（x－1）)[来源:学&科&网]
＝eq \f(4n－6m,（3m－2n＋1）（3m－2n－1）).
5．解：原式＝eq \f(1,a)－eq \f(1,a＋1)＋eq \f(1,a＋1)－eq \f(1,a＋2)＋eq \f(1,a＋2)－eq \f(1,a＋3)＋…＋eq \f(1,a＋99)－eq \f(1,a＋100)＝eq \f(1,a)－eq \f(1,a＋100)＝eq \f(100,a（a＋100）).
点拨：对于分子是1，分母是相差为1的两个整式的积的分式相加减，常用eq \f(1,n（n＋1）)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)进行裂项，然后相加减，这样可以抵消一些项．
6．解：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,6)，eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \f(1,9)，eq \f(1,a)＋eq \f(1,c)＝eq \f(1,15)，
上面各式两边分别相加，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))×2＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,9)＋eq \f(1,15)，
所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \f(31,180).
易知abc≠0，所以eq \f(abc,ab＋bc＋ac)＝eq \f(1,\f(1,c)＋\f(1,a)＋\f(1,b))＝eq \f(180,31).
7．解：由eq \f(x,x2－3x＋1)＝－1，知x≠0，
所以eq \f(x2－3x＋1,x)＝－1.所以x－3＋eq \f(1,x)＝－1.即x＋eq \f(1,x)＝2.
所以eq \f(x4－9x2＋1,x2)＝x2－9＋eq \f(1,x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \s\up12(2)－11＝22－11＝－7.
所以eq \f(x2,x4－9x2＋1)＝－eq \f(1,7).
8．解：以x，y为主元，将已知的两个等式化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x－3y＝6z，,x＋2y＝7z.))
解得x＝3z，y＝2z.
因为xyz≠0，所以z≠0.
所以原式＝eq \f(5×9z2＋2×4z2－z2,2×9z2－3×4z2－10z2)＝－13.
点拨：此题无法直接求出x，y，z的值，因此需将三个未知数的其中一个作为常数，解关于另外两个未知数的二元一次方程组，然后代入待求值的分式消元求值．
技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范围
【类型】一、利用分式方程解的定义求字母的值
1．已知关于x的分式方程eq \f(2,x＋4)＝eq \f(m,x)与分式方程eq \f(3,2x)＝eq \f(1,x－1)的解相同，求m2－2m的值．
【类型】二、利用分式方程有解求字母的取值范围
2．若关于x的方程eq \f(x－2,x－3)＝eq \f(m,x－3)＋2有解，求m的取值范围．
【类型】三、利用分式方程有增根求字母的值
3．如果解关于x的分式方程eq \f(m,x－2)－eq \f(2x,2－x)＝1时出现增根，那么m的值为( )
A．－2 B．2 C．4 D．－4
4．若关于x的方程eq \f(m,x2－9)＋eq \f(2,x＋3)＝eq \f(1,x－3)有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．
【类型】四、利用分式方程无解求字母的值
5．若关于x的分式方程eq \f(x－a,x＋1)＝a无解，则a＝________.
6．已知关于x的方程eq \f(x－4,x－3)－m－4＝eq \f(m,3－x)无解，求m的值．
7．已知关于x的分式方程eq \f(x＋a,x－2)－eq \f(5,x)＝1.
(1)若方程的增根为x＝2，求a的值；
(2)若方程有增根，求a的值；
(3)若方程无解，求a的值．
参考答案
1．解：解分式方程eq \f(3,2x)＝eq \f(1,x－1)，得x＝3.
经检验，x＝3是该方程的解．
将x＝3代入eq \f(2,x＋4)＝eq \f(m,x)，
得eq \f(2,7)＝eq \f(m,3).解得m＝eq \f(6,7).
∴m2－2m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,7)))eq \s\up12(2)－2×eq \f(6,7)＝－eq \f(48,49).
2．解：去分母并整理，得x＋m－4＝0.解得x＝4－m.
∵分式方程有解，
∴x＝4－m不能为增根．
∴4－m≠3.解得m≠1.
∴当m≠1时，原分式方程有解．
3．D
4．解：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x＋3)(x－3)＝0，
所以x＝3或x＝－3是原方程的增根．
原方程两边同乘(x＋3)(x－3)，得m＋2(x－3)＝x＋3.
当x＝3时，m＋2×(3－3)＝3＋3，解得m＝6；
当x＝－3时，m＋2×(－3－3)＝－3＋3，
解得m＝12.
综上所述，原方程的增根是x＝3或x＝－3.
当x＝3时，m＝6；
当x＝－3时，m＝12.
点拨：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的m的值．
5．1或－1
6．解：原方程可化为(m＋3)x＝4m＋8.由于原方程无解，故有以下两种情形：
(1)若整式方程无实根，则m＋3＝0且4m＋8≠0，此时m＝－3；
(2)若整式方程的根是原方程的增根，则eq \f(4m＋8,m＋3)＝3，解得m＝1.经检验，m＝1是方程eq \f(4m＋8,m＋3)＝3的解．
综上所述，m的值为－3或1.
7．解：原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10.
(1)因为原方程的增根为x＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.
(2)因为原分式方程有增根，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2.
因为x＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根为x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.
(3)①当3－a＝0，即a＝3时，整式方程(3－a)x＝10无解，则原分式方程也无解；
②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，a＝－2.综上所述，a的值为3或－2.
点拨：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的解使最简公分母等于0或整式方程无解．
技巧4：分式求值的方法
【类型】一、直接代入法求值
1．先化简，再求值：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a＋1)＋\f(a＋2,a2－1)))÷eq \f(a,a－1)，其中a＝5.
