初中数学北师大版八年级下册4 角平分线第2课时同步达标检测题

第2课时　三角形三条内角平分线

知识点 1　三角形三条角平分线的性质

1.三角形中,到三边距离相等的点是(　　)

A.三条高线所在直线的交点         B.三条中线的交点

C.三条角平分线的交点             D.三边的垂直平分线的交点

2.如,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是60,70,80,其三条角平分线交于点O,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(　　)

A.1∶1∶1     B.1∶2∶3       C.3∶7∶4     D.6∶7∶8

3.如,在△ABC中,点O到三边的距离相等,∠BAC=60°,则∠BOC的度数为(　　)

A.120°           B.125°            C.130°           D.140°

4.如,BD是∠ABC的平分线,BA=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N.求证:PM=PN.

知识点 2　有关三角形内角平分线的几何作如图

5.如所示是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在(　　)

A.△ABC三条中线的交点处

B.△ABC三边的垂直平分线的交点处

C.△ABC三条角平分线的交点处                      

D.△ABC三条高所在直线的交点处

6.根据圆规作如图的痕迹,可用直尺成功找到到三角形三边的距离相等的点的如图形是(　　)

7.如所示,某市有一块由三条公路围成的三角形绿地,现准备在绿地上建一喷水池,要求喷水池的中心到三条公路的距离相等,试确定喷水池中心的位置.(不写作法,保留作如图痕迹)

8.如,在△ABC中,AB=AC,BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,且相交于点F,则下列说法错误的是(　　)

A.BF=CF 

B.点F到∠BAC两边的距离相等

C.CE=BD 

D.点F到A,B,C三点的距离相等

9.如,已知点P到BE,BD,AC的距离恰好相等,则点P的位置:①在∠B的平分线上;②在∠DAC的平分线上;③在∠ECA的平分线上;④恰是∠B,∠DAC,∠ECA的平分线的交点.上述结论中,正确结论的个数为(　　)

A.1               B.2            C.3             D.4

10.(教材习题1.10T4变式)如,l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路,现在要建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有(　　)

A.1处          B.2处           C.3处            D.4处

11.如所示,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,P是∠BAC,∠ABC的平分线的交点,试求点P到AB边的距离.

12.如①所示,OP是∠MON的平分线,请你利用该如图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形,并参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:

(1)如如图②所示,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB,AD,CE相交于点F,请直接写出FE与FD之间的数量关系.

(2)如如图③所示,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其他条件不变,那么你在(1)中所得的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

答案

第2课时　三角形三条内角平分线

1.C　解： 要掌握三角形三边垂直平分线和三条角平分线的区别.

2.D　解： 如如图,过点O作OD⊥CA于点D,OE⊥AB于点E,OF⊥BC于点F.

∵点O是△ABC三条角平分线的交点,

∴OE=OF=OD,

∴S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=AB·OE∶BC·OF∶CA·OD=AB∶BC∶CA=6∶7∶8.

故选D.

3.A　解： ∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°,

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°.

∵点O到三边的距离相等,

∴BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线,

∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,

∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=60°,

∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=120°.

故选A.

4.证明:∵BD是∠ABC的平分线,

∴∠ABD=∠CBD.

在△ABD和△CBD中,

∵BA=BC,∠ABD=∠CBD,BD=BD,

∴△ABD≌△CBD,∴∠ADB=∠CDB.

∵点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,

∴PM=PN.

5.C　解： ∵凉亭到草坪三条边的距离相等,

∴凉亭应建在△ABC三条角平分线的交点处.故选C.

6.B

7.作出三角形三个内角的平分线,其交点即为喷水池中心的位置　作如图略

8.D　解： ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵BD,CE分别平分∠ABC,

∠ACB,∴∠FBC=∠FCB,∴BF=CF,故A选项正确.在△BCE和△CBD中,

∵∠BCE=∠CBD,BC=CB,∠EBC=∠DCB,∴△BCE≌△CBD,∴CE=BD,故C选项正确.

如如图,连接AF.∵BD=CE,BF=CF,∴BD-BF=CE-CF,即FE=FD.∵△BCE≌△CBD,∴BE=CD.

∵AB=AC,∴AB-BE=AC-CD,即AE=AD.在△AEF和△ADF中,∵AE=AD,FE=FD,AF=AF,

∴△AEF≌△ADF,∴∠FAE=∠FAD,即AF平分∠BAC,∴点F到∠BAC两边的距离相等,故B选项正确.故选D.

9.D　10.D

11.解:连接PC.

∵P是∠BAC,∠ABC的平分线的交点,

∴点P到△ABC三边的距离相等.

设点P到△ABC三边的距离为h,

则S△ABC=S△PAB+S△PAC+S△PBC=AB·h+AC·h+BC·h=h(AB+AC+BC).

∵32+42=52,即BC2+AC2=AB2,

∴△ABC为直角三角形,且∠C=90°,

∴h(AB+AC+BC)=AC·BC,即h(5+4+3)=×4×3,解得h=1,即点P到AB边的距离为1.

12.解： 本题利用了角平分线的性质定理和三角形全等的判定定理,考查学生利用知识解决问题的能力,以及利用知识探索、验证、动手操作的综合能力.

解:在OP上任意取一点A,然后以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OM,ON于点B,C,连接AB,AC,则△OAB≌△OAC,如如图①所示.(答案不唯一)

(1)FE与FD之间的数量关系为FE=FD.

(2)(1)中的结论FE=FD仍然成立.

证明:如如图②,在AC上截取AG=AE,连接FG.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.又∵AF为公共边,∴△AEF≌△AGF,

∴∠AFE=∠AFG,FE=FG.

∵∠B=60°,AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB,

∴∠DAC+∠ECA=60°,

∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°,

∴∠CFG=60°=∠CFD.

∵CE平分∠ACB,∴∠ECA=∠ECB.

又∵FC为公共边,∴△CFG≌△CFD,

∴FG=FD,∴FE=FD.