新高考数学二轮复习专题一第3讲导数的几何意义及函数的单调性课件

这是一份新高考数学二轮复习专题一第3讲导数的几何意义及函数的单调性课件，共60页。PPT课件主要包含了导数的几何意义与计算，考点一，易错提醒，考点二，规律方法，单调性的简单应用，考点三，专题强化练，综上acb，x＋y－8＝0等内容，欢迎下载使用。

1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填 空题的形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型， 以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属 综合性问题.
1.导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.(3)切点既在切线上，又在曲线上.2.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′ x＝y′u·u′x.
(1)(2022·焦作模拟)函数f(x)＝(2ex－x)·cs x的图象在x＝0处的切线方程为A.x－2y＋1＝0 B.x－y＋2＝0C.x＋2＝0 D.2x－y＋1＝0
由题意，函数f(x)＝(2ex－x)·cs x，可得f′(x)＝(2ex－1)·cs x－(2ex－x)·sin x，所以f′(0)＝(2e0－1)·cs 0－(2e0－0)·sin 0＝1，f(0)＝(2e0－0)·cs 0＝2，所以f(x)在x＝0处的切线方程为y－2＝x－0，即x－y＋2＝0.
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_______________________.
(－∞，－4)∪(0，＋∞)
因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a) )，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝
求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
(1)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________，_________.
先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，
解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，
设直线y＝kx与函数f(x)，g(x)的图象相切的切点分别为A(m，km)，B(n，kn).
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数单调性的步骤(1)求函数y＝f(x)的定义域.(2)求f(x)的导数f′(x).(3)求出f′(x)的零点，划分单调区间.(4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号.
(2022·哈师大附中模拟)已知函数f(x)＝axex－(x＋1)2(a∈R，e为自然对数的底数).(1)若f(x)在x＝0处的切线与直线y＝ax垂直，求a的值；
f′(x)＝(x＋1)(aex－2)，则f′(0)＝a－2，由已知得(a－2)a＝－1，解得a＝1.
(2)讨论函数f(x)的单调性.
f′(x)＝(x＋1)(aex－2)，①当a≤0时，aex－2<0，所以f′(x)>0⇒x<－1，f′(x)<0⇒x>－1，则f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减；
(ⅱ)当a＝2e时，f′(x)＝2(x＋1)(ex＋1－1)≥0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
综上，当a≤0时，f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减；
当a＝2e时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
(1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制；(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论；(3)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.
(1)当t＝2时，求f(x)在x＝1处的切线方程；
∴f′(1)＝ln 2－1，又f(1)＝ln 2，∴切线方程为y－ln 2＝(ln 2－1)(x－1)，即y＝(ln 2－1)x＋1.
(2)求f(x)的单调区间.
∴f(x)的定义域为(0，t)∪(t，＋∞)，且t>0，
∴当x∈(0，t)时，φ′(x)>0，
当x∈(t，＋∞)时，φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，t)上单调递增，在(t，＋∞)上单调递减，∴φ(x)<φ(t)＝0，∴f′(x)<0，∴f(x)在(0，t)，(t，＋∞)上单调递减.即f(x)的单调递减区间为(0，t)，(t，＋∞)，无单调递增区间.
1.函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈D上恒成立.2.函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f′(x)>0(或f′(x)<0)在x∈D上有解.
f′(x)＝ex(cs x－a)＋ex(－sin x)＝ex(cs x－sin x－a)，
即cs x－sin x－a≤0恒成立，
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)设a＝0.1e0.1，b＝ ，c＝－ln 0.9，则A.a设u(x)＝xex(0w(x)＝－ln(1－x)(00，v(x)>0，w(x)>0.①设f(x)＝ln[u(x)]－ln[v(x)]＝ln x＋x－[ln x－ln(1－x)]＝x＋ln(1－x)(0所以f(x)在(0,0.1]上单调递减，所以f(0.1)②设g(x)＝u(x)－w(x)＝xex＋ln(1－x)(0设h(x)＝(1－x2)ex－1(00在(0,0.1]上恒成立，所以h(x)在(0,0.1]上单调递增，所以h(x)>h(0)＝(1－02)·e0－1＝0，即g′(x)>0在(0,0.1]上恒成立，所以g(x)在(0,0.1]上单调递增，所以g(0.1)>g(0)＝0·e0＋ln(1－0)＝0，即g(0.1)＝u(0.1)－w(0.1)>0，所以0.1e0.1>－ln 0.9，即a>c.综上，c利用导数比较大小或解不等式的策略利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或求解不等式的问题，转化为利用导数研究函数单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式.