【类型】二、活用公式求值
2．已知实数x满足x2－5x＋1＝0，求x4＋eq \f(1,x4)的值．
3．已知x＋y＝12，xy＝9，求eq \f(x2＋3xy＋y2,x2y＋xy2)的值．
【类型】三、整体代入法求值
4．已知eq \f(x,y＋z)＋eq \f(y,z＋x)＋eq \f(z,x＋y)＝1，且x＋y＋z≠0，求eq \f(x2,y＋z)＋eq \f(y2,z＋x)＋eq \f(z2,x＋y)的值．
【类型】四、巧变形法求值
5．已知实数x满足4x2－4x＋1＝0，求2x＋eq \f(1,2x)的值．
【类型】五、设参数求值
6．已知eq \f(x,2)＝eq \f(y,3)＝eq \f(z,4)≠0，求eq \f(x2－y2＋2z2,xy＋yz＋xz)的值．
参考答案
1．解：原式＝[eq \f(2,a＋1)＋eq \f(a＋2,（a＋1）（a－1）)]·eq \f(a－1,a)
＝eq \f(2（a－1）＋（a＋2）,（a＋1）（a－1）)·eq \f(a－1,a)
＝eq \f(3,a＋1).
当a＝5时，eq \f(3,a＋1)＝eq \f(3,5＋1)＝eq \f(1,2).
2．解：由x2－5x＋1＝0得x≠0，
∴x＋eq \f(1,x)＝5.
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \s\up12(2)＝25.∴x2＋eq \f(1,x2)＝23.
∴x4＋eq \f(1,x4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))eq \s\up12(2)－2＝232－2＝527
点拨：在求解有关分式中两数(或两式)的平方和问题时，可考虑运用完全平方公式进行解答．
3．解：eq \f(x2＋3xy＋y2,x2y＋xy2)＝eq \f(x2＋2xy＋y2＋xy,xy（x＋y）)＝eq \f(（x＋y）2＋xy,xy（x＋y）).
因为x＋y＝12，xy＝9，
所以eq \f(（x＋y）2＋xy,xy（x＋y）)＝eq \f(122＋9,9×12)＝eq \f(17,12).
4．解：因为x＋y＋z≠0，
所以等式的两边同时乘x＋y＋z，得eq \f(x（x＋y＋z）,y＋z)＋eq \f(y（x＋y＋z）,z＋x)＋eq \f(z（x＋y＋z）,x＋y)
＝x＋y＋z，
所以eq \f(x2,y＋z)＋eq \f(x（y＋z）,y＋z)＋eq \f(y2,z＋x)＋eq \f(y（z＋x）,z＋x)＋eq \f(z2,x＋y)＋eq \f(z（x＋y）,x＋y)＝x＋y＋z.
所以eq \f(x2,y＋z)＋eq \f(y2,z＋x)＋eq \f(z2,x＋y)＋x＋y＋z＝x＋y＋z.
所以eq \f(x2,y＋z)＋eq \f(y2,z＋x)＋eq \f(z2,x＋y)＝0.
点拨：条件分式的求值，如需对已知条件或所求条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能收到事半功倍的效果．条件分式的求值问题体现了数学中的整体思想和转化思想．
5．解：∵4x2－4x＋1＝0，
∴(2x－1)2＝0.∴2x＝1.
∴2x＋eq \f(1,2x)＝1＋eq \f(1,1)＝2.
6．解：设eq \f(x,2)＝eq \f(y,3)＝eq \f(z,4)＝k≠0，则x＝2k，y＝3k，z＝4k.
所以eq \f(x2－y2＋2z2,xy＋yz＋xz)
＝eq \f(（2k）2－（3k）2＋2（4k）2,2k·3k＋3k·4k＋2k·4k)
＝eq \f(27k2,26k2)＝eq \f(27,26).
【题型讲解】
【题型】一、分式有意义的条件
例1、使得式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥4B．x＞4C．x≤4D．x＜4
【答案】D
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：使得式子有意义，则：4﹣x＞0，解得：x＜4
即x的取值范围是：x＜4故选D．
【题型】二、分式的运算
例2、分式化简后的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据异分母分式相加减的运算法则计算即可．异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法则计算．
【详解】解：
故选：B．
【题型】三、分式的基本性质
例3、若=，则的值为（ ）
A．5B．C．3D．
【答案】A
【解析】因为=，
所以4b=a-b．，解得a=5b，
所以＝.
故选A.
