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2023届新高考数学解析几何专题讲义 第9讲 圆锥曲线的光学性质及其应用
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这是一份2023届新高考数学解析几何专题讲义 第9讲 圆锥曲线的光学性质及其应用
第9讲 圆锥曲线的光学性质及其应用 一、问题综述 解析几何是用解析方法(代数方法)来处理几何问题，这并不意味着解析几何决不利用几何知识．相反地，解析几何是将数与形有机地结合起来，所以总是或多或少地利用了一些几何知识．在适当的地方应用几何知识，往往使演算大为简化，这也是解析几何的一个重要技巧．利用圆锥曲线的光学性质解题就是这类问题． 二、知识储备 1.1椭圆的光学性质： 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； (见图1.1) 椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于处，对处的物体加热.电影放映机的反光镜也是这个原理. 证明：由导数可得切线的斜率，而的斜率，的斜率 ∴到所成的角满足， 在椭圆上，∴，同理，到所成的角满足， ∴，而，∴ 1.2双曲线的光学性质： 从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2) 双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用． 1.3 抛物线的光学性质： 从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴(如图1.3) 抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的． 图1.3 F2 F1 图1.2 A F1 F2 D O 图1.1 B 要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证. 三、性质转化及证明 2.1圆锥曲线的切线与法线的定义 设直线与曲线交于，两点，当直线连续变动时，，两点沿着曲线渐渐靠近，一直到，重合为一点，此时直线称为曲线在点处的切线，过与直线垂直的直线称为曲线在点处的法线. 此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化： 2.2 圆锥曲线光学性质的证明 预备定理 1.若点是椭圆上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：. 证明：由……①， 1°当时，过点的切线斜率一定存在，且，∴对①式求导：， ∴，∴切线方程为……②， ∵点在椭圆上，故 ，代入②得……③， 而当时，切线方程为，也满足③式，故是椭圆过点的切线方程. 预备定理2. 若点是双曲线上任一点，则双曲线过该点的切线方程为： 证明：由……①， 1°当时，过点的切线斜率一定存在，且， ∴对①式求导：，∴，∴切线方程为……②， ∵点在双曲线上，故 代入②得……③， 而当时， 切线方程为，也满足③式，故是双曲线过点的切线方程. 预备定理 3.若点是抛物线上任一点，则抛物线过该点的切线方程是 证明：由，对求导得：， 当时，切线方程为，即， 而………①，而当时，切线方程为也满足①式， 故抛物线在该点的切线方程是. 定理1.椭圆上一个点的两条焦半径的夹角被椭圆在点处的法线平分（图2.1） 已知：如图，椭圆的方程为，分别是其左、右焦点，是过椭圆上一点的切线，为垂直于且过点的椭圆的法线，交轴于，设， 求证：. 证法一：在上，， 则过点的切线方程为：，是通过点 且与切线垂直的法线， 图2.1 则， ∴法线与轴交于， ∴，∴，又由焦半径公式得：，∴，∴是的平分线， ∴，∵，故可得 证法二：由证法一得切线的斜率，而的斜率，的斜率，∴到所成的角满足： ∵在椭圆上，∴， 同理，到所成的角满足，∴ 而，∴ 证法三：如图，作点，使点与关于切线对称，连结，交椭圆于点 下面只需证明点与重合即可. 一方面，点是切线与椭圆的唯一交点，则，是上的点到两焦点距离之和的最小值（这是因为上的其它点均在椭圆外）. 另一方面，在直线上任取另一点，∵ 即也是直线上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而与重合，即而得证． 定理2.双曲线上一个点P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的切线平分（图2.2）； 已知：如图，双曲线的方程为，，分别是其左、右焦点，是过双曲线上的一点的切线，交轴于点，设，求证：． 