　 (1)(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则A.a＞0＞b B.a＞b＞0C.b＞a＞0 D.b＞0＞a
∵9m＝10，∴m∈(1,2)，令f(x)＝xm－(x＋1)，x∈(1，＋∞)，∴f′(x)＝mxm－1－1，∵x>1且11，∴f′(x)>0，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，又9m＝10，∴9m－10＝0，即f(9)＝0，又a＝f(10)，b＝f(8)，∴f(8)(2)已知变量x1，x2∈(0，m)(m>0)，且x1∵ ⇒x2ln x10，
∵x1即函数f(x)的单调递增区间是(0，e)，则m的最大值为e.
一、单项选择题1.(2022·张家口模拟)已知函数f(x)＝ －2x＋ln x，则函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为A.2x＋y－2＝0 B.2x－y－1＝0C.2x＋y－1＝0 D.2x－y＋1＝0
又f(1)＝－1，故函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－1)，化简得2x＋y－1＝0.
2.已知函数f(x)＝x2＋f(0)·x－f′(0)·cs x＋2，其导函数为f′(x)，则f′(0)等于A.－1 B.0C.1 D.2
因为f(x)＝x2＋f(0)·x－f′(0)·cs x＋2，所以f(0)＝2－f′(0).因为f′(x)＝2x＋f(0)＋f′(0)·sin x，所以f′(0)＝f(0).故f′(0)＝f(0)＝1.
3.(2022·重庆检测)函数f(x)＝e－xcs x(x∈(0，π))的单调递增区间为
f′(x)＝－e－xcs x－e－xsin x
4.(2022·厦门模拟)已知函数f(x)＝(x－1)ex－mx在区间x∈[1,2]上存在单调递增区间，则m的取值范围为A.(0，e) B.(－∞，e)C.(0,2e2) D.(－∞，2e2)
∵f(x)＝(x－1)ex－mx，∴f′(x)＝xex－m，∵f(x)在区间[1,2]上存在单调递增区间，∴存在x∈[1,2]，使得f′(x)>0，即m0恒成立，∴g(x)＝xex在[1,2]上单调递增，∴g(x)max＝g(2)＝2e2，∴m<2e2，故实数m的取值范围为(－∞，2e2).
5.(2021·新高考全国Ⅰ)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则A.eb(用图估算法)过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则点(a，b)在曲线y＝ex的下方且在x轴的上方，得0A.a>b>c B.a>c>bC.b>a>c D.c>b>a
当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0；所以f(x)＝ln x＋1－x在(0,1)上单调递增，
二、多项选择题7.若曲线f(x)＝ax2－x＋ln x存在垂直于y轴的切线，则a的取值可以是
依题意，f(x)存在垂直于y轴的切线，即存在切线斜率k＝0的切线，
8.已知函数f(x)＝ln x，x1>x2>e，则下列结论正确的是
∵f(x)＝ln x是增函数，∴(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，A错误；
当x>e时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
当x>e时，g′(x)<0，g(x)单调递减，∴g(x1)三、填空题9.(2022·保定模拟)若函数f(x)＝ln x－ ＋m在(1，f(1))处的切线过点(0,2)，则实数m＝___.
可得f′(1)＝2，且f(1)＝m－2，
10.已知函数f(x)＝x2－cs x，则不等式f(2x－1)f(x)的定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cs(－x)＝x2－cs x＝f(x)，∴f(x)为偶函数.当x>0时，f′(x)＝2x＋sin x，令g(x)＝2x＋sin x，则g′(x)＝2＋cs x>0，∴f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f′(x)>f′(0)＝0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，∴原不等式化为|2x－1|<|x＋1|，解得011.(2022·伊春模拟)过点P(1,2)作曲线C：y＝ 的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为______________.
同理可得2x2＋y2－8＝0，所以直线AB的方程为2x＋y－8＝0.
不妨设x1令g(x)＝x2－(3＋a)x＋1，要使F′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，只需g(x)＝x2－(3＋a)x＋1≥0恒成立，
所以3＋a≤2，即a≤－1.
四、解答题13.(2022·滁州模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋aln x(a∈R).(1)若函数在x＝1处的切线与直线x－4y－2＝0垂直，求实数a的值；
由已知得f′(1)＝2×1－2＋a＝－4，得a＝－4.
(2)当a>0时，讨论函数的单调性.
对于方程2x2－2x＋a＝0，记Δ＝4－8a.
又a>0，故x2>x1>0.
当x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(x1，x2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减.
14.(2022·湖北八市联考)设函数f(x)＝ex－(ax－1)ln(ax－1)＋(a＋1)x.(e＝2.718 28…为自然对数的底数)(1)当a＝1时，求F(x)＝ex－f(x)的单调区间；
当a＝1时，F(x)＝ex－f(x)＝(x－1)ln(x－1)－2x，定义域为(1，＋∞)，F′(x)＝ln(x－1)－1，令F′(x)>0，解得x>e＋1，令F′(x)<0，解得1

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