【题型】四、解分式方程
例4、方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知，本题考察分式方程及其解法，根据方程解的意义，运用去分母，移项的方法，进行求解．
【详解】
解：方程可化简为
经检验是原方程的解
故选D
【题型】五、分式方程的解
例5、关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（ ）
A．m＝2B．m＝1C．m＝3D．m＝﹣3
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可．
【详解】解：去分母得：m+3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
【题型】六、列分式方程
例6、随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得：，
故选：D．
分式方程（达标训练）
一、单选题
1．（2022·广西·富川瑶族自治县教学研究室模拟预测）关于x的分式方程有解，则实数m应满足的条件是（ ）
A．m=-1B．m≠-1C．m=1D．m≠1
【答案】D
【分析】解分式方程得： m + x -3=2-x即x=，由题意可知x≠2，即可得到m．
【详解】解：
方程两边同时乘以2-x得： m+x -3=2-x,
2x=5-m，
x=
∵分式方程有解
∴2-x≠0，
∴ x≠2，
即≠2，
∴m ≠1．
故选D．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的关键．
2．（2022·海南省直辖县级单位·二模）分式方程的解为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】按照分式方程的解法求解判断即可．
【详解】∵，
去分母，得
2=x+1，
移项，得
x=2-1=1，
经检验，x=1是原方程的根
故选C．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
3．（2022·天津南开·二模）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果即可．
【详解】解：
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
4．（2022·贵州贵阳·三模）计算的结果是（ ）
A．2B．－2C．1D．－1
【答案】C
【分析】根据分式减法运算法则进行运算，化简即可．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的减法，正确运算是解题关键，注意运算后需要约分化简．
5．（2022·江苏淮安·一模）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0即可得到．
【详解】要分式有意义，则，
解得：．
故选：B
【点睛】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·四川省遂宁市第二中学校二模）分式方程的解为 ______．
【答案】x=-2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：3x(x+1)-(x-1)=3(x+1)(x-1)，
解得：x=-2，
经检验x=-2是分式方程的解，
故答案为x=-2．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
7．（2022·湖南怀化·模拟预测）计算﹣＝_____．
【答案】1
【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减计算即可．
【详解】解：﹣=
故答案为：1．
【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是熟练掌握同分母分式相加减时分母不变，分子相加减，异分母相加减时，先通分变为同分母分式，再加减．
三、解答题
8．（2022·浙江丽水·一模）解方程：．
【答案】
【分析】这是一道可化为一元一次方程的分式方程，根据解分式方程的一般步骤：去分母，转化为求解整式方程，然后检验得到的解是否符合题意，最后得出结论．
【详解】两边同时乘以，得，
去括号，得，
化简，得，
检验：当时，，
原分式方程的解为．
【点睛】此题考查可化为一元一次方程的分式方程，熟练掌握解分式方程的方法与步骤是解此题的关键，但是要特别注意：检验是不可少的环节．
分式方程（提升测评）
一、单选题
1．（2022·辽宁葫芦岛·一模）2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外朋友的喜爱．某特许零售店准备购进一批吉祥物销售．已知用600元购进“冰墩墩”的数量与用500元购进“雪容融”数置相同，已知购进“冰墩墩”的单价比“雪容融”的单价多10元，设购进“冰墩墩”的单价为x元，则列出方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设“冰墩敏”的销售单价为x，则 “雪容融”的销售单价为（x-10）元，然后根据用600元购进“冰墩墩”的数量与用500元购进“雪容融”数置相同即可列出方程．
【详解】解：设“冰墩敏”的销售单价为x，则 “雪容融”的销售单价为（x-10）元，
根据题意，得。
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式方程组的应用．正确理解题意，找出等量关系式是解题的关键．
2．（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．1B．1或3C．1或2D．2或3
【答案】B
【分析】先将分式方程化成整式方程，再分①整式方程无解，②关于的方程有增根两种情况，分别求解即可得．
【详解】解：将方程化成整式方程为，即，
因为关于的方程无解，
所以分以下两种情况：
①整式方程无解，
则，解得；
②关于的方程有增根，
则，即，
将代入得：，解得；
综上，的值为1或3，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程无解，正确分两种情况讨论是解题关键．
3．（2022·安徽·三模）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先将括号内分式通分并相减，再进行约分即可．
【详解】解：原式=
=
=
=，
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
4．（2022·湖北黄石·模拟预测）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式、立方根、分式的性质分析，即可得到答案．
【详解】根据题意，得
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式、立方根、分式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．
5．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）实数．则下列各式中比的值大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接根据分式的性质进行判断即可得到答案．
【详解】解：因为，所以，，
A．，故此选项不符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．，故此选项不符合题意；
D．，符合题意；
故选D
【点睛】本题主要考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解答本题的关键．
二、填空题
6．（2022·黑龙江黑龙江·三模）关于x的分式方程有解，则a的取值范围是________．
【答案】且
【分析】先求出使分式方程无意义时，a的取值范围，再用逆向思维求出当分式方程有解时a的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
∵有解，
则或，
∴，
当时，，
故a的取值是1，
当时，，
两边同乘，，
∴，
当2-a=0时，方程无解，此时a=2，
故答案为：且．
【点睛】本题考查分式方程的解，以及分式方程无意义的解，能够熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键．
7．（2023·福建莆田·二模）已知非零实数a，b满足，则的值等于__________．
【答案】#0.5
【分析】把已知代入分式，根据分式运算法则进行化简求值即可得解．
【详解】解：∵，
∴
＝
＝
＝
＝
＝
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
三、解答题
8．（2022·重庆市育才中学二模）在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同．
(1)求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价；
(2)在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为多少元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？
【答案】(1)甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元
(2)当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元
【分析】（1）设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，乙种品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，然后根据题意可列方程进行求解；
（2）设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元，然后根据题意可列方程进行求解．
（1）
解：设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，乙种品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，由题意得：
，
解得：，
经检验：x=30是原方程的解，
∴乙种品牌的进价为：30+10=40（元），
答：甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元．
（2）
解：设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元，由题意得：
整理得：，
解得：，
答：当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元．
【点睛】本题主要考查分式方程及一元二次方程的应用，解题的关键是找准已知与未知量的等量关系．
分
式
的
相
关
概
念
分式概念
形如eq \f(A,B)(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．
有意义的
条件
因为0不能做除数，所以在分式eq \f(A,B)中，若B≠0，则分式eq \f(A,B)有意义；若B＝0，那么分式eq \f(A,B)没有意义．
值为0
在分式eq \f(A,B)中，当A＝0且B≠0时，分式eq \f(A,B)的值为0
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：eq \f(A,B)＝eq \f(A×M,B×M)，eq \f(A,B)＝eq \f(A÷M,B÷M)(其中M是不等于0的整式)
约分
将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分
通分
将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分
分
式
运
算
分式加减
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即eq \f(a,c)±eq \f(b,c)＝eq \f(a±b,c).异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即eq \f(a,b)±eq \f(c,d)＝eq \f(ad±bc,bd).