图2.2 证明：，两焦点为， ，在双曲线上，则过点的切线，切线与轴交于. 由双曲线的焦半径公式得： ，双曲线的两焦点坐标为，，故 故 ，∴切线为之角分线. 定理3.抛物线上一个点P的焦半径与过点P且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P处法线平分（图2.3）. 图2.3 已知：如图，抛物线的方程为为，直线是过抛物线上一点的切线，交轴于，，反射线与所成角记为，求证： 证明： 如图 ，抛物线的方程为，点在该抛物线上，则过点的切线为，切线与轴交于，焦点为，(同位角)， ∵，∴， ∴ 通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的.那么它在解题和生产生活中有何应用呢？ 二、典例分析 类型1：解决入射与反射问题 【例1】设抛物线，一光线从点射出，平行的对称轴，射在上的点，经过反射后，又射到上的点，则点的坐标为 ，点的坐标为 . 解：如图，直线平行于对称轴且，则点的坐标为， 图3.1 因此反射线过点，设，则， 解得：图3.1.1 ，∴. 类型2：解决一类“距离之和”的最值问题 【例2】已知椭圆，为分别是其左右焦点，点，是上的动点，求的取值范围. 解法1：, 即问题转化为求的最大值与最小值, 因为两边之差小于第三边,因此当三点一线时, 取得的最大值与最小值,即在处取得最小值, 处取得最大值, 图3.2 所以最小值为,最大值为. 解法2：根据光线的“最近传播法则”，结合椭圆的光学性质，可得：从F1射出被椭圆反射后经过点Q的光线所经过的路程往往是最短的。这种情况又分为两类，一是被上半椭圆反射（如图3.2，光线从F1P1Q），二是被下半椭圆反射（如图3.2，光线从F1P2F2Q） 综上所述，只需求出, 可得最小值为,最大值为. 类型3：解决与“切线”相关的问题 【例3】已知是过椭圆上一动点的椭圆的动切线，过的左焦点作的垂线，求垂足的轨迹方程. 分析：如图3.3，本题如果忽视了椭圆的光学性质将很难着手，借助椭圆参数方程可以求解，但运算相当繁琐.由于是椭圆的切线，切点为，联想到椭圆光学性质及反射定律. 图3.3 根据椭圆的光学性质是的外角平分线， 关于直线的对称点在的延长线上。这样，由于， 故，而点、点分别是、的中点， 所以.从而点轨迹是以为圆心、以4为半径的圆。 即点的轨迹方程.为. 类型4：解决高考与竞赛中的问题 【例4】(2005江西.理22)如图，设抛物线的焦点为，动点在直线上运动，过作抛物线的两条切线、，且与抛物线分别相切于、两点. (1)求的重心的轨迹方程； (2)证明. 解：(1)设切点A、B坐标分别为， 切线AP的方程为： 切线BP的方程为： 解得P点的坐标为： 所以△APB的重心G的坐标为， 图3.4.1 所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： (2)解法1：因为 由于P点在抛物线外，则 所以 同理有 所以. 解法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为： 即 所以P点到直线BF的距离为： 所以d1=d2，即得. ②当时，直线AF的方程： 直线BF的方程： 所以P点到直线AF的距离为： ，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到. 解法3：如图3.4.2，做出抛物线的准线，过做于， 过作于，连，，在线段的延长 线上分别取， 因为直线轴，直线轴， 由抛物线的光学性质知：， . 又由抛物线的定义知：， 所以， 图3.4.2 又， 所以， 所以， 所以，即， 又， 所以， 又，， 所以. 【例5】(2017年数学联赛湖北预赛12) 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，抛物线在A,B两点处的切线交于点E，求证：. 解法1：设的方程为，代入，得. 设，，则 ①， ②. 设切线 ③，切线 ④. 由③、④得，所以， ，得，即，所以， 当时，显然有； 当时，，所以. 解法2：如图3.5，设过点的切线与准线交于，过点的切线与准线交于，过作准线的垂线，垂足为. 由抛物线的光学性质，可得， 由抛物线的定义，有，而， 所以，从而，即. 同理. 那么，当三点共线时，必然有，重合，即重合成， 从而. 图3.5 【方法小结】 解析几何的主流思想是以数解形，即从代数角度解决几何同题.而圆锥曲线光学性质从几何角度看问题，即以形解数，则是剑走偏锋，别具一格的.正所谓“横看成岭侧成峰”，换个角度看问题，效果也许就是截然不同的，再结合进一步的思考，也许就会收获“柳暗花明又一村”的喜悦与畅决． 三、巩固练习 1.