必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系获奖课件ppt

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1.掌握空间中直线与直线的位置关系.2.理解异面直线的概念.3.理解直线与平面位置关系的定义.4.理解平面与平面位置关系的定义.核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理
知识点一　异面直线的定义
1.定义：不同在 平面内的两条直线.2.异面直线的画法(衬托平面法)如图(1)(2)(3)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.3.判断两直线为异面直线的方法①定义法；②两直线既不平行也不相交.
知识点二　空间两条直线的位置关系
空间两条直线的三种位置关系1.从是否有公共点的角度来分：

有且仅有一个公共点——
2.从是否共面的角度来分：
不同在任何一个平面内——
1.平行公理的内容文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
知识点四　空间中的等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 .
思考　当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，试问这两个角在什么情况下相等，在什么情况下互补？
答案　当两个角的两边分别平行且方向相同或相反时，这两个角相等；当两个角的一组边的方向相同，而另一组边的方向相反时，这两个角互补.
知识点五　异面直线所成的角
已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)，如图所示.(1)a′与b′所成的角的大小只由a，b的相互位置来确定，与O的选择 ，为了简便，点O一般取在两直线中的一条直线上；(2)两条异面直线所成的角的范围是0°<θ≤90°；(3)当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 .
1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线.(　　)2.两直线若不是异面直线，则必相交或平行.(　　)3.两条直线无公共点，则这两条直线平行.(　　)4.和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.(　　)
一、两直线位置关系的判定
例1　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是______；
解析　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是_______；
解析　直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是______；
解析　直线D1D与直线D1C相交于点D1.
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是______.
解析　直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.
(1)判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断.(2)判定两条直线是异面直线的方法①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内.②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图).
(1)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是A.平行 B.异面C.相交 D.平行、相交或异面
D解析　可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面.
(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为A.1 B.2 C.3 D.4
C解析　还原的正方体如图所示.是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.
二　平行公理和等角定理的应用
例2　如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.
证明　因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.所以四边形EBB′E′是平行四边形，所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.所以EE′∥FF′.
(1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一个平面内没有公共点；②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.(2)“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能.
(1)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1中点.求证：∠BGC＝∠FD1E.
证明　因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，所以CE∥GD1，CE＝GD1，BF∥GD1，BF＝GD1，所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形.所以GC∥D1E，GB∥D1F.因为∠BGC与∠FD1E的两边方向相同，所以∠BGC＝∠FD1E.
(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别为AA1，CC1的中点，求证：BFD1E是平行四边形.
证明　如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE.因为F为CC1的中点，所以BG∥FC1，且BG＝FC1.所以四边形BFC1G是平行四边形.所以BF∥GC1，BF＝GC1，又因为EG∥A1B1，EG＝A1B1，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，所以EG∥C1D1，EG＝C1D1.所以四边形EGC1D1是平行四边形.所以ED1∥GC1，ED1＝GC1，所以BF∥ED1，BF＝ED1，所以四边形BFD1E是平行四边形.
三、求异面直线所成的角
例3　如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；
解　∵CG∥FB，∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.在Rt△EFB中，EF＝FB，∴∠EBF＝45°，∴BE与CG所成的角为45°.
(2)FO与BD所成的角.
解　连接FH，∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，∴FB＝HD，FB∥HD，∴四边形FBDH是平行四边形，∴BD∥FH，∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，则△AFH是等边三角形，又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，∴FO与BD所成的角为30°.
(1)求两异面直线所成的角的三个步骤①作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；②证：证明作出的角就是要求的角；③计算：求角的值，常利用解三角形得出.可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角范围是0°<θ≤90°.(2)求异面直线所成的角，关键是找出异面直线所成的角，这就需要借助于几何图形，探索和论述某角是异面直线所成的角，进而求解，所以本例充分体现了逻辑推理与数学运算的数学核心素养.
1.不平行的两条直线的位置关系是A.相交 B.异面 C.平行 D.相交或异面
2.如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有A.3条 B.4条 C.5条 D.6条
B解析　EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.
3.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是A.共面 B.平行C.异面 D.平行或异面
D解析　若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.
4.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是A.平行或异面 B.相交或异面C.异面 D.相交
B解析　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.
5.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是______.
解析　如图所示.∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点，
即MN∥PQ且MN＝PQ，∴四边形MNPQ是平行四边形.又∵BD∥MQ，AC⊥BD，∴MN⊥MQ，∴平行四边形MNPQ是矩形.
6.在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.
解　如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成角，∠EGF或其补角为AB与CD所成角.∵AB与CD所成角为30°，∴∠EGF＝30°或150°，由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
1.知识清单：(1)直线与直线的位置关系.(2)直线与平面的位置关系(3)平面与平面的位置关系.(4)两条异面直线所成的角.2.方法归纳：模型法.3.常见误区：忽视两条异面直线所成的角的范围.