分式乘除
分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即eq \f(a,b)·eq \f(c,d)＝eq \f(ac,bd).分式除以分
式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即eq \f(a,b)÷eq \f(c,d)＝eq \f(a,b)·eq \f(d,c)＝eq \f(ad,bc)
分式的混合运算
在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．
分
式
方
程
定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
解法
（1）解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程.
（2）常用方法：①去分母;②换元法.
（3）去分母法的步骤：①去分母,将分式方程转化为整式方程;②解所得的整式方程;③验根作答.
（4）换元法的步骤：①设辅助未知数;②得到关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;③把辅助未知数的值代回原式中,求出原来未知数的值;④检验作答.
（5）解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程时,有时可能产生不适合原方程的根(我们把这个根叫做方程的增根),所以解分式方程时要验根.
运用
解分式方程应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出分式方程,最后要验根
技巧1：分式的意义及性质的四种题型
技巧2：分式运算的八种技巧
技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范围
技巧4：分式求值的方法
【题型】一、分式有意义的条件
【题型】二、分式的运算
【题型】三、分式的基本性质
【题型】四、解分式方程
【题型】五、分式方程的解
【题型】六、列分式方程
【考纲要求】
1、理解分式、最简分式、最简公分母的概念，掌握分式的基本性质，能熟练地进行约分、通分．
2、能根据分式的加、减、乘、除的运算法则解决计算、化简、求值等问题，并掌握分式有意义、无意义和值为零的约束条件．
3、理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)。
4、了解解分式方程产生增根的原因，会检验和对分式方程出现的增根进行讨论．
【考点总结】一、分式
【考点总结】二、分式方程
【注意】
1.约分前后分式的值要相等.
2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
3.约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式
分式混合运算的运算
运算顺序：1.先把除法统一成乘法运算；
2.分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；
3.确定分式的符号，然后约分；
4.结果应是最简分式.
【技巧归纳】
技巧1：分式的意义及性质的四种题型
【类型】一、分式的识别
1．在eq \f(3x,4x－2)，eq \f(－5,x2＋7)，eq \f(4x－2,5)，2m，eq \f(x2,π＋1)，eq \f(2m2,m)中，不是分式的式子有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．从a－1，3＋π，2，x2＋5中任选2个构成分式，共有________个．
【类型】二、分式有无意义的条件
3．若代数式eq \f(1,a－4)在实数范围内有意义，则实数a的取值范围为( )
A．a＝4 B．a>4 C．a<4 D．a≠4
4．当x＝________时，分式eq \f(x－1,x2－1)无意义．
5．已知不论x为何实数，分式eq \f(3x＋5,x2－6x＋m)总有意义，试求m的取值范围．
【类型】三、分式值为正、负数或0的条件
6．若eq \f(x＋2,x2－2x＋1)的值为正数，则x的取值范围是( )
A．x＜－2 B．x＜1 C．x＞－2且x≠1 D．x＞1
7．若分式eq \f(3x－4,2－x)的值为负数，则x的取值范围是________．
8．已知分式eq \f(a－1,a2－b2)的值为0，求a的值及b的取值范围．
【类型】四、分式的基本性质及其应用
9．下列各式正确的是( )
A.eq \f(a,b)＝eq \f(a2,b2) B.eq \f(a,b)＝eq \f(ab,a＋b) C.eq \f(a,b)＝eq \f(a＋c,b＋c) D.eq \f(a,b)＝eq \f(ab,b2)
10．要使式子 eq \f(1,x－3)＝eq \f(x＋2,x2－x－6) 从左到右的变形成立，x应满足的条件是( )
A．x＞－2 B．x＝－2 C．x＜－2 D．x≠－2
11．已知 eq \f(x,4)＝eq \f(y,6)＝eq \f(z,7)≠0，求 eq \f(x＋2y＋3z,6x－5y＋4z) 的值．
12．已知x＋y＋z＝0，xyz≠0，求eq \f(x,|y＋z|)＋eq \f(y,|z＋x|)＋eq \f(z,|x＋y|)的值．
参考答案
1．C 点拨：eq \f(4x－2,5)，2m，eq \f(x2,π＋1)不是分式．
2．6 点拨：以a－1为分母，可构成3个分式；以x2＋5为分母，可构成3个分式，所以共可构成6个分式．
3．D 4.±1
5．解：x2－6x＋m＝(x－3)2＋(m－9)．
因为(x－3)2≥0，
所以当m－9＞0，即m＞9时，x2－6x＋m始终为正数，分式总有意义．
6．C 点拨：x2－2x＋1＝(x－1)2.因为分式的值为正数，所以x＋2＞0且x－1≠0.解得x＞－2且x≠1.
7．x＞2或x＜eq \f(4,3)
8．解：因为分式eq \f(a－1,a2－b2)的值为0，所以a－1＝0且a2－b2≠0.解得a＝1且b≠±1.
9．D 10.D
11．解：设eq \f(x,4)＝eq \f(y,6)＝eq \f(z,7)＝k(k≠0)，则x＝4k，y＝6k，z＝7k.
