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2023届新高考数学解析几何专题讲义 第11讲 椭圆中的垂直问题、垂直弦问题
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这是一份2023届新高考数学解析几何专题讲义 第11讲 椭圆中的垂直问题、垂直弦问题
第11讲 椭圆中的垂直问题 一、问题综述 1.椭圆中的垂直问题主要有以下几类： （1）是椭圆上的两个动点，且满足，即椭圆的正交中心角问题，此时有,中心到直线的距离为定值, 且； （2）椭圆的正交焦点弦问题，即经过椭圆的焦点有两条直线互相垂直，分别交椭圆于和，则； （3）经过非焦点的两条弦互相垂直问题. 2.椭圆中的垂直问题的主要策略： （1）利用斜率之积等于,但要注意斜率是否存在； （2）利用向量数量积等于0. 3.几类与垂直相关或可利用与垂直类似的方法的问题： （1）形如“以为直径的圆过原点” ，则； （2）形如“椭圆上存在两点关于直线对称”，则直线与直线垂直； （3）形如“直线与椭圆交于两点，为锐角”，则. 4.在处理椭圆垂直弦问题时，强化对称意识，可减少运算. 二、典例分析 类型1：椭圆中的正交中心角问题 例1. 在中心为的椭圆上任取两点，使， 求证：（1）; （2）中心到直线的距离是否为定值？ 证明：设直线的斜率为 ①当存在时，且.设， 则的方程分别为：，， 由方程组得， 同理＝， 所以. ②当不存在时，，满足. ③当时，，满足. 所以成立. （2）因为, 显然是一个定值. 例2. (2019年山东理T22)设椭圆过两点，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在说明理由. 解析:（1）因为椭圆过两点, 所以解得所以椭圆的方程为. （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且,设该圆的切线方程为,解方程组 得,即, 则,即 要使,需使,即,所以, 所以又, 所以,所以,即或, 因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为, 此时圆的切线都满足或 而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足. 综上,存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且. 因为, 所以, , ①当时 因为所以,所以, 所以当且仅当时取”=”. 当时,. 当的斜率不存在时, 两个交点为或, 所以此时, 综上, 的取值范围为即: . 类型2：椭圆中的正交焦点弦问题 例3.过椭圆的一个焦点作两条互相垂直的弦分别交椭圆于 和，求证：. 证明：设，方程为，则方程为 由方程组得， 所以 所以 所以，同理， 所以. 例4. (2007年全国Ⅰ理T21)已知椭圆的左、右焦点分别为,.过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为. （1）设点的坐标为，证明：； （2）求四边形的面积的最小值. 解析：（1）椭圆的半焦距， 由知点在以线段为直径的圆上，故， 所以，． （2）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得． 设，，则， ； 因为与相交于点，且的斜率为， 所以，． 四边形的面积 ． 当时，上式取等号． （ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积． 综上，四边形的面积的最小值为. 类型3：椭圆中的垂直弦问题 例5.(2014年浙江理T21)如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限. （1）已知直线的斜率为，用表示点的坐标； （2）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为. 解析：（1）设直线的方程为，由， 消去得，， 由于直线与椭圆只有一个公共点，故， 即， 解得点的坐标为， 由点在第一象限，故点的坐标为. （2）由于直线过原点，且与垂直，故直线的方程为， 所以点到直线的距离， 整理得，因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以点到直线的距离的最大值为. 例6.(2013年浙江理T21)如图，点是椭圆：的一个顶点，的长轴是圆：的直径，，是过点P且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点，交椭圆于另一点. （1）求椭圆的方程； （2）求面积取最大值时直线的方程. 解析：（1）由题意得，，，所以椭圆C的方程为. （2）设，，,由题意知直线的斜率存在， 不妨设其为，则直线的方程为. 又圆：，故点到直线的距离， 所以，又，故直线的方程为， 由，消去，整理得， 故，所以， 设面积为，则， 所以， 当且仅当时取等号。 所以所求直线的方程为. 类型4：椭圆中的对称问题 例7.(2015年浙江理T19)已知椭圆上两个不同的点关于直线对称. （1）求实数的取值范围； （2）求面积的最大值（为坐标原点）. 解析：（1）由题意知，可设直线的方程为， 由，消去，得， ∵直线与椭圆由两个不同的交点， ∴，①， 将中点代入直线方程，解得，②， 由①②得或. （2）令，则， 且到直线的距离为，设的面积为， ∴，当且仅当时，等号成立， 故面积的最大值为. 类型5：可转化为垂直的问题 例8.