专题25 圆锥曲线的光学性质及其应用 微点3 抛物线的光学性质及其应用试题及答案

这是一份专题25 圆锥曲线的光学性质及其应用 微点3 抛物线的光学性质及其应用试题及答案，共19页。学案主要包含了微点综述，强化训练等内容，欢迎下载使用。

微点3 抛物线的光学性质及其应用
【微点综述】
《数学课程标准》中强调，要发展学生的数学应用意识，力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用，促进学生逐步形成和发展数学的应用意识，提高实践能力． 圆锥曲线的光学性质，在生产生活中，有着重要的实际意义．抛物线有聚焦的特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择，探照、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能够成为平行光束，使照射距离加大，并可以通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．本专题我们就来研究抛物线的光学性质及其应用．
一、抛物线的光学性质
图1
【定理】从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线与抛物线的轴平行（或重合，如图3）．反之，平行于抛物线的轴的光线照射到抛物线上，经反射后都通过焦点．
抛物线这种聚焦特性成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的．把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线最大限度地集中到接收器上，以保证接收效果．若把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线平行地到达卫星的接收装置，同样能够保证接收效果．最常见的太阳能热水器也是以抛物线镜面聚集太阳光加热焦点处的贮水器的．
二、抛物线光学性质的证明
抛物线光学性质的证明，分几何证法和代数证法，我们把定理转化为焦点在轴、轴的情形（例1、例2），分别用几何法、代数法给出证明．
1．抛物线光学性质的几何证明
1．已知：如图，抛物线，为其焦点，是过抛物线上一点的切线，是直线上的两点（不同于点），直线平行于轴．求证：．（入射角等于反射角）
总结：这里我们主要运用同一法，结合点关于直线对称的性质，从而避开了繁琐的计算，给出抛物线光学性质的简洁证明．
2．抛物线光学性质的代数证明
2．已知：如图，抛物线，是抛物线的焦点，入射光线从点发出射到抛物线上的点，求证：反射光线平行于轴．
上面我们用几何法和代数法证明了抛物线的光学性质，实际上，如果把光源改为声源，上述结论仍成立，即抛物线也具有和光学性质相似的声学性质．
三、圆锥曲线光学（声学）性质的应用
1．解决抛物线最值问题
例3．（2022·上海七宝中学高二期末）
3．已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为______
2．抛物线的光学性质在实际生活中的应用
从抛物线的焦点发出的光线（或声源）经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．手电筒就是根据这个原理制作的．在手电筒的小灯泡后面有一个反光镜，镜面的形状是抛物面，把小灯泡装在圆柱形手电筒里，经过适当调节，当灯泡调节到焦点位置时，就能射出一束比较强的平行光线．又如，汽车前灯中的远灯、近灯，也是根据这个原理设计的，只是汽车前灯中的近灯的光源不在焦点上，所以发出的光经抛物面反射后不是平行的，而是发散的，所以照的距离比较近．还有探照灯也是利用这个性质设计的．
根据光线可逆性，应用抛物线的光学性质，也可以使一束平行于抛物线的轴的光线，经过抛物面的反射集中于它的焦点．人们应用这个原理设计了一种加热水和食物的太阳灶．在这种太阳灶上装有一个旋转抛物面形的反光镜，当它的轴与太阳光线平行时，太阳光线经过反射后集中于焦点处，这一点的温度就会很高．在野外，人们常常利用太阳灶来加热水和食物．圆锥曲线的光学性质在实际生活应用的例子还很多，只要你在生活中多注意观察，你会就发现现实生活中处处都用到数学，数学与现实生活密不可分．
例4．（2020·绥阳县绥阳中学高考模拟）
4．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3，1)射入，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为（ ）
A．B．－
C．±D．－
5．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
6．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．今有抛物线(如图)一条平行x轴的光线射向C上一点P点，经过C的焦点F射向C上的点Q，再反射后沿平行x轴的方向射出，若两平行线间的最小距离是4，则C的方程是____________．
7．光学是当今科技的前沿和最活跃的领域之一，抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线，一平行于轴的光线从上方射向抛物线上的点，经抛物线2次反射后，又沿平行于轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为8.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线交于，两点，以点为顶点作，使的外接圆圆心的坐标为，求弦的长度.
8．根据抛物线的光学原理：平行于抛物线的轴的光线，经抛物线反射后，反射光线必经过焦点．然后求解此题：有一条光线沿直线射到抛物线（）上的一点，经抛物线反射后，反射光线所在直线的斜率为．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过定点的直线l与抛物线交于两点，与直线交于Q点，若，=，求的值．
【强化训练】
（2022·山东·烟台二中高三期末）
9．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为（ ）
A．11B．12C．13D．14
10．由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线轴的光线，经过抛物面的反射集中于它的焦点．用一过抛物线轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线过点，平行于对称轴的光线经过点反射后，反射光线交抛物线于点，则线段的中点到准线的距离为（ ）
A．B．C．D．
11．历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年—325年)，大约100年后，阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点.设抛物线：，一束平行于抛物线对称轴的光线经过，被抛物线反射后，又射到抛物线上的点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
12．抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中应用非常广泛.如图所示，从抛物线的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴的夹角均为60°，且两条反射光线和之间的距离为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
13．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
14．抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线，如图，一平行轴的光线射向抛物线上的点，经过抛物线的焦点反射后射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为6，则此抛物线的方程为_______.