所以eq \f(x＋2y＋3z,6x－5y＋4z)＝eq \f(4k＋2×6k＋3×7k,6×4k－5×6k＋4×7k)＝eq \f(37k,22k)＝eq \f(37,22).
12．解：由x＋y＋z＝0，xyz≠0可知，x，y，z必为两正一负或两负一正．当x，y，z为两正一负时，不妨设x＞0，y＞0，z＜0，则原式＝eq \f(x,|－x|)＋eq \f(y,|－y|)＋eq \f(z,|－z|)＝1＋1－1＝1；当x，y，z为两负一正时，不妨设x＞0，y＜0，z＜0，
则原式＝eq \f(x,|－x|)＋eq \f(y,|－y|)＋eq \f(z,|－z|)＝1－1－1＝－1.
综上所述，所求式子的值为1或－1.
值的分式消元求值．
技巧2：分式运算的八种技巧
【类型】一、约分计算法
1．计算：eq \f(a2＋6a,a2＋3a)－eq \f(a2－9,a2＋6a＋9).
【类型】二、整体通分法
2．计算：a－2＋eq \f(4,a＋2).
【类型】三、顺次相加法
3．计算：eq \f(1,x－1)＋eq \f(1,x＋1)＋eq \f(2x,x2＋1)＋eq \f(4x3,x4＋1).
【类型】四、换元通分法
4．计算：(3m－2n)＋eq \f(（3m－2n）3,3m－2n＋1)－(3m－2n)2＋eq \f(2n－3m,3m－2n－1).
【类型】五、裂项相消法eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(即\f(1,n（n＋1）)＝\f(1,n)－\f(1,n＋1)))
5．计算：eq \f(1,a（a＋1）)＋eq \f(1,（a＋1）（a＋2）)＋eq \f(1,（a＋2）（a＋3）)＋…＋eq \f(1,（a＋99）（a＋100）).
【类型】六、整体代入法
6．已知eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,6)，eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \f(1,9)，eq \f(1,a)＋eq \f(1,c)＝eq \f(1,15)，求eq \f(abc,ab＋bc＋ac)的值．
【类型】七、倒数求值法
7．已知 eq \f(x,x2－3x＋1)＝－1，求eq \f(x2,x4－9x2＋1)的值．
【类型】八、消元法
8．已知4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0，且xyz≠0，求eq \f(5x2＋2y2－z2,2x2－3y2－10z2)的值．
参考答案
1．解：原式＝eq \f(a（a＋6）,a（a＋3）)－eq \f(（a＋3）（a－3）,（a＋3）2)＝eq \f(a＋6,a＋3)－eq \f(a－3,a＋3)
＝eq \f(9,a＋3).
点拨：在分式的加减运算中，若分式的分子、分母是多项式，则首先把能因式分解的分子、分母分解因式，其次把分子、分母能约分的先约分，然后再计算，这样可简化计算过程．
2．解：原式＝eq \f(a－2,1)＋eq \f(4,a＋2)
＝eq \f(a2－4,a＋2)＋eq \f(4,a＋2)
＝eq \f(a2,a＋2).
点拨：整式与分式相加减时，可以先将整式看成分母为1的式子，然后通分相加减．
3．解：原式＝eq \f(x＋1,x2－1)＋eq \f(x－1,x2－1)＋eq \f(2x,x2＋1)＋eq \f(4x3,x4＋1)＝eq \f(2x,x2－1)＋eq \f(2x,x2＋1)＋eq \f(4x3,x4＋1)＝eq \f(2x（x2＋1）＋2x（x2－1）,（x2－1）（x2＋1）)＋eq \f(4x3,x4＋1)＝eq \f(4x3,x4－1)＋eq \f(4x3,x4＋1)＝eq \f(4x3（x4＋1）＋4x3（x4－1）,（x4－1）（x4＋1）)＝eq \f(8x7,x8－1).
点拨：此类题在计算时，采用“分步通分相加”的方法，逐步递进进行计算，达到化繁为简的目的．在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑．
4．解：设3m－2n＝x，则原式＝x＋eq \f(x3,x＋1)－x2－eq \f(x,x－1)＝
eq \f(x（x2－1）＋x3（x－1）－x2（x2－1）－x（x＋1）,（x＋1）（x－1）)
＝eq \f(－2x,（x＋1）（x－1）)[来源:学&科&网]
＝eq \f(4n－6m,（3m－2n＋1）（3m－2n－1）).
5．解：原式＝eq \f(1,a)－eq \f(1,a＋1)＋eq \f(1,a＋1)－eq \f(1,a＋2)＋eq \f(1,a＋2)－eq \f(1,a＋3)＋…＋eq \f(1,a＋99)－eq \f(1,a＋100)＝eq \f(1,a)－eq \f(1,a＋100)＝eq \f(100,a（a＋100）).
点拨：对于分子是1，分母是相差为1的两个整式的积的分式相加减，常用eq \f(1,n（n＋1）)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)进行裂项，然后相加减，这样可以抵消一些项．
6．解：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,6)，eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \f(1,9)，eq \f(1,a)＋eq \f(1,c)＝eq \f(1,15)，
上面各式两边分别相加，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))×2＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,9)＋eq \f(1,15)，
所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \f(31,180).
易知abc≠0，所以eq \f(abc,ab＋bc＋ac)＝eq \f(1,\f(1,c)＋\f(1,a)＋\f(1,b))＝eq \f(180,31).
7．解：由eq \f(x,x2－3x＋1)＝－1，知x≠0，
所以eq \f(x2－3x＋1,x)＝－1.所以x－3＋eq \f(1,x)＝－1.即x＋eq \f(1,x)＝2.
