数学北师大版4 圆周角和圆心角的关系第2课时习题

4　圆周角和圆心角的关系

第2课时

(打√或×)

1．直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对弦是直径．(√)

2．圆内接四边形的对角相等．(×)

·知识点1　圆周角定理及推论2

1．(概念应用题)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝26°，则∠ABC＝(C)

A．26°    B．52°    C．64°    D．74°

2．(2021·泉州模拟)如图，AB为⊙O的直径，点C，D在圆上，若∠D＝65°，则∠BAC＝(B)

A．20°    B．25°    C．30°    D．35°

3．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan ∠OBC为(D)

A．    B．2    C．    D．

4．如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝2，C、D是圆周上的点，且sin ∠CDB＝，则BC的长为____．

5．(2021·南平期末)如图，△ABC内接于⊙O，且AB为直径，D为上一点，且OD∥BC.

求证：△ADC为等腰三角形．

【证明】记AC与OD的交点为点E.如图，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°.

∵OD∥BC，

∴∠AEO＝∠ACB＝90°，

∴半径OD⊥AC，

∴＝，∴AD＝CD，

∴△ADC是等腰三角形．

·知识点2　圆周角定理及推论3

6．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠ABC＝60°，则∠ADC的度数为(B)

A．60°    B．120°    C．150°    D．30°

7．(2020·盐城中考)如图，在⊙O中，点A在上，∠BOC＝100°.则∠BAC＝__130__°.

8．(2020·聊城中考)如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在上，则∠ADC的度数是__60°__．

9．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，点E在DC的延长线上．若∠A＝50°，则∠BCE＝__50°__．

1．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin ∠ACD的值是(D)

A．    B．    C．    D．

2．(2021·三明质检)如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD.若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是(B)

A．40°    B．50°    C．60°    D．140°

3．如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝.若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于(A)

A．55°    B．60°    C．65°    D．70°

4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝(D)

A．3    B．3    C．4    D．2

5．如图，已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD平分∠ABC，DH⊥AB于点H，DH＝，∠ABC＝120°，则AB＋BC的值为(C)

A．    B．    C．2    D．

6．如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是____．

7．(2021·厦门质检)如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，BD＝4，AD＝3，求∠ACD的正弦值．

【解析】∵AB是直径，∴∠ADB＝90°.

∵AD＝3，BD＝4，∴AB＝＝＝5，

∴sin ∠ABD＝＝.

∵∠ACD＝∠ABD，∴sin ∠ACD＝sin ∠ABD＝.

8.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F.

(1)当∠E＝∠F时，则∠ADC＝________°；

(2)当∠A＝55°，∠E＝30°时，求∠F的度数；

(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．

【解析】见全解全析

第2课时

__必备知识·基础练

【易错诊断】

1．√　2.×　

【对点达标】

1．C　∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝90°－∠A＝64°.

2．B　连接BC，如图，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°.

∵∠B＝∠D＝65°，

∴∠BAC＝90°－∠B＝90°－65°＝25°.

3．D　如图，设⊙A交x轴于D，连接CD，则CD是直径，

在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，

则OD＝＝4，

tan ∠CDO＝＝.

由圆周角定理，得∠OBC＝∠CDO，

则tan ∠OBC＝.

4．【解析】∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，

∵∠A＝∠D，

∴sin ∠A＝sin ∠D＝＝，

∴BC＝.

答案：

5．解析见正文

6．B　∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝60°，

∴∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－60°＝120°.

7．【解析】如图，取⊙O上的一点D，连接BD，CD，

∵∠BOC＝100°，

∴∠D＝50°，∴∠BAC＝180°－50°＝130°.

答案：130

8．【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B＋∠D＝180°.

∵四边形OABC为菱形，∴∠B＝∠AOC，

∴∠D＋∠AOC＝180°.

∵∠AOC＝2∠D，∴3∠D＝180°，∴∠ADC＝60°.

答案：60°

9．【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠A＋∠BCD＝180°.

又∠BCD＋∠BCE＝180°，∴∠BCE＝∠A＝50°.

答案：50°

__关键能力·综合练

1．D　∵AB是直径，∴∠ADB＝90°.

∵⊙O的半径是13，∴AB＝2×13＝26，

由勾股定理得：AD＝10，

∴sin ∠B＝＝＝.

∵∠ACD＝∠B，

∴sin ∠ACD＝sin ∠B＝.

2．B　连接BC，如图，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，

∴∠B＝90°－∠CAB＝90°－40°＝50°，

∴∠ADC＝∠B＝50°.

3．A　连接AC，如图，

∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，

∴∠DAB＝180°－∠C＝70°.

∵＝，

∴∠CAB＝∠DAB＝35°.

∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝90°－∠CAB＝55°.

4．D　连接AC，如图，

∵BA平分∠DBE，

∴∠1＝∠2.

∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，

∴∠3＝∠CDA，

∴AC＝AD＝5.

∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，

∴AE＝＝＝2.

5．C　延长BA到E，使AE＝BC，连接DE，如图，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝×120°＝60°.

∵∠DAC＝∠DBC＝60°，∠DCA＝∠DBA＝60°，

∴△DAC为等边三角形，

∴DA＝DC.

在△ADE和△BCD中，

∴△ADE≌△BCD(SAS)，

∴∠E＝∠DBC＝60°，而∠DBA＝60°，

∴△DBE为等边三角形．

∵DH⊥AB，∴BH＝EH.

在Rt△BDH中，BH＝DH＝×＝1，

∴BE＝2BH＝2，

∴AB＋BC＝BE＝2.

6．【解析】∵点M，N分别是BC，AC的中点，

∴MN＝AB，

∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大．

连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，如图，

∵AB′是⊙O的直径，∴∠ACB′＝90°.

∵∠ABC＝45°，AC＝5，

∴∠AB′C＝45°，

∴AB′＝＝＝5，∴MN最大＝.

答案：

7．解析见正文

8．【解析】(1)∵∠E＝∠F，∠DCE＝∠BCF，

∠ADC＝∠E＋∠DCE，∠ABC＝∠BCF＋∠F，

∴∠ADC＝∠ABC.

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠ADC＋∠ABC＝180°，

∴∠ADC＝90°.

答案：90

(2)∵在△ABE中，∠A＝55°，∠E＝30°，

∴∠ABE＝180°－∠A－∠E＝95°，

∴∠ADF＝180°－∠ABE＝85°，

∴在△ADF中，∠F＝180°－∠ADF－∠A＝40°.

(3)∵∠ADC＝180°－∠A－∠F，

∠ABC＝180°－∠A－∠E，

∵∠ADC＋∠ABC＝180°，

∴180°－∠A－∠F＋180°－∠A－∠E＝180°，

∴2∠A＋∠E＋∠F＝180°，

∴∠A＝90°－＝90°－.