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2023年九年级数学中考复习一元二次方程的应用 几何图形变换 面积问题 常考题型专题训练
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2022-2023学年九年级数学中考复习一元二次方程的应用《几何图形变换+面积问题》
常考题型专题训练（附答案）
1．如图，一个长为acm，宽为bcm的矩形铁片．
（1）如果a＝30，b＝20，在矩形的中央挖掉一个200cm2的矩形后，成为一个各条边一样宽的铁框，求这个铁框的宽度；
（2）如果a＝2b，在四个角上分别裁掉四个边长为4cm的正方形，把它制作成一个体积为4576cm3的无盖长方体，求原矩形的面积．
2．如图，用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长36米的围栏建两个面积相同的生态园，由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过6米．（围栏宽忽略不计）
（1）每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长；
（2）每个生态园的面积能否达到60平方米？请说明理由．
3．为庆祝中国共产党成立100周年，某市举办了“学党史感党恩跟党走”建党100周年文艺汇演主题活动，活动前，主办方工作人员准备利用一面墙（墙的最大可利用长度为26米）作为一边，用48米隔栏绳作为另三边，设立一个面积为300平方米的矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳），那么围成的这个矩形ABCD的长与宽分别是多少米呢？
4．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和是否存在最小值？若存在，请求出最小值及此时两段铁丝的长度；若不存在，请说明理由．
5．如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD中，点G，E，F分别在CD，AD，AB上，且DG＝1m，AE＝AF＝x，在△AEF，△DEG，五边形EFBCG三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元．
（1）当x＝2时，小正方形ABCD种植花卉所需的费用；
（2）试用含有x的代数式表示五边形EFBCG的面积；
（3）当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？
6．学校准备利用操场开元旦晚会，师生坐在足球场区域，已知足球场宽度为72m（观众席不一定要占满球场宽度），其他三边利用总长为140m的移动围栏围成一个矩形的观众席，并在观众席内按行、列，摆放单人座椅，要求每个座位占地面积为1m2（如图所示），且观众席内的区域恰好都安排了座位．
（1）若观众席内有x行座椅，用含x的代数式表示每行的座椅数，并求x的最小值；
（2）若全校师生共2400人，那么座位够坐吗？请说明理由．
7．某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面（粗线A﹣B﹣C表示墙面）建饲养场，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝15米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF，并在每个区域开一个宽2米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH隔开），点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上．
（1）如图1，当点F在线段BC上时，
①设EF的长为x米，则DE＝ 米；（用含x的代数式表示）
②若围成的饲养场BDEF的面积为132平方米，求饲养场的宽EF的长；
（2）如图2，当点F在线段BC延长线上，所围成的饲养场BDEF的面积能否为156平方米？如果能达到，求出EF的长；如果不能，请说明理由．
8．如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2．
（1）求原正方形空地的边长；
（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点C开始沿CA边运动，速度为1cm/s，与此同时，点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接AE，设运动时间为ts，△ADE的面积为S．
（1）是否存在某一时刻t，使DE∥AB？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由．
（2）点D运动至何处时，S＝S△ABC？
10．如图，在矩形ABCD中、AB＝15cm，AD＝5cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接PQ，QB．
（1）当t为何值时，P、Q两点间的距离为13cm？
（2）四边形APQD的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由．
11沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求：
（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝3秒时，这时，P、Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少秒时，S＝S△ABC？
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q同时出发，几秒钟后，可使PQ的长为4厘米？
（2）点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．
