高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 古典概型学案

§2　古典概型

第1课时　古典概型

课前篇·自主梳理知识

【主题】　古典概型

1．对于一个随机事件A，我们通常用一个数P(A)(0≤P(A)≤1)来表示该事件发生的可能性的大小，这个数就称为随机事件A的________．概率度量了随机事件发生的可能性的大小，是对随机事件统计规律性的数量刻画．

2．一般地，若试验E具有如下特征：

(1)有限性：试验E的样本空间Ω的样本点总数有限，即样本空间Ω为有限样本空间；

(2)等可能性：每次试验中，样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等．

则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型．

3．对古典概型来说，如果样本空间Ω包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为

P(A)＝__________________＝________.

答案：1.概率　　3.　

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)从装有三个大球、一个小球的袋子里取出一球的实验是古典概型．(　　)

(2)“用抽签法从班里抽取一年学生代表，结果为男代表或女代表”这是一古典概型．(　　)

(3)若一次试验的样本空间的样本点数为n，则每个样本点出现的概率为.(　　)

答案：(1)　(2)　(3)√

2．下列试验中，是古典概型的有(　　)

A．某人射击中靶或不中靶

B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个

C．四位同学用抽签法选一人参加会议

D．运动员投篮，观察是否投中

答案：C　

解析：A中，某人射击中靶与不中靶的概率不相等，所以A不是古典概型；B中，横坐标和纵坐标都为整数的所有点有无数个，所以B不是古典概型；C中，每个人被选中的可能性相等，且共有4种结果，符合古典概型的特征，所以C是古典概型；D中，运动员投篮投中与没有投中的概率不相等，所以D不是古典概型．

3．若书架上放有中文书五本，英文书三本，日文书两本，则抽出一本外文书的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案：D　

解析：抽到的外文书，可能是英文书或日文书，所以P＝＋＝.

4．从1,2,3中任取两个数字，设取出的数字中含有3为事件A，则P(A)＝________.

答案：　

解析：从1,2,3中任取两个数字有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个基本事件；事件A包含(1,3)，(2,3)，共2个基本事件，则P(A)＝.

课堂篇·重难要点突破

研习1　古典概型的概念

[典例1]　向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，这是古典概型吗？

解：不是古典概型．因为事件的个数不是有限个．

古典概型的判定方法

判断一个事件是否是古典概型，关键看该事件是否具备古典概型的两大特征：

(1)有限性——在一次试验中，所有可能出现的基本事件只有有限个，例如，从自然数集中任选一个数，把它和5比较大小，因为所有可能的结果有无限多个，所以该试验不是古典概型．

(2)等可能性——每个基本事件出现的可能性相等，例如，在适宜的条件下种下一粒种子观察它是否发芽，这个试验的结果只有“发芽”和“不发芽”两种，但这两种结果出现的可能性一般不是均等的，所以该试验也不是古典概型．

[练习1]某射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环(即不命中)．你认为这是古典概型吗？

解：不是古典概型．因为每一事件发生的可能性不相等．

研习2　利用古典概型公式求概率

[典例2]　袋中装有6个形状完全相同的小球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：

(1)事件A：取出的两球都是白球；

(2)事件B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．

解：设4个白球的编号为1,2,3,4；2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取两个的方法为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．

(1)从袋中的6个小球中任取两个，所取的两球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6种，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．

故取出的两个小球全是白球的概率为P(A)＝＝.

(2)从袋中的6个小球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．

故取出的两个小球一个是白球，另一个是红球的概率为P(B)＝.

[延伸探究]　本题用什么方法可得到概率和基本事件？

答案：求概率可用概率公式P(A)＝，而基本事件可

用列举法表示出来．

古典概型概率的计算方法

P(A)＝既是等可能性事件的概率的定义，又是计算这种概率的基本方法．

求P(A)时，首先要判断题中试验是否是古典概型，若是，则按以下步骤计算：

(1)算出基本事件总个数n；

(2)算出事件A包含的基本事件的个数m；

(3)算出事件A的概率，即P(A)＝.