已知椭圆方程为 1，若有光束自焦点A(3，0)射出，经二次反射回到A点，设二次反射点为B，C，如图4.1所示，则△ABC的周长为 . 图4.1 2.双曲线，又，已知A(4，2)，F(4，0)，若由F射至A的光线被双曲线反射，反射光通过P(8，k)，则k . 图4.2 3.已知双曲线C：， F1、、F2为分别是其左右焦点，点，M是C上的动点，求|MF2|+|MQ|的取值范围. 图4.3 4.已知动圆(圆心为点)过定点，且与直线相切，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)设过点的直线与曲线相切，且与直线相交于点.试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 5. (2013山东.理22)椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1. (1)求椭圆的方程； (2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，设的角平分线交 的长轴于点，求的取值范围； (3)在(2)的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点.设直线的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值. 6.( 2016年数学联赛湖北预赛.13)过抛物线外一点P向抛物线作两条切线，切点为M、N，F为抛物线的焦点. 证明：(1)； (2). 四、巩固练习参考答案 1. 在椭圆方程为 1中，， 因为A(3，0)为该椭圆的一个焦点 所以自A(3，0)射出的光线AB反射后，反射光线AC定过另一个焦点 (-3，0)， 故△ABC的周长为. 2. 因为入射线FA反射后得到的光线AP的反向延长线定过双曲线的另一个焦点, 所以. 3. 由双曲线属性知, |MF2|+|MQ|不存在最大值，存在最小值， 因为，所以 ===，即|MF2|+|MQ|的取值范围是. 4.(1)因为动圆过定点，且与直线相切，所以圆心到点的距离与圆心到直线的距离相等. 根据抛物线定义，知动点的轨迹为抛物线，且方程为. (2)解法1：如图4.4.1，设直线的方程为(易知斜率不存在的直线不符合要求)， 由，消去得， 图4.4.1 因为相切所以，且，化简得. 设直线与曲线相切的切点，则， 所以，由，得. 假设坐标平面内符合条件的点存在，由图形的对称性，知点必在轴上. 若取，此时，以为直径的圆为，交轴于点； 若取，此时， 以为直径的圆为，交轴于点. 所以若符合条件的点存在，则点的坐标必为，即为点. 以下证明就是满足条件的点. 因为的坐标为，所以，， 从而，故恒有， 即在坐标平面内存在定点，使得以为直径的圆恒过点. 解法2：本题也可使用抛物线的光学性质来求解第二问. 如图4.4.2，连接，由抛物线的光学性质可得其反射光线平行于轴，将反向延长交于点，易知垂直于直线，根据抛物线定义， 由反射定理得，又因为，在和中， 图4.4.2 因为，所以和全等，所以， 即点在以为直径的圆上，点就是要找的定点. 5. (1)由于，将代入椭圆方程，得， 由题意知，即.又，所以.椭圆的方程为 (2) 解法1：设.又 ， 所以直线的方程分别为: 图4.5 由题意知 ， 由于点在椭圆上，所以所以 因为， 可得.所以.因此. 解法2：设，当时， ①当时，直线的斜率不存在，易知或. 若，则直线的方程为.由题意得， 因为，所以.若,同理可得. ②当时，设直线的方程分别为 ， 由题意知 ，所以 ， 因为 并且 ， 所以 ， 即 . 因为 所以 . 整理得，故 . 综合①②可得.当时，同理可得. 综上所述，的取值范围是 . 解法3：设，过点的椭圆切线为直线，则过的切线方程为，即， 根据椭圆的光学性质可得的角平分线即为直线的法线，所以， 所以直线方程为，即，所以代入， 得，又，所以. (3)解法1：设，则直线的方程为，联立 整理得 由题意 ，即 又 所以 故， 由(2)知 ， 所以 ， 因此为定值，这个定值为. 解法2：因为，，代入中得 为定值. 6. 解法1：设,,,易求得切线的方程为，切线的方程为. 因为点在两条切线上，所以有，，故点均在直线上，所以直线的方程为. 联立，得，即. 由韦达定理可知：，. (1)因为，由抛物线第二定义可得，，所以 ， 因此. (2)因为，，，所以 ， 又，，所以， 同理可得， 所以，所以， 结合可得，所以. 解法2：当与抛物线在其准线异侧时，如图4.6所示，过做准线的垂线，垂足分别为，，与分别交准线于，，连接，. 由抛物线的光学性质，可知是的角平分线，由抛物线的定义有，所以有 ，于是且， 同理有，于是且， 所以有，即得， 而，， 所以①； 在中， . 由，得；由， 得. 所以，且有， 于是， 图4.6 而，故，又有. 所以② 由①、②可得，于是，即.