13．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2m/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动．
（1）AP＝ ，BP＝ ，CQ＝ ，DQ＝ （用含t的代数式表示）；
（2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．
14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6厘米，BC＝8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．
（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于△ABC的三分之一？
（2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？
15．已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），解答下列各问题：
（1）经过秒时，求△PBQ的面积；
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由．
16．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：
（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）是否存在时间t，使△AMN的面积达到3.5cm2？若存在，求出时间t；若不存在，说明理由．
17．在Rt△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A点出发以每秒1个单位长的速度向C点移动，点Q从C点出发以每秒2个单位长的速度向点B移动，点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置所用的时间为t秒
（1）当时间t＝3时，求线段PQ的长；
（2）当移动时间t等于何值时，△PCQ的面积为8cm2？
（3）点D为AB的中点，连接CD，移动P、Q能否使PQ、CD互相平分？若能，求出点P、Q移动时间t的值；若不能，请说明理由．
18．如图，AO＝BO＝6厘米，OC是一条射线，OC⊥AB．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线OC方向爬行，它们同时出发，当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒．
（1）直接写出OQ＝ （用t的代数式）．
（2）经过多少秒，△POQ的面积为8平方厘米．
（3）当t＝ 时，△PBQ为等腰三角形（直接写出答案）
19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，一动点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度运动，另一动点Q同时从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度运动．问：
（1）运动几秒时，△CPQ的面积是8cm2？
（2）运动几秒时，△CPQ与△ABC相似？
20．在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动．如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：
（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；写出t为何值时，s的值最小．
（3）当t＝时，试判断△DPQ的形状．
（4）计算四边形DPBQ的面积，并探索一个与计算结果有关的结论．
参考答案
1．解：（1）设这个铁框的宽度为xcm，根据题意可得：
（30﹣2x）（20﹣2x）＝200，
解得：x1＝5，x2＝20（不合题意舍去），
答：这个铁框的宽度为5cm；
（2）由题意可得：4（a﹣8）（b﹣8）＝4576，
则4（2b﹣8）（b﹣8）＝4576，
解得：b1＝30，b2＝﹣18（不合题意舍去），
则a＝30×2＝60（cm），
故ab＝30×60＝1800（cm2），
答：原矩形的面积为1800cm2．
2．解：（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，
根据题意得：x•＝48，
整理得：x2﹣12x+32＝0，
解得：x1＝4，x2＝8（不符合题意，舍去），
∴＝＝12．
答：每个生态园的长为12米，宽为4米．
（2）每个生态园的面积不能达到60平方米，理由如下：
设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为米，
根据题意得：y•＝60，
整理得：y2﹣12y+40＝0，
∵Δ＝（﹣12）2﹣4×1×40＝﹣16＜0，
∴该方程没有实数根，
即每个生态园的面积不能达到60平方米．
3．解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（48+2﹣2x）米，
根据题意得：x（48+2﹣2x）＝300，
整理得：x2﹣25x+150＝0，
解得：x1＝10，x2＝15，
当x＝10时，48+2﹣2x＝48+2﹣2×10＝30＞26，不符合题意，舍去；
当x＝15时，48+2﹣2x＝48+2﹣2×15＝20＜26，符合题意．
答：围成的这个矩形ABCD的长为20米，宽为15米．
4．解：（1）设其中一段铁丝长为xcm（0＜x≤10），则另一段铁丝长为（20﹣x）cm，
根据题意得：（）2+（）2＝17，
整理得：x2﹣20x+64＝0，
解得：x1＝4，x2＝16（不符合题意，舍去），
∴20﹣x＝20﹣4＝16．
答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm，16cm．
（2）设其中一段铁丝长为acm（0＜a≤10），则另一段铁丝长为（20﹣a）cm，两个正方形的面积之和为wcm2，