可见在运用公式计算时，关键在于求出m，n.在求n时，应注意这n种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错．

[练习2]将骰子抛掷两次，计算：

(1)一共有多少种不同的结果；

(2)其中向上的数之和是5的结果有多少种；

(3)向上的数之和是5的概率是多少．

解：(1)将骰子抛掷一次，落地时向上的数有1,2,3,4,5,6这六种结果，所以抛掷两次共有6×6＝36(种)结果．

(2)在上面结果中，向上的数之和为5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)四种．

(3)由于所有36种结果是等可能的，出现向上的数之和是5的结果有4种，因此所求概率P＝＝.

研习3　利用树状图解古典概型问题

[典例3]　袋中有红、黄、白色球各1个，每次任取一个，有放回地抽取三次，求基本事件的个数．并计算下列事件的概率：

(1)三次颜色各不相同；

(2)三次颜色不全相同；

(3)三次取出的球无红色或无黄色．

解：画出树状图如图所示：

由树状图得基本事件总个数为27.

(1)记事件A＝“三次颜色各不相同”，n＝27，m＝6，则P(A)＝＝.

(2)记事件B＝“三次颜色不全相同”，n＝27，m＝24，则P(B)＝＝.

(3)记事件C＝“三次取出的球无红色或无黄色”，n＝27，m＝15，则P(C)＝＝.

用树状图解决古典概型概率的条件

当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的基本事件，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．

[练习3]有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时：

(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；

(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；

(3)求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率．

解：将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示．

如上图所示，本题中的等可能基本事件共有24个．

(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，事件A只包含1个基本事件，所以P(A)＝.

(2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”，则事件B包含9个基本事件，所以P(B)＝＝.

(3)设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己的席位上”，则事件C包含8个基本事件，所以P(C)＝＝.

课后篇·演练提升方案

1．下列关于古典概型的说法中正确的是(　　)

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝.

A．②④      B．①③④      C．①④      D．③④

答案：B　

解析：根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确．

2．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件数是(　　)

A．3  B．4  C．5  D．6

答案：D　

解析：事件A包含的基本事件有6个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)．

3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为(　　)

A.  B.  C.  D．1

答案：C　

解析：从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝.

4．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4的四个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为5的概率是________．

答案：　

解析：任取两球，共有6种等可能的结果：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，而数字之和为5的共有2种：(1,4)，(2,3)，所以数字之和为5的概率P＝＝.

5．现从A，B，C，D，E五人中任选三人参加一个重要会议，五人被选中的机会相等．求：

(1)A被选中的概率；

(2)A和B同时被选中的概率；

(3)A或B被选中的概率．

解：从A，B，C，D，E五人中任选三人参加会议共有以下10种结果：(A，B，C)，(A，B，D)，(A，B，E)，(A，C，D)，(A，C，E)，(A，D，E)，(B，C，D)，(B，C，E)，(B，D，E)，(C，D，E)，且每种结果出现是等可能的．

(1)事件“A被选中”共有6种结果，故所求事件的概率为P1＝＝0.6.

(2)A，B同时被选中共有3种结果，故所求事件的概率为P2＝＝0.3.

(3)“A或B被选中”即A，B两人至少有一个被选中，共有9种结果．

故所求事件的概率为P3＝＝0.9.

[易错误区]　古典概型的应用

[典例]　(2020·南京高一检测)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．

(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；

(2)若从报名的6名教师中任取2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．

[解]　甲校2名男教师分别用A，B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，2名女教师分别用E，F表示．

(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：

(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种，

从中选出2名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，

所以选出的2名教师性别相同的概率为.

(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：

(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，

E)，(D，F)，(E，F)，共15种．

从中选出2名教师来自同一学校的结果有：

(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种，

所以选出的2名教师来自同一学校的概率为＝.

[防范措施]

1．加强分类讨论的意识

在写基本事件的所有结果时，如果涉及因素较多且有不同特征时，要注意分类讨论思想在解题中的应用，以免基本事件发生重复或遗漏．

2．常用技巧的应用

(1)求解一些较为简单、基本事件个数不是太多的概率问题，一般需要用枚举法计算概率．

(2)对于稍微复杂的问题，可采用树状图法，一次写出所有基本事件．

3．注意答题的规范性

在求解概率问题的解答题时，必须写出必要的文字说明，否则会扣掉不必要的分数．