（2022湖北高二期中）
15．综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜.这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚，例如，某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示，其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线的一个分支，已知、是双曲线的两个焦点，其中同时又是抛物线的焦点，也是双曲线的左顶点.若在如图所示的坐标系下，弧所在的曲线方程为标准方程，试根据图示尺寸（单位：cm），写出反射镜弧所在的抛物线方程为_________.
16．沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴相交于点A(2,0)，则抛物线的准线方程为____．(提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行)
17．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经抛物线的焦点，已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的长度为__________．
（2022江苏常州·高二期末）
18．圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关.如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴.某市进行科技展览，其中有一个展品就利用了圆锥曲线的光学性质，此展品的一个截面由一条抛物线和一个“开了孔”的椭圆构成（小孔在椭圆的左上方）.如图，椭圆与抛物线均关于轴对称，且抛物线和椭圆的左端点都在坐标原点，，为椭圆的焦点，同时也为抛物线的焦点，其中椭圆的短轴长为，在处放置一个光源，其中一条光线经过椭圆两次反射后再次回到经过的路程为8.由照射的某些光线经椭圆反射后穿过小孔，再由抛物线反射之后不会被椭圆挡住.
（1）求抛物线的方程；
（2）若由发出的一条光线经由椭圆上的点反射后穿过小孔，再经抛物线上的点反射后刚好与椭圆相切，求此时的线段的长；
（3）在（2）的条件下，求线段的长.
参考答案：
1．证明见解析
【分析】根据抛物线的定义得 ,由切线斜率以及两点斜率公式可得 ,进而得直线垂直平分线段，进而可证角相等.
【详解】作抛物线的准线，延长交于点，则；
由得，因此 ，
当时直线的斜率，直线的斜率，
两条直线斜率乘积为，所以直线垂直平分线段，则．
当时，点,此时直线为轴，结论显然成立．
综上所述，结论成立．
2．证明见解析
【分析】设点的坐标，利用判别式得到切线的斜率，再利用入射角等于反射角得到，列方程得到，即可证明反射光线平行于轴.
【详解】证明：设，过点的抛物线的切线为，且，
入射光线经抛物线壁反射后的反射光线为，
由得，
故即，故切线的斜率．
设直线到直线的角为，直线到直线的角为，则由得，即，解得反射光线平行于轴．
3．
【分析】由抛物线定义可得，由此可知当为与抛物线的交点时，取得最小值，进而求得点坐标.
【详解】由题意得：抛物线焦点为，准线为
作，垂直于准线，如下图所示：
由抛物线定义知：
（当且仅当三点共线时取等号）
即的最小值为，此时为与抛物线的交点
故答案为
【点睛】本题考查抛物线线上的点到焦点的距离与到定点距离之和最小的相关问题的求解，关键是能够熟练应用抛物线定义确定最值取得的位置.
4．B
【分析】求出点的坐标，根据抛物线的光学性质可得直线AB经过焦点，即可求出斜率.
【详解】由题意可知点A的纵坐标为1．将y＝1代入，得，则，
由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点，
所以直线AB的斜率．
故选：B．
5．B
【解析】根据题中光学性质作出图示，先求解出点坐标以及直线的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出的三边长度，从而周长可求.
【详解】如下图所示：因为，所以，所以，所以，
又因为，所以，即，
又，所以，所以或，所以，所以，所以，
又因为，，，
所以的周长为：，
故选：B.
【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
6．
【解析】先由题意得到必过抛物线的焦点，设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示出弦长，得出的最小值，进而可求出的值，得出抛物线方程．
【详解】由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点，
当直线斜率不存在时，易得；
当直线斜率存在时，设的方程为，，
由，得，整理得，
所以，
所以；
综上，当直线与轴垂直时，弦长最短，
又因为两平行光线间的最小距离为，故，
所以抛物线方程为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直线与抛物线位置关系，解决这类问题通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于中档题．
7．（1）；（2）.
【解析】（1）由题意设直线方程为：，，然后直线方程与抛物线方程联立成方程组，运用韦达定理得，，而两平行光线距离，由此得，进而得抛物线的方程；
（2）设，，，中点，然后直线与抛物线方程联立方程组消元后利用韦达定理得，，再由得斜率乘积等于，列方程可求出的值，再利用弦长公式可求得结果
【详解】（1）设，，
∵，
设直线方程为：，，
由，得，
∴，，
则两平行光线距离，
∴，故抛物线方程为.