根据题意得：w＝（）2+（）2，
即w＝（a﹣10）2+，
∵＞0，
∴当a＝10时，w取得最小值，此时20﹣a＝20﹣10＝10，
答：两个正方形的面积之和存在最小值，此时两段铁丝的长度均为10cm．
5．解：（1）若x＝2，则DE＝2，
∴S△AEF＝AE×AF＝2，S△DFG＝DG×DF＝×1×2＝1，
∴S五边形EFBCG＝S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DFG＝16﹣×4﹣2+×1＝13．
∴所需费用为：20×2+20×1+10×13＝190（元）；
（2）设AE＝AF＝x米，则DF＝（4﹣x）米．
∴S△AEF＝AE×AF＝x2，S△DFG＝DG×DF＝×1×（4﹣x）＝2﹣x，
∴S五边形EFBCG＝S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DFG＝16﹣x2﹣2+x＝﹣x2+x+14，
（3）根据题意得4×[20×x2+20×（2﹣x）+10×（﹣x2+x+14）]＝715，
整理得4x2﹣4x+1＝0，
解得x1＝x2＝．
答：当AE＝AF＝米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元．
6．解：（1）∵移动围栏的总长为140m，且观众席内有x行座椅，
∴每行的座椅数为（140﹣2x）个．
∵140﹣2x≤72，
∴x≥34，
∴x的最小值为34．
（2）座位够坐，理由如下：
依题意得：x（140﹣2x）＝2400，
整理得：x2﹣70x+1200＝0，
解得：x1＝30（不符合题意，舍去），x2＝40，
∴若全校师生共2400人，那么座位够坐．
7．解：（1）①设EF的长为x米，则DE＝38+2+2﹣（3x﹣3）＝（45﹣3x）（米）．
故答案为：（45﹣3x）．
②依题意得：x（45﹣3x）＝132，
整理得：x2﹣15x+44＝0，
解得：x1＝4，x2＝11．
当x＝4时，45﹣3x＝45﹣3×4＝33＞15，不合题意，舍去；
当x＝11时，45﹣3x＝45﹣3×11＝12＜15，符合题意．
答：饲养场的宽EF的长为11米．
（2）不能达到，理由如下：
设EF的长为y米，则DE＝＝米，
依题意得：y•＝156，
整理得：y2﹣20y+104＝0，
∵Δ＝（﹣20）2﹣4×1×104＝﹣16＜0，
∴该方程没有实数根，
即当点F在线段BC延长线上，所围成的饲养场BDEF的面积不能达到156平方米．
8．解：（1）设原正方形空地的边长为xm，则剩余部分长（x﹣4）m，宽（x﹣5）m，
依题意得：（x﹣4）（x﹣5）＝650，
整理得：x2﹣9x﹣630＝0，
解得：x1＝30，x2＝﹣21（不合题意，舍去）．
答：原正方形空地的边长为30m．
（2）设小道的宽度为ym，则栽种鲜花的区域可合成长（30﹣y）m，宽（30﹣1﹣y）m的矩形，
依题意得：（30﹣y）（30﹣1﹣y）＝812，
整理得：y2﹣59y+58＝0，
解得：y1＝1，y2＝58（不合题意，舍去）．
答：小道的宽度为1m．
9．解：（1）存在，理由如下：
假设存在某一时刻t，使DE∥AB，
∴＝，
∵AC＝6，BC＝8，CD＝t，CE＝8﹣2t，
∴＝，
∴t＝，符合题意（t最大为8÷2＝4秒），
∴存在某一时刻t＝秒，使DE∥AB；
（2）设运动t秒时，S＝S△ABC，
根据图示可知，S＝S△ACE﹣S△DCE＝S△ABC，
∵S△ABC＝AC•CB＝×6×8＝24平方厘米，
S△ACE＝AC•CE＝×6×（8﹣2t）＝（24﹣6t）平方厘米，
S△DCE＝CD•CE＝t（8﹣2t）＝（4t﹣t2）平方厘米，
∴S＝（24﹣6t）﹣（4t﹣t2）＝24﹣6t﹣4t+t2＝（t2﹣10t+24）平方厘米，
∴S＝S△ABC，
∴t2﹣10t+24＝×24，
解一元二次方程得：t1＝7，t2＝3，
∵点E到达点C时，点D同时停止运动，在整个运动过程中0≤t≤4，
∴t＝3秒符合题意，
∴此时CD＝3（cm），
∴CD＝3cm时，S＝S△ABC．
10．解：（1）设出发t秒后P、Q两点间的距离是13cm．
则AP＝3t，CQ＝2t，作QM⊥AB于M，
则PM＝|15﹣2t﹣3t|＝|15﹣5t|，
（15﹣5t）2+52＝132，
解得：t＝0.6或t＝5.4，
答：P、Q出发0.6和5.4秒时，P，Q间的距离是13cm；
（2）四边形APDQ的形状有可能为矩形；
理由：
当四边形APQD为矩形，则AP＝DQ，
即3t＝15﹣2t，
解得：t＝3．
答：当P、Q出发3秒时四边形APQD为矩形．
11．解：（1）若运动的时间为ts，则CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2tcm，
∴S＝CP•CQ＝（20﹣4t）×2t＝20t﹣4t2．
又∵，
∴0≤t≤5．
∴Rt△CPQ的面积S＝20t﹣4t2（0≤t≤5）．
（2）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝20﹣4×3＝8（cm），CQ＝2t＝2×3＝6（cm），
∴PQ＝＝＝10（cm）．
（3）依题意得：20t﹣4t2＝××15×20，
整理得：t2﹣5t+6＝0，
解得：t1＝2，t2＝3．
∴t为2或3时，S＝S△ABC．
12．解：（1）设x秒钟后，可使PQ的长为4cm，由题意得：
（6﹣x）2+（2x）2＝（4）2，
解得：x＝2或x＝，
答：P、Q同时出发2或秒钟后，可使PQ的长为4厘米；
（2）不存在．
理由：设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，由题意得：
（6﹣y）•2y＝×6×8，
整理，得y2﹣6y+12＝0，
∵Δ＝36﹣4×12＜0，
∴方程无解，
即：不存在．
13．解：（1）当运动时间为ts时，AP＝3tcm，BP＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm，DQ＝（16﹣2t）cm．
故答案为：3tcm；（16﹣3t）cm；2tcm；（16﹣2t）cm．
（2）依题意得：[（16﹣3t）+2t]×6＝33，
整理得：16﹣t＝11，
解得：t＝5.
