人教B版 (2019)选择性必修 第三册第六章 导数及其应用6.2 利用导数研究函数的性质6.2.1导数与函数的单调性同步训练题

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【精编】6.2.1 导数与函数的单调性-1随堂练习 一．填空题 1．已知，，，则的最小值是__________； 2．函数取最大值时的值为___________. 3．若对于，不等式恒成立，则a的最大值为___________. 4．设函数，，若存在．使得成立，则的最小值为时，实数______． 5．函数的极大值为___________. 6．当x≠0时，函数f(x)满足，写出一个满足条件的函数解析式f(x)=________． 7． 已知函数的定义域为，且，对于，有成立，则不等式：的解集为___________. 8． 若对任意的实数，不等式恒成立，则正数k的取值范围是__________． 9． 已知函数，若函数的最大值为11，则实数a的值为___________. 10． 已知在区间上，，，对轴上任意两点，都有．若，，，则，，的大小关系为____________． 11．写出一个定义在R上且使得命题“若，则0为函数的极值点”为假命题的奇函数___________. 12．已知函数满足，且存在正实数使得不等式成立，则的取值范围为___________. 13． 函数既有单调递增区间，又有单调递减区间，则的取值范围是________． 14．对于函数，有下列4个论断：甲：函数有两个减区间；乙：函数的图象过点；丙：函数在处取极大值；丁：函数单调.若其中有且只有两个论断正确，则的取值为______. 15．关于x的不等式恰有一个解，则实数a的取值范围是__________．  参考答案与试题解析 1．【答案】 【解析】分析：使用基本不等式可得的范围，然后化简所求式子，并构造函数，最后根据函数单调性可知结果. 详解：由题可知：，， 所以（当且仅当时取等号） 令，设 所以，所以函数在单调递减 所以，即的最小值为 故答案为： 【点睛】 关键点点睛：本题关键在于基本不等式的使用以及构造函数. 2．【答案】 【解析】分析：求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数取最大值时x的值即可. 详解：解： 令，即，解得：或或， 时时，， 故在[上单调递增，在上单调递减， 故时，取最大值， 故答案为： 【点睛】 本题考查函数的单调性问题，考查导数的应用，考查运算求解能力，是中档题. 3．【答案】1 【解析】分析：由已知可得，不等式化为在恒成立，令，不等式化为，再根据的单调性，再将不等式转化为恒成立，即可求出的范围. 详解：对于，不等式恒成立， 所以，不等式化为， 令，即在上恒成立， 单调递减， 单调递增， 且当时，，当时，， 要使在上恒成立， 只需上恒成立， 所以，即的最大值为. 故答案为：1. 【点睛】 将不等式两边化为同结构式，把不等式转化为函数值的大小是解题的关键. 4．【答案】 【解析】分析：分析可知函数在区间上的最小值为，利用导数分析函数在区间上的单调性，结合可求得实数的值. 详解：设， 由可得，， 的最小值为，即求函数在区间上的最小值为， 且，当时，，，则， 所以，函数在区间上为增函数， 所以，，解得. 故答案为：. 【点睛】 方法点睛：求函数在区间上的最值的方法： （1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值； （2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与．比大小，最大的为最大值，最小的为最小值； （3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到. 5．【答案】 【解析】分析：对函数求导，根据函数单调性，即可求得函数的极大值. 详解：令， 则. 所以当时，；当时，. 所以当时，函数有极大值为. 故答案为：. 6．【答案】 【解析】分析：先列举一个满足条件的函数解析式，再证明. 详解：设， 所以， 所以在单调递增，在单调递减， 所以所以； 设， 所以； 故答案为： 【点睛】 方法点睛：对于这种开放性试题，一般先要根据已知条件，找到一个满足已知条件的函数解析式，再进行证明. 7．【答案】 【解析】 解：令，则 ，， ， 在R单调递增， ， ，即，即， 又在R单调递增， 不等式的解集为. 故答案为：. 8．【答案】 【解析】 ，，， 令，，即在上单调递增， 则， 令，，时，时， 在上递增，在上递减，时，即， 正数k的取值范围是. 故答案为： 9．【答案】1或3 【解析】 时，，即在上单调递增， 时，， ，有在上都递增，在上递减， ，有在上递增，在上递减， ，有在上递增， 综上得：时，在上单调递增， 时，在上递增，在上递减，在上递增， 时，在上递增，在上递减，在上递增， 因，时，，解得或，无解， 时，的最大值只可能是或，而，于是有，则， 时，的最大值只可能是或，而，于是有，则， 所以实数a的值为为1或3. 10．【答案】 【解析】 由题意可知，函数在区间上单调递增，且图象在区间上是上凸的，现画出满足题意的一个函数图象， 因为，，， 所以为 的图象与直线，及轴围成的图形面积， ，， 因此. 故答案为：. 11．【答案】(答案不唯一) 【解析】分析：写出一个函数满足“，0不是函数的极值点，奇函数”即可. 详解：由题意，，但0不是函数的极值点，且为奇函数， 所以满足题意的一个可以是. 故答案为：. 12．【答案】 【解析】分析：求导得，进而得，，故 详解：因为，所以， ∴，∴， 因为，∴， 因此，， ∴，当时，， 所以函数在区间上单调递增，， 由题意知，即， ∴. 的取值范围为. 故答案为： 【点睛】 本题考查导数的运算，利用导数研究不等式能成立问题，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于将问题转化为，进而研究函数在区间的单调性，求最小值即可. 13．【答案】 【解析】 ∵，由条件知需有两个不等实根， ∴，∴，即， 故答案为：. 14．【答案】2 【解析】分析：对函数求导后即可判断出甲错误，由于丙．丁相悖，分别讨论丙与丁正确，即可得出答案. 详解：（） 若甲正确，函数在有两个减区间，记，则在有两个解且开口向下,则无解，即甲错误. 因为丙丁相悖. 所以若丁正确，则甲丙错误．乙丁正确. ， (或)在恒成立. 即(或)在恒成立. 即. 若丁错误，则甲丁错误．乙丙正确. 此时 此时 在处取极小值，与丙矛盾，舍去. 综上所述：. 故答案为：2. 【点睛】 本题考查函数的极值与单调性.属于难题.其中需要注意的是极值点是导函数的异号零点，利用导函数为0解出来的极值点，一定要检验其是否真正的极值点. 15．【答案】. 【解析】分析：设，当和时，不符合题意，当时，得到，必有，解得，再结合函数的单调性与最值，即可求解. 详解：设函数， 若时，当时，，此时不等式，有无穷多个整数解，不符合题意； 若时，无解，不符合题意； 若时，可得，则必有， 解得，所以， 当时，可得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 当时，；当时，， 即当时，恰好有一个整数解，即为，即， 综上可得，实数a的取值范围是. 【点睛】 对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：