所以eq \f(x4－9x2＋1,x2)＝x2－9＋eq \f(1,x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \s\up12(2)－11＝22－11＝－7.
所以eq \f(x2,x4－9x2＋1)＝－eq \f(1,7).
8．解：以x，y为主元，将已知的两个等式化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x－3y＝6z，,x＋2y＝7z.))
解得x＝3z，y＝2z.
因为xyz≠0，所以z≠0.
所以原式＝eq \f(5×9z2＋2×4z2－z2,2×9z2－3×4z2－10z2)＝－13.
点拨：此题无法直接求出x，y，z的值，因此需将三个未知数的其中一个作为常数，解关于另外两个未知数的二元一次方程组，然后代入待求值的分式消元求值．
技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范围
【类型】一、利用分式方程解的定义求字母的值
1．已知关于x的分式方程eq \f(2,x＋4)＝eq \f(m,x)与分式方程eq \f(3,2x)＝eq \f(1,x－1)的解相同，求m2－2m的值．
【类型】二、利用分式方程有解求字母的取值范围
2．若关于x的方程eq \f(x－2,x－3)＝eq \f(m,x－3)＋2有解，求m的取值范围．
【类型】三、利用分式方程有增根求字母的值
3．如果解关于x的分式方程eq \f(m,x－2)－eq \f(2x,2－x)＝1时出现增根，那么m的值为( )
A．－2 B．2 C．4 D．－4
4．若关于x的方程eq \f(m,x2－9)＋eq \f(2,x＋3)＝eq \f(1,x－3)有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．
【类型】四、利用分式方程无解求字母的值
5．若关于x的分式方程eq \f(x－a,x＋1)＝a无解，则a＝________.
6．已知关于x的方程eq \f(x－4,x－3)－m－4＝eq \f(m,3－x)无解，求m的值．
7．已知关于x的分式方程eq \f(x＋a,x－2)－eq \f(5,x)＝1.
(1)若方程的增根为x＝2，求a的值；
(2)若方程有增根，求a的值；
(3)若方程无解，求a的值．
参考答案
1．解：解分式方程eq \f(3,2x)＝eq \f(1,x－1)，得x＝3.
经检验，x＝3是该方程的解．
将x＝3代入eq \f(2,x＋4)＝eq \f(m,x)，
得eq \f(2,7)＝eq \f(m,3).解得m＝eq \f(6,7).
∴m2－2m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,7)))eq \s\up12(2)－2×eq \f(6,7)＝－eq \f(48,49).
2．解：去分母并整理，得x＋m－4＝0.解得x＝4－m.
∵分式方程有解，
∴x＝4－m不能为增根．
∴4－m≠3.解得m≠1.
∴当m≠1时，原分式方程有解．
3．D
4．解：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x＋3)(x－3)＝0，
所以x＝3或x＝－3是原方程的增根．
原方程两边同乘(x＋3)(x－3)，得m＋2(x－3)＝x＋3.
当x＝3时，m＋2×(3－3)＝3＋3，解得m＝6；
当x＝－3时，m＋2×(－3－3)＝－3＋3，
解得m＝12.
综上所述，原方程的增根是x＝3或x＝－3.
当x＝3时，m＝6；
当x＝－3时，m＝12.
点拨：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的m的值．
5．1或－1
6．解：原方程可化为(m＋3)x＝4m＋8.由于原方程无解，故有以下两种情形：
(1)若整式方程无实根，则m＋3＝0且4m＋8≠0，此时m＝－3；
(2)若整式方程的根是原方程的增根，则eq \f(4m＋8,m＋3)＝3，解得m＝1.经检验，m＝1是方程eq \f(4m＋8,m＋3)＝3的解．
综上所述，m的值为－3或1.
7．解：原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10.
(1)因为原方程的增根为x＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.
(2)因为原分式方程有增根，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2.
因为x＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根为x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.
(3)①当3－a＝0，即a＝3时，整式方程(3－a)x＝10无解，则原分式方程也无解；
②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，a＝－2.综上所述，a的值为3或－2.
点拨：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的解使最简公分母等于0或整式方程无解．
技巧4：分式求值的方法
【类型】一、直接代入法求值
1．先化简，再求值：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a＋1)＋\f(a＋2,a2－1)))÷eq \f(a,a－1)，其中a＝5.
【类型】二、活用公式求值
2．已知实数x满足x2－5x＋1＝0，求x4＋eq \f(1,x4)的值．
3．已知x＋y＝12，xy＝9，求eq \f(x2＋3xy＋y2,x2y＋xy2)的值．
【类型】三、整体代入法求值
4．已知eq \f(x,y＋z)＋eq \f(y,z＋x)＋eq \f(z,x＋y)＝1，且x＋y＋z≠0，求eq \f(x2,y＋z)＋eq \f(y2,z＋x)＋eq \f(z2,x＋y)的值．
【类型】四、巧变形法求值
5．已知实数x满足4x2－4x＋1＝0，求2x＋eq \f(1,2x)的值．
【类型】五、设参数求值
6．已知eq \f(x,2)＝eq \f(y,3)＝eq \f(z,4)≠0，求eq \f(x2－y2＋2z2,xy＋yz＋xz)的值．
参考答案
1．解：原式＝[eq \f(2,a＋1)＋eq \f(a＋2,（a＋1）（a－1）)]·eq \f(a－1,a)
＝eq \f(2（a－1）＋（a＋2）,（a＋1）（a－1）)·eq \f(a－1,a)
＝eq \f(3,a＋1).