答：当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|（16﹣3t）﹣2t|＝|16﹣5t|，如图所示．
依题意得：|16﹣5t|2+62＝102，
即（16﹣5t）2＝82，
解得：t1＝，t2＝．
答：当t为或时，点P和点Q的距离为10cm．
14．解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于△ABC的三分之一，根据题意得：
×2t（6﹣t）＝××6×8，
解得：t＝2或4．
答：2秒或4秒后，△PBQ的面积等于△ABC的三分之一．
（2）设x秒时，P、Q相距6厘米，根据题意得：
（6﹣x）2+（2x）2＝36，
解得：x＝0（舍去）或x＝．
答：秒时，P、Q相距6厘米．
15．解：（1）经过秒时，AP＝cm，BQ＝cm，
∵△ABC是边长为3cm的等边三角形，
∴AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝3﹣＝cm，
∴△PBQ的面积＝BP•BQ•sin∠B＝×××＝；
（2）设经过t秒△PBQ是直角三角形，
则AP＝tcm，BQ＝tcm，
△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝（3﹣t）cm，
△PBQ中，BP＝（3﹣t）cm，BQ＝tcm，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，
当∠BQP＝90°时，BQ＝BP，
即t＝（3﹣t），t＝1（秒），
当∠BPQ＝90°时，BP＝BQ，
3﹣t＝t，t＝2（秒），
答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．
（3）过P作PM⊥BC于M，
△BPM中，sin∠B＝，
∴PM＝PB•sin∠B＝（3﹣t），
∴S△PBQ＝BQ•PM＝•t•（3﹣t），
∴y＝S△ABC﹣S△PBQ＝×32×﹣×t×（3﹣t）
＝t2﹣t+，
∴y与t的关系式为y＝t2﹣t+，
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，
则S四边形APQC＝S△ABC，
∴t2﹣t+＝××32×，
∴t2﹣3t+3＝0，
∵（﹣3）2﹣4×1×3＜0，
∴方程无解，
∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．
16．解：（1）设经过ts，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，则DN＝2tcm，AM＝tcm，AN＝AD﹣DN＝（6﹣2t）cm，
∴AN•AM＝AD•AB，即（6﹣2t）t＝×6×3，
整理得：t2﹣3t+2＝0，即（t﹣1）（t﹣2）＝0，
解得：t1＝1，t2＝2，
则经过1s或2s，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的；
（2）不存在，理由为：假设存在时间ts，使△AMN的面积达到3.5cm2，
则AN•AM＝3.5，
整理得：2t2﹣6t+7＝0，
∵Δ＝36﹣56＝﹣20＜0，
∴方程没有实数根，
则△AMN的面积不能达到3.5cm2．
17．解：（1）∵AP＝t，CQ＝2t，
∴t＝3时，AP＝3，CQ＝6，
∴PC＝6﹣3＝3
在Rt△PCQ中，由勾股定理，得
PQ＝＝3．
答：PQ＝3；
（2）∵AP＝t，CQ＝2t，
∴PC＝6﹣t．
∴（6﹣t）×2t＝8，
解得：t1＝2，t2＝4．
（3）PQ、CD不互相平分．
当PQ、CD互相平分，
∴四边形PCQD是平行四边形，
∴PD∥CQ．PD＝CQ．
∵点D为AB的中点，
∴P是AC的中点，
∴AP＝AC＝3，PD＝CQ＝BC＝4．
∴t＝≠．
∴PQ、CD不互相平分．
18．解：（1）由函数图象，得
OQ＝2t，
故答案为：2t；
（2）当P在AO上，
，
解得：t1＝2，t2＝4．
∵t1＝2，t2＝4在0＜t＜6范围内，
∴t1＝2，t2＝4．
P在BO上，
＝8，
解得：t3＝3+，t4＝3﹣．
∵t3＝3+在6＜t＜12范围内，
∴t3＝3+；
（3）在Rt△BOQ中，由勾股定理，得
BQ2＝4t2+36，
BP＝12﹣t，BP2＝144﹣24t+t2，
∵△PBQ是等腰三角形，
∴PB＝BQ，
∴PB2＝BQ2，
∴4t2+36＝144﹣24t+t2，
解得：t1＝﹣4+2，t2＝﹣4﹣2（舍去）．
当PB＝PQ时，BP2＝144﹣24t+t2，PQ2＝4t2+（6﹣t）2，
t1＝，t2＝（舍去）．
故答案为：﹣4+2或．
19．解：（1）设x秒后，可使△CPQ的面积为8cm2．
由题意得，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm，
则（6﹣x）•2x＝8，
整理，得x2﹣6x+8＝0，
解得x1＝2，x2＝4．
则P、Q同时出发，2秒或4秒后可使△CPQ的面积为8cm2
（2）设运动y秒时，△CPQ与△ABC相似．
若△CPQ∽△CAB，
则＝，
即＝，
解得y＝2.4秒；
若△CPQ∽△CBA，则＝，
即＝，
解得y＝秒．
综上所述，运动2.4秒或秒时，△CPQ与△ABC相似．
20．解：（1）设经过t秒，△PBQ的面积等于8cm2则：
BP＝6﹣t，BQ＝2t，
所以S△PBQ＝×（6﹣t）×2t＝8，即t2﹣6t+8＝0，
可得：t＝2或4，即经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2．
（2）根据（1）中所求出的S△PBQ＝PB•BQ＝×（6﹣t）×2t，
整理得S△PBQ＝﹣t2+6t（0＜t＜6）．
则S五边形APQCD＝S矩形ABCD﹣S△PBQ＝72﹣（﹣t2+6t）＝t2﹣6t+72＝（t﹣3）2+63（0＜t＜6），
当t＝﹣＝3时，S五边形APQCD＝63，
故当t＝3秒，五边形APQCD的面积最小，最小值是63cm2，
（3）当t＝1.5s时，
AP＝1.5，BP＝4.5，CQ＝9，