第9讲 圆锥曲线的光学性质及其应用 一、问题综述 解析几何是用解析方法(代数方法)来处理几何问题，这并不意味着解析几何决不利用几何知识．相反地，解析几何是将数与形有机地结合起来，所以总是或多或少地利用了一些几何知识．在适当的地方应用几何知识，往往使演算大为简化，这也是解析几何的一个重要技巧．利用圆锥曲线的光学性质解题就是这类问题． 二、知识储备 1.1椭圆的光学性质： 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； (见图1.1) 椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于处，对处的物体加热.电影放映机的反光镜也是这个原理. 证明：由导数可得切线的斜率，而的斜率，的斜率 ∴到所成的角满足， 在椭圆上，∴，同理，到所成的角满足， ∴，而，∴ 1.2双曲线的光学性质： 从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2) 双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用． 1.3 抛物线的光学性质： 从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴(如图1.3) 抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的． 图1.3 F2 F1 图1.2 A F1 F2 D O 图1.1 B 要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证. 三、性质转化及证明 2.1圆锥曲线的切线与法线的定义 设直线与曲线交于，两点，当直线连续变动时，，两点沿着曲线渐渐靠近，一直到，重合为一点，此时直线称为曲线在点处的切线，过与直线垂直的直线称为曲线在点处的法线. 此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化： 2.2 圆锥曲线光学性质的证明 预备定理 1.若点是椭圆上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：. 证明：由……①， 1°当时，过点的切线斜率一定存在，且，∴对①式求导：， ∴，∴切线方程为……②， ∵点在椭圆上，故 ，代入②得……③， 而当时，切线方程为，也满足③式，故是椭圆过点的切线方程. 预备定理2. 若点是双曲线上任一点，则双曲线过该点的切线方程为： 证明：由……①， 1°当时，过点的切线斜率一定存在，且， ∴对①式求导：，∴，∴切线方程为……②， ∵点在双曲线上，故 代入②得……③， 而当时， 切线方程为，也满足③式，故是双曲线过点的切线方程. 预备定理 3.若点是抛物线上任一点，则抛物线过该点的切线方程是 证明：由，对求导得：， 当时，切线方程为，即， 而………①，而当时，切线方程为也满足①式， 故抛物线在该点的切线方程是. 定理1.椭圆上一个点的两条焦半径的夹角被椭圆在点处的法线平分（图2.1） 已知：如图，椭圆的方程为，分别是其左、右焦点，是过椭圆上一点的切线，为垂直于且过点的椭圆的法线，交轴于，设， 求证：. 证法一：在上，， 则过点的切线方程为：，是通过点 且与切线垂直的法线， 图2.1 则， ∴法线与轴交于， ∴，∴，又由焦半径公式得：，∴，∴是的平分线， ∴，∵，故可得 证法二：由证法一得切线的斜率，而的斜率，的斜率，∴到所成的角满足： ∵在椭圆上，∴， 同理，到所成的角满足，∴ 而，∴ 证法三：如图，作点，使点与关于切线对称，连结，交椭圆于点 下面只需证明点与重合即可. 一方面，点是切线与椭圆的唯一交点，则，是上的点到两焦点距离之和的最小值（这是因为上的其它点均在椭圆外）. 另一方面，在直线上任取另一点，∵ 即也是直线上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而与重合，即而得证． 定理2.双曲线上一个点P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的切线平分（图2.2）； 已知：如图，双曲线的方程为，，分别是其左、右焦点，是过双曲线上的一点的切线，交轴于点，设，求证：． 图2.2 证明：，两焦点为， ，在双曲线上，则过点的切线，切线与轴交于. 由双曲线的焦半径公式得： ，双曲线的两焦点坐标为，，故 故 ，∴切线为之角分线. 定理3.