(2007年山东理)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以 为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 解析：（1）由题意设椭圆的标准方程为， 由已知得：， 椭圆的标准方程为． （2）设． 联立得 ，则 又． 因为以为直径的圆过椭圆的右顶点， ，即． ． ． ． 解得：，且均满足． 当时，的方程，直线过点，与已知矛盾； 当时，的方程为，直线过定点． 所以，直线过定点，定点坐标为． 类型6：锐角（或钝角）问题 例9.(2007年四川理) 设、分别是椭圆的左、右焦点. （2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围. 解析:（2）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，． 联立 ∴， 由 得．① 又为锐角， ∴ 又 ∴ ∴．② 综①②可知，∴的取值范围是. 三、巩固练习 1．（08广州一模）已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4． （1）求曲线的方程； （2）设过的直线与曲线交于、两点，且（为坐标原点），求直线的方程. 解析：（1）根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆， 其中，，则． 所以动点M的轨迹方程为． （2）当直线的斜率不存在时，不满足题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，， ∵，∴． ∵，，∴． ∴ ．………… ① 由方程组得． 则，， 代入①，得． 即，解得 或． 所以，直线的方程是或． 2．(08辽宁)在平面直角坐标系中,点到两点的距离之和等于4.设点的轨迹为. （1）写出的方程； （2）设直线y=kx+1与交于两点.为何值时？此时的值是多少？ 解析：（1）设，由椭圆定义可知，点的轨迹C是以为焦点， 长半轴为2的椭圆．它的短半轴， 故曲线的方程为． （2）设，其坐标满足 消去y并整理得，故． 由得，即．而， 于是． 所以时，，故． 当时，，． ， 而， 所以． 3.(2008年安徽文T22)设椭圆其相应于焦点的准线方程为. （1）求椭圆的方程； （2）已知过点倾斜角为的直线交椭圆于两点，求证：; （3）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点和,求 的最小值. 解析：（1）由题意得： 椭圆的方程为. （2）方法一： 由（1）知是椭圆的左焦点，离心率 设为椭圆的左准线。则 作，与轴交于点(如图) 点在椭圆上 同理 . 方法二： 当时，记，则 将其代入方程 得 设 ，则是此二次方程的两个根. ................(1) 代入（1）式得 ........................(2) 当时， 仍满足（2）式 . （3）设直线的倾斜角为，由于由（2）可得 ， 当时，取得最小值. 4.已知直线相交于两点. （1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求椭圆的标准方程； （2）若（其中为坐标原点），当椭圆的离率时，求椭圆的长轴长的最大值. 解析：（1）即，又，得，所以 所以椭圆的标准方程为. （2）由消去得 由得 设，则 即 即 ，代入上式得 适合条件 由此得 所以 所以长轴长的最大值为. 5.已知椭圆的左右焦点分别是，，上顶点，右顶点为，的外接圆半径为. 求椭圆的标准方程； 设直线与椭圆交于，两点，若以为直径的圆经过点，求面积的最大值. 解析：（1）右顶点为，， ，， 椭圆的标准方程为． （2）设直线的方程为， 与椭圆联立得 ． 以为直径的圆经过点， ① ， 代入①式得或（舍去）， 故直线过定点． 令， 则 在上单调递减， 时，． 6. 如图，两条过原点的直线分别与轴、轴成的角，已知线段的长度为，且点在直线上运动，点在直线上运动． （1）求动点的轨迹的方程； （2）设过定点的直线与(Ⅰ)中的轨迹交于不同的两点、，且为锐角,求直线的斜率的取值范围． 解析：（1）由已知得直线，：， ：， 在直线上运动，直线上运动， ,， 由得， 即， ， 动点的轨迹的方程为． （2）直线方程为，将其代入， 化简得，，， 设、 ，则， 为锐角，， 即，， ． 将代入上式，化简得，． 由且，得. x y A C B O 7.(2016桐乡一模 T19)已知椭圆，过作互相垂直的两直线与椭圆交于两点. （1）若直线经过点,求线段的长； （2）求面积的最大值. 解析：（1）不妨设直线: ， 则的方程为。 由得：， 同理用代入得， 直线， 即直线过定点 又因为直线过，直线：， 得由弦长公式可得. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 从而有 于是 令，有 当且仅当，. 8. (2012年浙江理科T21)如图，椭圆：（）的离心率为，其左焦点到点的距离为，不过原点的直线与相交于，两点，且线段被直线平分。 （1）求椭圆的方程； （2）求面积取最大值时直线的方程。 （1）设椭圆左焦点为，则由题意得， 得，所以椭圆方程为。 （2）设，，线段的中点为。 当直线与轴垂直时，直线的方程为，与不过原点的条件不符，舍去，故可设直线的方程为（）， 由，消去，整理得， ① 则，， 所以线段的中点， 因为在直线上，所以，得（舍去）或 此时方程①为，则，， 所以， 设点到直线距离为，则， 设的面积为，则 其中， 令， 所以，当且仅当，取到最大值， 故当且仅当，取到最大值. 综上，所求直线的方程为.