∴DP2＝146.25，PQ2＝29.25，DQ2＝117，
∴PQ2+DQ2＝DP2，
∴△DPQ为Rt△；
（4）SDPBQ＝6×12﹣t×12﹣×6（12﹣2t），
＝72﹣36，
＝36，
∴四边形DPBQ的面积是固定值36．
常考题型专题训练（附答案）
1．如图，一个长为acm，宽为bcm的矩形铁片．
（1）如果a＝30，b＝20，在矩形的中央挖掉一个200cm2的矩形后，成为一个各条边一样宽的铁框，求这个铁框的宽度；
（2）如果a＝2b，在四个角上分别裁掉四个边长为4cm的正方形，把它制作成一个体积为4576cm3的无盖长方体，求原矩形的面积．
2．如图，用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长36米的围栏建两个面积相同的生态园，由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过6米．（围栏宽忽略不计）
（1）每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长；
（2）每个生态园的面积能否达到60平方米？请说明理由．
3．为庆祝中国共产党成立100周年，某市举办了“学党史感党恩跟党走”建党100周年文艺汇演主题活动，活动前，主办方工作人员准备利用一面墙（墙的最大可利用长度为26米）作为一边，用48米隔栏绳作为另三边，设立一个面积为300平方米的矩形表演区，如图，为了方便进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳），那么围成的这个矩形ABCD的长与宽分别是多少米呢？
4．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和是否存在最小值？若存在，请求出最小值及此时两段铁丝的长度；若不存在，请说明理由．
5．如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD中，点G，E，F分别在CD，AD，AB上，且DG＝1m，AE＝AF＝x，在△AEF，△DEG，五边形EFBCG三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元．
（1）当x＝2时，小正方形ABCD种植花卉所需的费用；
（2）试用含有x的代数式表示五边形EFBCG的面积；
（3）当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？
6．学校准备利用操场开元旦晚会，师生坐在足球场区域，已知足球场宽度为72m（观众席不一定要占满球场宽度），其他三边利用总长为140m的移动围栏围成一个矩形的观众席，并在观众席内按行、列，摆放单人座椅，要求每个座位占地面积为1m2（如图所示），且观众席内的区域恰好都安排了座位．
（1）若观众席内有x行座椅，用含x的代数式表示每行的座椅数，并求x的最小值；
（2）若全校师生共2400人，那么座位够坐吗？请说明理由．
7．某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面（粗线A﹣B﹣C表示墙面）建饲养场，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝15米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF，并在每个区域开一个宽2米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH隔开），点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上．
（1）如图1，当点F在线段BC上时，
①设EF的长为x米，则DE＝ 米；（用含x的代数式表示）
②若围成的饲养场BDEF的面积为132平方米，求饲养场的宽EF的长；
（2）如图2，当点F在线段BC延长线上，所围成的饲养场BDEF的面积能否为156平方米？如果能达到，求出EF的长；如果不能，请说明理由．
8．如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2．
（1）求原正方形空地的边长；
（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点C开始沿CA边运动，速度为1cm/s，与此同时，点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接AE，设运动时间为ts，△ADE的面积为S．
（1）是否存在某一时刻t，使DE∥AB？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由．
（2）点D运动至何处时，S＝S△ABC？
10．如图，在矩形ABCD中、AB＝15cm，AD＝5cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接PQ，QB．
（1）当t为何值时，P、Q两点间的距离为13cm？
（2）四边形APQD的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由．
11沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求：
（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝3秒时，这时，P、Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少秒时，S＝S△ABC？
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q同时出发，几秒钟后，可使PQ的长为4厘米？
（2）点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．
13．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2m/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动．