抛物线上一个点P的焦半径与过点P且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P处法线平分（图2.3）. 图2.3 已知：如图，抛物线的方程为为，直线是过抛物线上一点的切线，交轴于，，反射线与所成角记为，求证： 证明： 如图 ，抛物线的方程为，点在该抛物线上，则过点的切线为，切线与轴交于，焦点为，(同位角)， ∵，∴， ∴ 通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的.那么它在解题和生产生活中有何应用呢？ 二、典例分析 类型1：解决入射与反射问题 【例1】设抛物线，一光线从点射出，平行的对称轴，射在上的点，经过反射后，又射到上的点，则点的坐标为 ，点的坐标为 . 解：如图，直线平行于对称轴且，则点的坐标为， 图3.1 因此反射线过点，设，则， 解得：图3.1.1 ，∴. 类型2：解决一类“距离之和”的最值问题 【例2】已知椭圆，为分别是其左右焦点，点，是上的动点，求的取值范围. 解法1：, 即问题转化为求的最大值与最小值, 因为两边之差小于第三边,因此当三点一线时, 取得的最大值与最小值,即在处取得最小值, 处取得最大值, 图3.2 所以最小值为,最大值为. 解法2：根据光线的“最近传播法则”，结合椭圆的光学性质，可得：从F1射出被椭圆反射后经过点Q的光线所经过的路程往往是最短的。这种情况又分为两类，一是被上半椭圆反射（如图3.2，光线从F1P1Q），二是被下半椭圆反射（如图3.2，光线从F1P2F2Q） 综上所述，只需求出, 可得最小值为,最大值为. 类型3：解决与“切线”相关的问题 【例3】已知是过椭圆上一动点的椭圆的动切线，过的左焦点作的垂线，求垂足的轨迹方程. 分析：如图3.3，本题如果忽视了椭圆的光学性质将很难着手，借助椭圆参数方程可以求解，但运算相当繁琐.由于是椭圆的切线，切点为，联想到椭圆光学性质及反射定律. 图3.3 根据椭圆的光学性质是的外角平分线， 关于直线的对称点在的延长线上。这样，由于， 故，而点、点分别是、的中点， 所以.从而点轨迹是以为圆心、以4为半径的圆。 即点的轨迹方程.为. 类型4：解决高考与竞赛中的问题 【例4】(2005江西.理22)如图，设抛物线的焦点为，动点在直线上运动，过作抛物线的两条切线、，且与抛物线分别相切于、两点. (1)求的重心的轨迹方程； (2)证明. 解：(1)设切点A、B坐标分别为， 切线AP的方程为： 切线BP的方程为： 解得P点的坐标为： 所以△APB的重心G的坐标为， 图3.4.1 所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： (2)解法1：因为 由于P点在抛物线外，则 所以 同理有 所以. 解法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为： 即 所以P点到直线BF的距离为： 所以d1=d2，即得. ②当时，直线AF的方程： 直线BF的方程： 所以P点到直线AF的距离为： ，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到. 解法3：如图3.4.2，做出抛物线的准线，过做于， 过作于，连，，在线段的延长 线上分别取， 因为直线轴，直线轴， 由抛物线的光学性质知：， . 又由抛物线的定义知：， 所以， 图3.4.2 又， 所以， 所以， 所以，即， 又， 所以， 又，， 所以. 【例5】(2017年数学联赛湖北预赛12) 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，抛物线在A,B两点处的切线交于点E，求证：. 解法1：设的方程为，代入，得. 设，，则 ①， ②. 设切线 ③，切线 ④. 由③、④得，所以， ，得，即，所以， 当时，显然有； 当时，，所以. 解法2：如图3.5，设过点的切线与准线交于，过点的切线与准线交于，过作准线的垂线，垂足为. 由抛物线的光学性质，可得， 由抛物线的定义，有，而， 所以，从而，即. 同理. 那么，当三点共线时，必然有，重合，即重合成， 从而. 图3.5 【方法小结】 解析几何的主流思想是以数解形，即从代数角度解决几何同题.而圆锥曲线光学性质从几何角度看问题，即以形解数，则是剑走偏锋，别具一格的.正所谓“横看成岭侧成峰”，换个角度看问题，效果也许就是截然不同的，再结合进一步的思考，也许就会收获“柳暗花明又一村”的喜悦与畅决． 三、巩固练习 1.已知椭圆方程为 1，若有光束自焦点A(3，0)射出，经二次反射回到A点，设二次反射点为B，C，如图4.1所示，则△ABC的周长为 . 图4.1 2.双曲线，又，已知A(4，2)，F(4，0)，若由F射至A的光线被双曲线反射，反射光通过P(8，k)，则k . 