第11讲 椭圆中的垂直问题 一、问题综述 1.椭圆中的垂直问题主要有以下几类： （1）是椭圆上的两个动点，且满足，即椭圆的正交中心角问题，此时有,中心到直线的距离为定值, 且； （2）椭圆的正交焦点弦问题，即经过椭圆的焦点有两条直线互相垂直，分别交椭圆于和，则； （3）经过非焦点的两条弦互相垂直问题. 2.椭圆中的垂直问题的主要策略： （1）利用斜率之积等于,但要注意斜率是否存在； （2）利用向量数量积等于0. 3.几类与垂直相关或可利用与垂直类似的方法的问题： （1）形如“以为直径的圆过原点” ，则； （2）形如“椭圆上存在两点关于直线对称”，则直线与直线垂直； （3）形如“直线与椭圆交于两点，为锐角”，则. 4.在处理椭圆垂直弦问题时，强化对称意识，可减少运算. 二、典例分析 类型1：椭圆中的正交中心角问题 例1. 在中心为的椭圆上任取两点，使， 求证：（1）; （2）中心到直线的距离是否为定值？ 证明：设直线的斜率为 ①当存在时，且.设， 则的方程分别为：，， 由方程组得， 同理＝， 所以. ②当不存在时，，满足. ③当时，，满足. 所以成立. （2）因为, 显然是一个定值. 例2. (2019年山东理T22)设椭圆过两点，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在说明理由. 解析:（1）因为椭圆过两点, 所以解得所以椭圆的方程为. （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且,设该圆的切线方程为,解方程组 得,即, 则,即 要使,需使,即,所以, 所以又, 所以,所以,即或, 因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为, 此时圆的切线都满足或 而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足. 综上,存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且. 因为, 所以, , ①当时 因为所以,所以, 所以当且仅当时取”=”. 当时,. 当的斜率不存在时, 两个交点为或, 所以此时, 综上, 的取值范围为即: . 类型2：椭圆中的正交焦点弦问题 例3.过椭圆的一个焦点作两条互相垂直的弦分别交椭圆于 和，求证：. 证明：设，方程为，则方程为 由方程组得， 所以 所以 所以，同理， 所以. 例4. (2007年全国Ⅰ理T21)已知椭圆的左、右焦点分别为,.过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为. （1）设点的坐标为，证明：； （2）求四边形的面积的最小值. 解析：（1）椭圆的半焦距， 由知点在以线段为直径的圆上，故， 所以，． （2）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得． 设，，则， ； 因为与相交于点，且的斜率为， 所以，． 四边形的面积 ． 当时，上式取等号． （ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积． 综上，四边形的面积的最小值为. 类型3：椭圆中的垂直弦问题 例5.(2014年浙江理T21)如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限. （1）已知直线的斜率为，用表示点的坐标； （2）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为. 解析：（1）设直线的方程为，由， 消去得，， 由于直线与椭圆只有一个公共点，故， 即， 解得点的坐标为， 由点在第一象限，故点的坐标为. （2）由于直线过原点，且与垂直，故直线的方程为， 所以点到直线的距离， 整理得，因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以点到直线的距离的最大值为. 例6.(2013年浙江理T21)如图，点是椭圆：的一个顶点，的长轴是圆：的直径，，是过点P且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点，交椭圆于另一点. （1）求椭圆的方程； （2）求面积取最大值时直线的方程. 解析：（1）由题意得，，，所以椭圆C的方程为. （2）设，，,由题意知直线的斜率存在， 不妨设其为，则直线的方程为. 又圆：，故点到直线的距离， 所以，又，故直线的方程为， 由，消去，整理得， 故，所以， 设面积为，则， 所以， 当且仅当时取等号。 所以所求直线的方程为. 类型4：椭圆中的对称问题 例7.(2015年浙江理T19)已知椭圆上两个不同的点关于直线对称. （1）求实数的取值范围； （2）求面积的最大值（为坐标原点）. 解析：（1）由题意知，可设直线的方程为， 由，消去，得， ∵直线与椭圆由两个不同的交点， ∴，①， 将中点代入直线方程，解得，②， 由①②得或. （2）令，则， 且到直线的距离为，设的面积为， ∴，当且仅当时，等号成立， 故面积的最大值为. 类型5：可转化为垂直的问题 例8.(2007年山东理)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以 为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 解析：（1）由题意设椭圆的标准方程为， 由已知得：， 椭圆的标准方程为． （2）设． 