（1）AP＝ ，BP＝ ，CQ＝ ，DQ＝ （用含t的代数式表示）；
（2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．
14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6厘米，BC＝8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．
（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于△ABC的三分之一？
（2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？
15．已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），解答下列各问题：
（1）经过秒时，求△PBQ的面积；
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由．
16．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：
（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）是否存在时间t，使△AMN的面积达到3.5cm2？若存在，求出时间t；若不存在，说明理由．
17．在Rt△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A点出发以每秒1个单位长的速度向C点移动，点Q从C点出发以每秒2个单位长的速度向点B移动，点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置所用的时间为t秒
（1）当时间t＝3时，求线段PQ的长；
（2）当移动时间t等于何值时，△PCQ的面积为8cm2？
（3）点D为AB的中点，连接CD，移动P、Q能否使PQ、CD互相平分？若能，求出点P、Q移动时间t的值；若不能，请说明理由．
18．如图，AO＝BO＝6厘米，OC是一条射线，OC⊥AB．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线OC方向爬行，它们同时出发，当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒．
（1）直接写出OQ＝ （用t的代数式）．
（2）经过多少秒，△POQ的面积为8平方厘米．
（3）当t＝ 时，△PBQ为等腰三角形（直接写出答案）
19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，一动点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度运动，另一动点Q同时从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度运动．问：
（1）运动几秒时，△CPQ的面积是8cm2？
（2）运动几秒时，△CPQ与△ABC相似？
20．在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动．如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：
（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；写出t为何值时，s的值最小．
（3）当t＝时，试判断△DPQ的形状．
（4）计算四边形DPBQ的面积，并探索一个与计算结果有关的结论．
参考答案
1．解：（1）设这个铁框的宽度为xcm，根据题意可得：
（30﹣2x）（20﹣2x）＝200，
解得：x1＝5，x2＝20（不合题意舍去），
答：这个铁框的宽度为5cm；
（2）由题意可得：4（a﹣8）（b﹣8）＝4576，
则4（2b﹣8）（b﹣8）＝4576，
解得：b1＝30，b2＝﹣18（不合题意舍去），
则a＝30×2＝60（cm），
故ab＝30×60＝1800（cm2），
答：原矩形的面积为1800cm2．
2．解：（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，
根据题意得：x•＝48，
整理得：x2﹣12x+32＝0，
解得：x1＝4，x2＝8（不符合题意，舍去），
∴＝＝12．
答：每个生态园的长为12米，宽为4米．
（2）每个生态园的面积不能达到60平方米，理由如下：
设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为米，
根据题意得：y•＝60，
整理得：y2﹣12y+40＝0，
∵Δ＝（﹣12）2﹣4×1×40＝﹣16＜0，
∴该方程没有实数根，
即每个生态园的面积不能达到60平方米．
3．解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（48+2﹣2x）米，
根据题意得：x（48+2﹣2x）＝300，
整理得：x2﹣25x+150＝0，
解得：x1＝10，x2＝15，
当x＝10时，48+2﹣2x＝48+2﹣2×10＝30＞26，不符合题意，舍去；
当x＝15时，48+2﹣2x＝48+2﹣2×15＝20＜26，符合题意．
答：围成的这个矩形ABCD的长为20米，宽为15米．
4．解：（1）设其中一段铁丝长为xcm（0＜x≤10），则另一段铁丝长为（20﹣x）cm，
根据题意得：（）2+（）2＝17，
整理得：x2﹣20x+64＝0，
解得：x1＝4，x2＝16（不符合题意，舍去），
∴20﹣x＝20﹣4＝16．
答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm，16cm．
（2）设其中一段铁丝长为acm（0＜a≤10），则另一段铁丝长为（20﹣a）cm，两个正方形的面积之和为wcm2，
根据题意得：w＝（）2+（）2，
即w＝（a﹣10）2+，