图4.2 3.已知双曲线C：， F1、、F2为分别是其左右焦点，点，M是C上的动点，求|MF2|+|MQ|的取值范围. 图4.3 4.已知动圆(圆心为点)过定点，且与直线相切，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)设过点的直线与曲线相切，且与直线相交于点.试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 5. (2013山东.理22)椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1. (1)求椭圆的方程； (2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，设的角平分线交 的长轴于点，求的取值范围； (3)在(2)的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点.设直线的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值. 6.( 2016年数学联赛湖北预赛.13)过抛物线外一点P向抛物线作两条切线，切点为M、N，F为抛物线的焦点. 证明：(1)； (2). 四、巩固练习参考答案 1. 在椭圆方程为 1中，， 因为A(3，0)为该椭圆的一个焦点 所以自A(3，0)射出的光线AB反射后，反射光线AC定过另一个焦点 (-3，0)， 故△ABC的周长为. 2. 因为入射线FA反射后得到的光线AP的反向延长线定过双曲线的另一个焦点, 所以. 3. 由双曲线属性知, |MF2|+|MQ|不存在最大值，存在最小值， 因为，所以 ===，即|MF2|+|MQ|的取值范围是. 4.(1)因为动圆过定点，且与直线相切，所以圆心到点的距离与圆心到直线的距离相等. 根据抛物线定义，知动点的轨迹为抛物线，且方程为. (2)解法1：如图4.4.1，设直线的方程为(易知斜率不存在的直线不符合要求)， 由，消去得， 图4.4.1 因为相切所以，且，化简得. 设直线与曲线相切的切点，则， 所以，由，得. 假设坐标平面内符合条件的点存在，由图形的对称性，知点必在轴上. 若取，此时，以为直径的圆为，交轴于点； 若取，此时， 以为直径的圆为，交轴于点. 所以若符合条件的点存在，则点的坐标必为，即为点. 以下证明就是满足条件的点. 因为的坐标为，所以，， 从而，故恒有， 即在坐标平面内存在定点，使得以为直径的圆恒过点. 解法2：本题也可使用抛物线的光学性质来求解第二问. 如图4.4.2，连接，由抛物线的光学性质可得其反射光线平行于轴，将反向延长交于点，易知垂直于直线，根据抛物线定义， 由反射定理得，又因为，在和中， 图4.4.2 因为，所以和全等，所以， 即点在以为直径的圆上，点就是要找的定点. 5. (1)由于，将代入椭圆方程，得， 由题意知，即.又，所以.椭圆的方程为 (2) 解法1：设.又 ， 所以直线的方程分别为: 图4.5 由题意知 ， 由于点在椭圆上，所以所以 因为， 可得.所以.因此. 解法2：设，当时， ①当时，直线的斜率不存在，易知或. 若，则直线的方程为.由题意得， 因为，所以.若,同理可得. ②当时，设直线的方程分别为 ， 由题意知 ，所以 ， 因为 并且 ， 所以 ， 即 . 因为 所以 . 整理得，故 . 综合①②可得.当时，同理可得. 综上所述，的取值范围是 . 解法3：设，过点的椭圆切线为直线，则过的切线方程为，即， 根据椭圆的光学性质可得的角平分线即为直线的法线，所以， 所以直线方程为，即，所以代入， 得，又，所以. (3)解法1：设，则直线的方程为，联立 整理得 由题意 ，即 又 所以 故， 由(2)知 ， 所以 ， 因此为定值，这个定值为. 解法2：因为，，代入中得 为定值. 6. 解法1：设,,,易求得切线的方程为，切线的方程为. 因为点在两条切线上，所以有，，故点均在直线上，所以直线的方程为. 联立，得，即. 由韦达定理可知：，. (1)因为，由抛物线第二定义可得，，所以 ， 因此. (2)因为，，，所以 ， 又，，所以， 同理可得， 所以，所以， 结合可得，所以. 解法2：当与抛物线在其准线异侧时，如图4.6所示，过做准线的垂线，垂足分别为，，与分别交准线于，，连接，. 由抛物线的光学性质，可知是的角平分线，由抛物线的定义有，所以有 ，于是且， 同理有，于是且， 所以有，即得， 而，， 所以①； 在中， . 由，得；由， 得. 所以，且有， 于是， 图4.6 而，故，又有. 所以② 由①、②可得，于是，即.
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