（2）设，，，中点
由，得，，
∴，，
∵，
∴，即 ，解得，
∴，，
∴.
【点睛】此题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题
8．（Ⅰ）；（Ⅱ）0
【分析】（Ⅰ）先由已知得焦点，，再由题意得，进而可求出，得到抛物线方程；
（Ⅱ）先设设直线的方程为，则．设，
联立直线与抛物线方程得到，根据韦达定理、判别式以及题中条件，即可求解.
【详解】（Ⅰ）由已知得焦点，，由
得到或，，抛物线方程为
（Ⅱ）设直线的方程为，则．设
由得到，，，，
由，=，得到，
,
利用对应的纵坐标相等，得，．
整理得．
∴
【点睛】本题主要考查抛物线的方程以及抛物线中的定值问题，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、判别式等求解，属于常考题型.
9．B
【分析】设出B、C坐标，由坐标和焦点弦公式表示出三条线段直接可得.
【详解】设，，所以，，，所以该光线经过的路程为12.
故选：B
10．C
【分析】将代入抛物线方程可得抛物线方程，利用和焦点坐标求出直线的方程，与抛物线方程联立可得点的坐标，进而可得的中点坐标，即可求解.
【详解】设抛物线方程为：，将点代入可得，解得：，
所以抛物线方程为：，焦点为，，
由题意可得：直线的方程为：，即，
由可得：，解得：或，
所以，，可得的中点为，
所以线段的中点到准线的距离为，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是读懂题意直线过焦点，求出直线的方程，联立直线与抛物线方程求出点的坐标.
11．D
【分析】求出入射光线与抛物线的交点坐标，再根据抛物线的光学性质，利用斜率相等列式可解得结果.
【详解】设从点沿平行于抛物线对称轴的方向射出的直线与抛物线交于点，易知，将代入抛物线方程得，即，
设焦点为，则，设，由，，三点共线，
有，化简得，
解得或(舍)，即.
故选：D
12．B
【分析】写出直线AF、BF的方程，求出，，由，解出p.
【详解】抛物线的焦点.
由,所以直线AF的方程为，即，
联立，得，解得：或，可得：.
同理直线BF的方程为，即，
联立，解得：.
所以，解得：.
故选：B
13．B
【解析】根据题中光学性质作出图示，先求解出点坐标以及直线的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出的三边长度，从而周长可求.
【详解】如下图所示：因为，所以，所以，所以，
又因为，所以，即，
又，所以，所以或，所以，所以，所以，
又因为，，，
所以的周长为：，
故选：B.
【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
14．
【分析】联立直线与抛物线方程，消去得到关于的方程，利用韦达定理得到的值，然后表示两平行光线距离，并求出其最小值为，而由题意可知最小值为，从而得到，抛物线方程得解.
【详解】设，设两平行光距离为，
由题意可知，，
因为，而直线过点，则设直线方程为：，
因为，消去得，
由韦达定理可得，
则，
所以，
故抛物线方程为.
【点睛】本题主要考查了抛物线方程的求解，涉及到韦达定理的应用，属于难题.对于涉及到直线与曲线相关的距离问题，常常运用到韦达定理以及弦长公式进行求解.
15．
【详解】由题意知：连接的直线为轴，线段的中点为原点.
对于抛物线，有,所以，.
因为双曲线的实轴长为 因为抛物线的顶点横坐标是.
所以，所求抛物线的方程为.
16．x＝－2
【分析】由抛物线的光学性质可判断为焦点,由抛物线的性质可求准线方程.
【详解】由直线平行于抛物线的对称轴知为焦点，故准线方程为.
【点睛】本题考查抛物线准线方程的求法，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.
17．
【分析】根据题意求出点A的坐标，利用直线AB过抛物线的焦点，求出直线AB的方程，联立直线AB的方程与抛物线的方程，求得点B的坐标，即可求得.
【详解】根据题意可得：，又直线AB过抛物线的焦点，则直线AB的方程为：，整理得：，联立，解得：或，所点B的坐标为，所以==．
故填：
【点睛】本题主要考查了直线方程及直线与抛物线的交点问题、两点距离公式．
18．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）在椭圆中求出椭圆的焦点的坐标，由于抛物线与椭圆共焦点，即可求出抛物线的方程；
（2）设出点的坐标，带入抛物线即可求出点的坐标，然后两点间的距离公式即可求解；
（3）求出直线的斜率，进而求出，又，得，由此求出，然后结合余弦定理即可求解.
【详解】（1）设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
由题可知：，，，
则，
故抛物线的焦点，抛物线的方程为.
（2）因为光线经过抛物线的焦点，所以光线经过抛物线反射后平行与轴，所以纵坐标为，故设，代入抛物线的方程得，即，
又，故.
（3）由（2）知，即，
又，得，
又，故.
设，，
又，在中，由余弦定理知
.
故线段的长为.