∵＞0，
∴当a＝10时，w取得最小值，此时20﹣a＝20﹣10＝10，
答：两个正方形的面积之和存在最小值，此时两段铁丝的长度均为10cm．
5．解：（1）若x＝2，则DE＝2，
∴S△AEF＝AE×AF＝2，S△DFG＝DG×DF＝×1×2＝1，
∴S五边形EFBCG＝S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DFG＝16﹣×4﹣2+×1＝13．
∴所需费用为：20×2+20×1+10×13＝190（元）；
（2）设AE＝AF＝x米，则DF＝（4﹣x）米．
∴S△AEF＝AE×AF＝x2，S△DFG＝DG×DF＝×1×（4﹣x）＝2﹣x，
∴S五边形EFBCG＝S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DFG＝16﹣x2﹣2+x＝﹣x2+x+14，
（3）根据题意得4×[20×x2+20×（2﹣x）+10×（﹣x2+x+14）]＝715，
整理得4x2﹣4x+1＝0，
解得x1＝x2＝．
答：当AE＝AF＝米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元．
6．解：（1）∵移动围栏的总长为140m，且观众席内有x行座椅，
∴每行的座椅数为（140﹣2x）个．
∵140﹣2x≤72，
∴x≥34，
∴x的最小值为34．
（2）座位够坐，理由如下：
依题意得：x（140﹣2x）＝2400，
整理得：x2﹣70x+1200＝0，
解得：x1＝30（不符合题意，舍去），x2＝40，
∴若全校师生共2400人，那么座位够坐．
7．解：（1）①设EF的长为x米，则DE＝38+2+2﹣（3x﹣3）＝（45﹣3x）（米）．
故答案为：（45﹣3x）．
②依题意得：x（45﹣3x）＝132，
整理得：x2﹣15x+44＝0，
解得：x1＝4，x2＝11．
当x＝4时，45﹣3x＝45﹣3×4＝33＞15，不合题意，舍去；
当x＝11时，45﹣3x＝45﹣3×11＝12＜15，符合题意．
答：饲养场的宽EF的长为11米．
（2）不能达到，理由如下：
设EF的长为y米，则DE＝＝米，
依题意得：y•＝156，
整理得：y2﹣20y+104＝0，
∵Δ＝（﹣20）2﹣4×1×104＝﹣16＜0，
∴该方程没有实数根，
即当点F在线段BC延长线上，所围成的饲养场BDEF的面积不能达到156平方米．
8．解：（1）设原正方形空地的边长为xm，则剩余部分长（x﹣4）m，宽（x﹣5）m，
依题意得：（x﹣4）（x﹣5）＝650，
整理得：x2﹣9x﹣630＝0，
解得：x1＝30，x2＝﹣21（不合题意，舍去）．
答：原正方形空地的边长为30m．
（2）设小道的宽度为ym，则栽种鲜花的区域可合成长（30﹣y）m，宽（30﹣1﹣y）m的矩形，
依题意得：（30﹣y）（30﹣1﹣y）＝812，
整理得：y2﹣59y+58＝0，
解得：y1＝1，y2＝58（不合题意，舍去）．
答：小道的宽度为1m．
9．解：（1）存在，理由如下：
假设存在某一时刻t，使DE∥AB，
∴＝，
∵AC＝6，BC＝8，CD＝t，CE＝8﹣2t，
∴＝，
∴t＝，符合题意（t最大为8÷2＝4秒），
∴存在某一时刻t＝秒，使DE∥AB；
（2）设运动t秒时，S＝S△ABC，
根据图示可知，S＝S△ACE﹣S△DCE＝S△ABC，
∵S△ABC＝AC•CB＝×6×8＝24平方厘米，
S△ACE＝AC•CE＝×6×（8﹣2t）＝（24﹣6t）平方厘米，
S△DCE＝CD•CE＝t（8﹣2t）＝（4t﹣t2）平方厘米，
∴S＝（24﹣6t）﹣（4t﹣t2）＝24﹣6t﹣4t+t2＝（t2﹣10t+24）平方厘米，
∴S＝S△ABC，
∴t2﹣10t+24＝×24，
解一元二次方程得：t1＝7，t2＝3，
∵点E到达点C时，点D同时停止运动，在整个运动过程中0≤t≤4，
∴t＝3秒符合题意，
∴此时CD＝3（cm），
∴CD＝3cm时，S＝S△ABC．
10．解：（1）设出发t秒后P、Q两点间的距离是13cm．
则AP＝3t，CQ＝2t，作QM⊥AB于M，
则PM＝|15﹣2t﹣3t|＝|15﹣5t|，
（15﹣5t）2+52＝132，
解得：t＝0.6或t＝5.4，
答：P、Q出发0.6和5.4秒时，P，Q间的距离是13cm；
（2）四边形APDQ的形状有可能为矩形；
理由：
当四边形APQD为矩形，则AP＝DQ，
即3t＝15﹣2t，
解得：t＝3．
答：当P、Q出发3秒时四边形APQD为矩形．
11．解：（1）若运动的时间为ts，则CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2tcm，
∴S＝CP•CQ＝（20﹣4t）×2t＝20t﹣4t2．
又∵，
∴0≤t≤5．
∴Rt△CPQ的面积S＝20t﹣4t2（0≤t≤5）．
（2）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝20﹣4×3＝8（cm），CQ＝2t＝2×3＝6（cm），
∴PQ＝＝＝10（cm）．
（3）依题意得：20t﹣4t2＝××15×20，
整理得：t2﹣5t+6＝0，
解得：t1＝2，t2＝3．
∴t为2或3时，S＝S△ABC．
12．解：（1）设x秒钟后，可使PQ的长为4cm，由题意得：
（6﹣x）2+（2x）2＝（4）2，
解得：x＝2或x＝，
答：P、Q同时出发2或秒钟后，可使PQ的长为4厘米；
（2）不存在．
理由：设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，由题意得：
（6﹣y）•2y＝×6×8，
整理，得y2﹣6y+12＝0，
∵Δ＝36﹣4×12＜0，
∴方程无解，
即：不存在．
13．解：（1）当运动时间为ts时，AP＝3tcm，BP＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm，DQ＝（16﹣2t）cm．
故答案为：3tcm；（16﹣3t）cm；2tcm；（16﹣2t）cm．
（2）依题意得：[（16﹣3t）+2t]×6＝33，
整理得：16﹣t＝11，
解得：t＝5.
