高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.1 数列的概念当堂达标检测题

课时跟踪检测 （一）  数列的概念与简单表示法

1．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的(　　)

A．第100项  B.第12项

C．第10项  D.第8项

解析：选C　∵an＝，令＝0.08，解得n＝10或n＝(舍去)．

2．下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　)

A．1，，，，…

B．sin ，sin ，sin ，sin ，…

C．－1，－，－，－，…

D．1,2,3,4，…，30

解析：选C　数列1，，，，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列sin ，sin ，sin ，sin ，…是无穷数列，但它既不是递增数列，也不是递减数列；数列－1，－，－，－，…是无穷数列，也是递增数列；数列1,2,3,4，…，30是递增数列，但不是无穷数列．

3．数列，，，，…的第10项是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选C　由题意知数列的通项公式是an＝(n∈N*)，所以a10＝＝.故选C.

4．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的通项公式为(　　)

A．an＝(10n－1)  B.an＝(10n－1)

C．an＝  D.an＝(10n－1)

解析：选C　因为数列0.9,0.99,0.999,0.999 9，…的通项公式为1－，而数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的，故选C.

5．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是(　　)

A.  B.5

C．6  D.

解析：选B　a1·a2·a3· … ·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝××…×＝＝log2 32＝log225＝5.

6．已知数列{an}的前四项为11,102,1 003,10 004，…，则它的一个通项公式为________．

解析：由于11＝10＋1,102＝102＋2,1 003＝103＋3，10 004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是an＝10n＋n.

答案：an＝10n＋n

7．已知数列{an}的通项公式是an＝n2－8n＋12，那么该数列中为负数的项一共有________项．

解析：令an＝n2－8n＋12<0，

解得2<n<6，

又因为n∈N*，

所以n＝3,4,5，一共有3项．

答案：3

8．已知数列{an}的前四项分别为1,0,1,0，给出下列各式：

①an＝；②an＝；③an＝sin2；④an＝；⑤an＝⑥an＝＋(n－1)(n－2)．其中可以作为数列{an}的通项公式的有________(填序号)．

解析：判断一个式子是否可以作为数列的通项公式，只要把适当的n代入，验证是否满足即可，若要确定它是通项公式则必须加以证明．将n＝1,2,3,4分别代入验证可知①③④均可作为数列{an}的通项公式，而②⑤⑥不可作为数列{an}的通项公式．

答案：①③④

9．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来．

(1)an＝(－1)n＋2；

(2)an＝.

解：(1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.图象如图1.

(2)a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.图象如图2.

10．已知数列{an}中，a1＝a＞0，an＋1＝f(an)(n∈N*)，其中f(x)＝.

(1)求a2，a3，a4；

(2)猜想数列{an}的一个通项公式．

解：(1)∵a1＝a，an＋1＝f(an)，

∴a2＝f(a1)＝，a3＝f(a2)＝＝，

a4＝f(a3)＝.

(2)根据(1)猜想{an}的一个通项公式为an＝(n∈N*)．

1．[多选]一个无穷数列{an}的前三项是1,2,3，下列可以作为其通项公式的是(　　)

A．an＝n  B.an＝n3－6n2＋12n－6

C．an＝n2－n＋1  D.an＝

解析：选ABD　对于A，若an＝n，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意；对于B，若an＝n3－6n2＋12n－6，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意；对于C，若an＝n2－n＋1，当n＝3时，a3＝4≠3，不符合题意；对于D，若an＝，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意．

2．把3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．则第7个三角形数是(　　)

A．28  B.29

C．32  D.36

解析：选D　设3,6,10,15,21，…为数列{an}，则an＝，当n＝7时，a7＝＝36.

3．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an＞0成立的最大正整数n的值为________．

解析：由an＝19－2n＞0，得n＜.∵n∈N*，∴n≤9.

答案：9

4．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－，a2＝－.

(1)求{an}的通项公式．

(2)－是{an}中的第几项？

(3)该数列是递增数列还是递减数列？

解：(1)∵an＝pn＋q，a1＝－，a2＝－，

∴解得

因此{an}的通项公式是an＝n－1.

(2)令an＝－，即n－1＝－，

∴n＝，解得n＝8.故－是{an}中的第8项．

(3)由于an＝n－1，且n随n的增大而减小，

因此an的值随n的增大而减小，故{an}是递减数列．

5．一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途(包括A，B)共有8站．从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的一个邮件，同时装上该站发往下面各站的邮件各一个．试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所组成的数列，画出该数列的图象，判断该数列的增减性，并指出最大项．

解：将A，B之间所有站按1,2,3,4,5,6,7,8编号．通过计算，上面各站剩余邮件数依次排成数列7,12,15,16,15,12,7,0，列表如下：

该数列的图象如图．

数列在{1,2,3,4}上是递增的，在{4,5,6,7,8}上是递减的，故该数列的最大项是第4项，为16.