当a＝5时，eq \f(3,a＋1)＝eq \f(3,5＋1)＝eq \f(1,2).
2．解：由x2－5x＋1＝0得x≠0，
∴x＋eq \f(1,x)＝5.
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \s\up12(2)＝25.∴x2＋eq \f(1,x2)＝23.
∴x4＋eq \f(1,x4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))eq \s\up12(2)－2＝232－2＝527
点拨：在求解有关分式中两数(或两式)的平方和问题时，可考虑运用完全平方公式进行解答．
3．解：eq \f(x2＋3xy＋y2,x2y＋xy2)＝eq \f(x2＋2xy＋y2＋xy,xy（x＋y）)＝eq \f(（x＋y）2＋xy,xy（x＋y）).
因为x＋y＝12，xy＝9，
所以eq \f(（x＋y）2＋xy,xy（x＋y）)＝eq \f(122＋9,9×12)＝eq \f(17,12).
4．解：因为x＋y＋z≠0，
所以等式的两边同时乘x＋y＋z，得eq \f(x（x＋y＋z）,y＋z)＋eq \f(y（x＋y＋z）,z＋x)＋eq \f(z（x＋y＋z）,x＋y)
＝x＋y＋z，
所以eq \f(x2,y＋z)＋eq \f(x（y＋z）,y＋z)＋eq \f(y2,z＋x)＋eq \f(y（z＋x）,z＋x)＋eq \f(z2,x＋y)＋eq \f(z（x＋y）,x＋y)＝x＋y＋z.
所以eq \f(x2,y＋z)＋eq \f(y2,z＋x)＋eq \f(z2,x＋y)＋x＋y＋z＝x＋y＋z.
所以eq \f(x2,y＋z)＋eq \f(y2,z＋x)＋eq \f(z2,x＋y)＝0.
点拨：条件分式的求值，如需对已知条件或所求条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能收到事半功倍的效果．条件分式的求值问题体现了数学中的整体思想和转化思想．
5．解：∵4x2－4x＋1＝0，
∴(2x－1)2＝0.∴2x＝1.
∴2x＋eq \f(1,2x)＝1＋eq \f(1,1)＝2.
6．解：设eq \f(x,2)＝eq \f(y,3)＝eq \f(z,4)＝k≠0，则x＝2k，y＝3k，z＝4k.
所以eq \f(x2－y2＋2z2,xy＋yz＋xz)
＝eq \f(（2k）2－（3k）2＋2（4k）2,2k·3k＋3k·4k＋2k·4k)
＝eq \f(27k2,26k2)＝eq \f(27,26).
【题型讲解】
【题型】一、分式有意义的条件
例1、使得式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥4B．x＞4C．x≤4D．x＜4
【答案】D
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：使得式子有意义，则：4﹣x＞0，解得：x＜4
即x的取值范围是：x＜4故选D．
【题型】二、分式的运算
例2、分式化简后的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据异分母分式相加减的运算法则计算即可．异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法则计算．
【详解】解：
故选：B．
【题型】三、分式的基本性质
例3、若=，则的值为（ ）
A．5B．C．3D．
【答案】A
【解析】因为=，
所以4b=a-b．，解得a=5b，
所以＝.
故选A.
【题型】四、解分式方程
例4、方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知，本题考察分式方程及其解法，根据方程解的意义，运用去分母，移项的方法，进行求解．
【详解】
解：方程可化简为
经检验是原方程的解
故选D
【题型】五、分式方程的解
例5、关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（ ）
A．m＝2B．m＝1C．m＝3D．m＝﹣3
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可．
【详解】解：去分母得：m+3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
【题型】六、列分式方程
例6、随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得：，
故选：D．
分式方程（达标训练）
一、单选题
1．（2022·广西·富川瑶族自治县教学研究室模拟预测）关于x的分式方程有解，则实数m应满足的条件是（ ）
A．m=-1B．m≠-1C．m=1D．m≠1
【答案】D
【分析】解分式方程得： m + x -3=2-x即x=，由题意可知x≠2，即可得到m．
【详解】解：
方程两边同时乘以2-x得： m+x -3=2-x,
2x=5-m，
x=
∵分式方程有解
∴2-x≠0，
∴ x≠2，
即≠2，
∴m ≠1．
故选D．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的关键．
2．（2022·海南省直辖县级单位·二模）分式方程的解为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】按照分式方程的解法求解判断即可．
【详解】∵，
去分母，得
2=x+1，
移项，得
x=2-1=1，
经检验，x=1是原方程的根
故选C．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
3．（2022·天津南开·二模）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果即可．
【详解】解：
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
4．（2022·贵州贵阳·三模）计算的结果是（ ）
A．2B．－2C．1D．－1
【答案】C
【分析】根据分式减法运算法则进行运算，化简即可．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的减法，正确运算是解题关键，注意运算后需要约分化简．
5．（2022·江苏淮安·一模）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0即可得到．
【详解】要分式有意义，则，
解得：．
故选：B
【点睛】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·四川省遂宁市第二中学校二模）分式方程的解为 ______．
【答案】x=-2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：3x(x+1)-(x-1)=3(x+1)(x-1)，
解得：x=-2，
经检验x=-2是分式方程的解，
故答案为x=-2．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
7．（2022·湖南怀化·模拟预测）计算﹣＝_____．
【答案】1
【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减计算即可．
【详解】解：﹣=
故答案为：1．
【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是熟练掌握同分母分式相加减时分母不变，分子相加减，异分母相加减时，先通分变为同分母分式，再加减．
三、解答题
8．（2022·浙江丽水·一模）解方程：．
【答案】
【分析】这是一道可化为一元一次方程的分式方程，根据解分式方程的一般步骤：去分母，转化为求解整式方程，然后检验得到的解是否符合题意，最后得出结论．
【详解】两边同时乘以，得，
去括号，得，
化简，得，
检验：当时，，
原分式方程的解为．
【点睛】此题考查可化为一元一次方程的分式方程，熟练掌握解分式方程的方法与步骤是解此题的关键，但是要特别注意：检验是不可少的环节．
分式方程（提升测评）
一、单选题
1．（2022·辽宁葫芦岛·一模）2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外朋友的喜爱．某特许零售店准备购进一批吉祥物销售．已知用600元购进“冰墩墩”的数量与用500元购进“雪容融”数置相同，已知购进“冰墩墩”的单价比“雪容融”的单价多10元，设购进“冰墩墩”的单价为x元，则列出方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设“冰墩敏”的销售单价为x，则 “雪容融”的销售单价为（x-10）元，然后根据用600元购进“冰墩墩”的数量与用500元购进“雪容融”数置相同即可列出方程．
【详解】解：设“冰墩敏”的销售单价为x，则 “雪容融”的销售单价为（x-10）元，
根据题意，得。