答：当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|（16﹣3t）﹣2t|＝|16﹣5t|，如图所示．
依题意得：|16﹣5t|2+62＝102，
即（16﹣5t）2＝82，
解得：t1＝，t2＝．
答：当t为或时，点P和点Q的距离为10cm．
14．解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于△ABC的三分之一，根据题意得：
×2t（6﹣t）＝××6×8，
解得：t＝2或4．
答：2秒或4秒后，△PBQ的面积等于△ABC的三分之一．
（2）设x秒时，P、Q相距6厘米，根据题意得：
（6﹣x）2+（2x）2＝36，
解得：x＝0（舍去）或x＝．
答：秒时，P、Q相距6厘米．
15．解：（1）经过秒时，AP＝cm，BQ＝cm，
∵△ABC是边长为3cm的等边三角形，
∴AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝3﹣＝cm，
∴△PBQ的面积＝BP•BQ•sin∠B＝×××＝；
（2）设经过t秒△PBQ是直角三角形，
则AP＝tcm，BQ＝tcm，
△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝（3﹣t）cm，
△PBQ中，BP＝（3﹣t）cm，BQ＝tcm，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，
当∠BQP＝90°时，BQ＝BP，
即t＝（3﹣t），t＝1（秒），
当∠BPQ＝90°时，BP＝BQ，
3﹣t＝t，t＝2（秒），
答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．
（3）过P作PM⊥BC于M，
△BPM中，sin∠B＝，
∴PM＝PB•sin∠B＝（3﹣t），
∴S△PBQ＝BQ•PM＝•t•（3﹣t），
∴y＝S△ABC﹣S△PBQ＝×32×﹣×t×（3﹣t）
＝t2﹣t+，
∴y与t的关系式为y＝t2﹣t+，
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，
则S四边形APQC＝S△ABC，
∴t2﹣t+＝××32×，
∴t2﹣3t+3＝0，
∵（﹣3）2﹣4×1×3＜0，
∴方程无解，
∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．
16．解：（1）设经过ts，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，则DN＝2tcm，AM＝tcm，AN＝AD﹣DN＝（6﹣2t）cm，
∴AN•AM＝AD•AB，即（6﹣2t）t＝×6×3，
整理得：t2﹣3t+2＝0，即（t﹣1）（t﹣2）＝0，
解得：t1＝1，t2＝2，
则经过1s或2s，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的；
（2）不存在，理由为：假设存在时间ts，使△AMN的面积达到3.5cm2，
则AN•AM＝3.5，
整理得：2t2﹣6t+7＝0，
∵Δ＝36﹣56＝﹣20＜0，
∴方程没有实数根，
则△AMN的面积不能达到3.5cm2．
17．解：（1）∵AP＝t，CQ＝2t，
∴t＝3时，AP＝3，CQ＝6，
∴PC＝6﹣3＝3
在Rt△PCQ中，由勾股定理，得
PQ＝＝3．
答：PQ＝3；
（2）∵AP＝t，CQ＝2t，
∴PC＝6﹣t．
∴（6﹣t）×2t＝8，
解得：t1＝2，t2＝4．
（3）PQ、CD不互相平分．
当PQ、CD互相平分，
∴四边形PCQD是平行四边形，
∴PD∥CQ．PD＝CQ．
∵点D为AB的中点，
∴P是AC的中点，
∴AP＝AC＝3，PD＝CQ＝BC＝4．
∴t＝≠．
∴PQ、CD不互相平分．
18．解：（1）由函数图象，得
OQ＝2t，
故答案为：2t；
（2）当P在AO上，
，
解得：t1＝2，t2＝4．
∵t1＝2，t2＝4在0＜t＜6范围内，
∴t1＝2，t2＝4．
P在BO上，
＝8，
解得：t3＝3+，t4＝3﹣．
∵t3＝3+在6＜t＜12范围内，
∴t3＝3+；
（3）在Rt△BOQ中，由勾股定理，得
BQ2＝4t2+36，
BP＝12﹣t，BP2＝144﹣24t+t2，
∵△PBQ是等腰三角形，
∴PB＝BQ，
∴PB2＝BQ2，
∴4t2+36＝144﹣24t+t2，
解得：t1＝﹣4+2，t2＝﹣4﹣2（舍去）．
当PB＝PQ时，BP2＝144﹣24t+t2，PQ2＝4t2+（6﹣t）2，
t1＝，t2＝（舍去）．
故答案为：﹣4+2或．
19．解：（1）设x秒后，可使△CPQ的面积为8cm2．
由题意得，AP＝xcm，PC＝（6﹣x）cm，CQ＝2xcm，
则（6﹣x）•2x＝8，
整理，得x2﹣6x+8＝0，
解得x1＝2，x2＝4．
则P、Q同时出发，2秒或4秒后可使△CPQ的面积为8cm2
（2）设运动y秒时，△CPQ与△ABC相似．
若△CPQ∽△CAB，
则＝，
即＝，
解得y＝2.4秒；
若△CPQ∽△CBA，则＝，
即＝，
解得y＝秒．
综上所述，运动2.4秒或秒时，△CPQ与△ABC相似．
20．解：（1）设经过t秒，△PBQ的面积等于8cm2则：
BP＝6﹣t，BQ＝2t，
所以S△PBQ＝×（6﹣t）×2t＝8，即t2﹣6t+8＝0，
可得：t＝2或4，即经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2．
（2）根据（1）中所求出的S△PBQ＝PB•BQ＝×（6﹣t）×2t，
整理得S△PBQ＝﹣t2+6t（0＜t＜6）．
则S五边形APQCD＝S矩形ABCD﹣S△PBQ＝72﹣（﹣t2+6t）＝t2﹣6t+72＝（t﹣3）2+63（0＜t＜6），
当t＝﹣＝3时，S五边形APQCD＝63，
故当t＝3秒，五边形APQCD的面积最小，最小值是63cm2，
（3）当t＝1.5s时，
AP＝1.5，BP＝4.5，CQ＝9，
∴DP2＝146.25，PQ2＝29.25，DQ2＝117，
∴PQ2+DQ2＝DP2，
∴△DPQ为Rt△；
（4）SDPBQ＝6×12﹣t×12﹣×6（12﹣2t），
＝72﹣36，
＝36，
∴四边形DPBQ的面积是固定值36．
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