联立得 ，则 又． 因为以为直径的圆过椭圆的右顶点， ，即． ． ． ． 解得：，且均满足． 当时，的方程，直线过点，与已知矛盾； 当时，的方程为，直线过定点． 所以，直线过定点，定点坐标为． 类型6：锐角（或钝角）问题 例9.(2007年四川理) 设、分别是椭圆的左、右焦点. （2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围. 解析:（2）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，． 联立 ∴， 由 得．① 又为锐角， ∴ 又 ∴ ∴．② 综①②可知，∴的取值范围是. 三、巩固练习 1．（08广州一模）已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4． （1）求曲线的方程； （2）设过的直线与曲线交于、两点，且（为坐标原点），求直线的方程. 解析：（1）根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆， 其中，，则． 所以动点M的轨迹方程为． （2）当直线的斜率不存在时，不满足题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，， ∵，∴． ∵，，∴． ∴ ．………… ① 由方程组得． 则，， 代入①，得． 即，解得 或． 所以，直线的方程是或． 2．(08辽宁)在平面直角坐标系中,点到两点的距离之和等于4.设点的轨迹为. （1）写出的方程； （2）设直线y=kx+1与交于两点.为何值时？此时的值是多少？ 解析：（1）设，由椭圆定义可知，点的轨迹C是以为焦点， 长半轴为2的椭圆．它的短半轴， 故曲线的方程为． （2）设，其坐标满足 消去y并整理得，故． 由得，即．而， 于是． 所以时，，故． 当时，，． ， 而， 所以． 3.(2008年安徽文T22)设椭圆其相应于焦点的准线方程为. （1）求椭圆的方程； （2）已知过点倾斜角为的直线交椭圆于两点，求证：; （3）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点和,求 的最小值. 解析：（1）由题意得： 椭圆的方程为. （2）方法一： 由（1）知是椭圆的左焦点，离心率 设为椭圆的左准线。则 作，与轴交于点(如图) 点在椭圆上 同理 . 方法二： 当时，记，则 将其代入方程 得 设 ，则是此二次方程的两个根. ................(1) 代入（1）式得 ........................(2) 当时， 仍满足（2）式 . （3）设直线的倾斜角为，由于由（2）可得 ， 当时，取得最小值. 4.已知直线相交于两点. （1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求椭圆的标准方程； （2）若（其中为坐标原点），当椭圆的离率时，求椭圆的长轴长的最大值. 解析：（1）即，又，得，所以 所以椭圆的标准方程为. （2）由消去得 由得 设，则 即 即 ，代入上式得 适合条件 由此得 所以 所以长轴长的最大值为. 5.已知椭圆的左右焦点分别是，，上顶点，右顶点为，的外接圆半径为. 求椭圆的标准方程； 设直线与椭圆交于，两点，若以为直径的圆经过点，求面积的最大值. 解析：（1）右顶点为，， ，， 椭圆的标准方程为． （2）设直线的方程为， 与椭圆联立得 ． 以为直径的圆经过点， ① ， 代入①式得或（舍去）， 故直线过定点． 令， 则 在上单调递减， 时，． 6. 如图，两条过原点的直线分别与轴、轴成的角，已知线段的长度为，且点在直线上运动，点在直线上运动． （1）求动点的轨迹的方程； （2）设过定点的直线与(Ⅰ)中的轨迹交于不同的两点、，且为锐角,求直线的斜率的取值范围． 解析：（1）由已知得直线，：， ：， 在直线上运动，直线上运动， ,， 由得， 即， ， 动点的轨迹的方程为． （2）直线方程为，将其代入， 化简得，，， 设、 ，则， 为锐角，， 即，， ． 将代入上式，化简得，． 由且，得. x y A C B O 7.(2016桐乡一模 T19)已知椭圆，过作互相垂直的两直线与椭圆交于两点. （1）若直线经过点,求线段的长； （2）求面积的最大值. 解析：（1）不妨设直线: ， 则的方程为。 由得：， 同理用代入得， 直线， 即直线过定点 又因为直线过，直线：， 得由弦长公式可得. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 从而有 于是 令，有 当且仅当，. 8. (2012年浙江理科T21)如图，椭圆：（）的离心率为，其左焦点到点的距离为，不过原点的直线与相交于，两点，且线段被直线平分。 （1）求椭圆的方程； （2）求面积取最大值时直线的方程。 （1）设椭圆左焦点为，则由题意得， 得，所以椭圆方程为。 （2）设，，线段的中点为。 当直线与轴垂直时，直线的方程为，与不过原点的条件不符，舍去，故可设直线的方程为（）， 由，消去，整理得， ① 则，， 所以线段的中点， 因为在直线上，所以，得（舍去）或 此时方程①为，则，， 所以， 设点到直线距离为，则， 设的面积为，则 其中， 令， 所以，当且仅当，取到最大值， 故当且仅当，取到最大值. 综上，所求直线的方程为.
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