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式方程组的应用．正确理解题意，找出等量关系式是解题的关键．
2．（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．1B．1或3C．1或2D．2或3
【答案】B
【分析】先将分式方程化成整式方程，再分①整式方程无解，②关于的方程有增根两种情况，分别求解即可得．
【详解】解：将方程化成整式方程为，即，
因为关于的方程无解，
所以分以下两种情况：
①整式方程无解，
则，解得；
②关于的方程有增根，
则，即，
将代入得：，解得；
综上，的值为1或3，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程无解，正确分两种情况讨论是解题关键．
3．（2022·安徽·三模）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先将括号内分式通分并相减，再进行约分即可．
【详解】解：原式=
=
=
=，
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
4．（2022·湖北黄石·模拟预测）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式、立方根、分式的性质分析，即可得到答案．
【详解】根据题意，得
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式、立方根、分式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．
5．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）实数．则下列各式中比的值大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接根据分式的性质进行判断即可得到答案．
【详解】解：因为，所以，，
A．，故此选项不符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．，故此选项不符合题意；
D．，符合题意；
故选D
【点睛】本题主要考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解答本题的关键．
二、填空题
6．（2022·黑龙江黑龙江·三模）关于x的分式方程有解，则a的取值范围是________．
【答案】且
【分析】先求出使分式方程无意义时，a的取值范围，再用逆向思维求出当分式方程有解时a的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
∵有解，
则或，
∴，
当时，，
故a的取值是1，
当时，，
两边同乘，，
∴，
当2-a=0时，方程无解，此时a=2，
故答案为：且．
【点睛】本题考查分式方程的解，以及分式方程无意义的解，能够熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键．
7．（2023·福建莆田·二模）已知非零实数a，b满足，则的值等于__________．
【答案】#0.5
【分析】把已知代入分式，根据分式运算法则进行化简求值即可得解．
【详解】解：∵，
∴
＝
＝
＝
＝
＝
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
三、解答题
8．（2022·重庆市育才中学二模）在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同．
(1)求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价；
(2)在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为多少元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？
【答案】(1)甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元
(2)当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元
【分析】（1）设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，乙种品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，然后根据题意可列方程进行求解；
（2）设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元，然后根据题意可列方程进行求解．
（1）
解：设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，乙种品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，由题意得：
，
解得：，
经检验：x=30是原方程的解，
∴乙种品牌的进价为：30+10=40（元），
答：甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元．
（2）
解：设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元，由题意得：
整理得：，
解得：，
答：当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元．
【点睛】本题主要考查分式方程及一元二次方程的应用，解题的关键是找准已知与未知量的等量关系．
分
式
的
相
关
概
念
分式概念
形如eq \f(A,B)(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．
有意义的
条件
因为0不能做除数，所以在分式eq \f(A,B)中，若B≠0，则分式eq \f(A,B)有意义；若B＝0，那么分式eq \f(A,B)没有意义．
值为0
在分式eq \f(A,B)中，当A＝0且B≠0时，分式eq \f(A,B)的值为0
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：eq \f(A,B)＝eq \f(A×M,B×M)，eq \f(A,B)＝eq \f(A÷M,B÷M)(其中M是不等于0的整式)
约分
将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分
通分
将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分
分
式
运
算
分式加减
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即eq \f(a,c)±eq \f(b,c)＝eq \f(a±b,c).异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即eq \f(a,b)±eq \f(c,d)＝eq \f(ad±bc,bd).
分式乘除
分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即eq \f(a,b)·eq \f(c,d)＝eq \f(ac,bd).分式除以分
式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即eq \f(a,b)÷eq \f(c,d)＝eq \f(a,b)·eq \f(d,c)＝eq \f(ad,bc)
分式的混合运算
在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．
分
式
方
程
定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
解法
（1）解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程.
（2）常用方法：①去分母;②换元法.
（3）去分母法的步骤：①去分母,将分式方程转化为整式方程;②解所得的整式方程;③验根作答.
（4）换元法的步骤：①设辅助未知数;②得到关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;③把辅助未知数的值代回原式中,求出原来未知数的值;④检验作答.
（5）解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程时,有时可能产生不适合原方程的根(我们把这个根叫做方程的增根),所以解分式方程时要验根.
运用
解分式方程应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出分式方程,最后要验根
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