2023届高考数学二轮复习专题一函数与导数第4讲导数与函数的单调性、极值、最值课件
展开感悟高考 明确备考方向
1.[函数的极值](2021·全国乙卷,T10)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则( )A.a
解析:令f(x)=0,解得x=a或x=b,即x=a及x=b是f(x)的两个零点.当a>0时,由三次函数的性质可知,要使x=a是f(x)的极大值点,则函数f(x)的大致图象如图所示,则0
3.[导数的几何意义](2021·新高考Ⅰ卷,T7)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则( )A.eb5.[函数的最值](2021·新高考Ⅰ卷,T15)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为 .
本讲内容是高考考查的重点与难点,主要涉及以下三个方面:(1)导数的几何意义和计算是导数应用的基础,是高考的热点,多以选择题、填空题的形式考查,难度较小.(2)应用导数研究函数的单调性,是导数应用的重点内容,也是高考的常见题型,以选择题、填空题的形式考查,或以导数解答题第一问的形式考查,难度中等偏上,属综合性问题.(3)利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容,多在选择题、填空题靠后的位置考查,或以解答题的形式出现,难度中等偏上,属综合性问题.
突破热点 提升关键能力
热点一 导数的几何意义
1.复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y′x=y′u·u′x.2.导数的几何意义曲线的切线问题,把握以下三点:(1)切点在曲线上.(2)切点在切线上.(3)导数即斜率.解决切线问题的关键是确定切点坐标.
典例1 (1)(2022·河南新乡三模)若函数f(x)=ex+x3+a的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=kx+2k,则a=( )A.1B.-1C.0D.2
解析:(1)因为f(x)=ex+x3+a,则f′(x)=ex+3x2,则f′(0)=1=k,即切线方程为y=x+2,所以f(0)=1+a=2,解得a=1.故选A.
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是 .
答案:(2)(-∞,-4)∪(0,+∞)
求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异,过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为切点.
热点训练1 (1)(2022·河北秦皇岛二模)已知函数f(x)为偶函数,当x>0时, f(x)=ln x-e1-x,则曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为( )A.y-e2+1=0B.y+1=0C.(e2-1)x-y+e2-2=0D.2x+y+3=0
(2)(2022·新高考Ⅱ卷) 曲线y=ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为 , .
热点二 利用导数研究函数的单调性
1.单调性的应用(1)函数f(x)在区间D上单调递增(或递减),可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈D上恒成立.(2)函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间,可转化为f′(x)>0(或f′(x)<0)在x∈D上有解.2.利用导数研究函数单调性的步骤(1)研究函数y=f(x)的定义域.(2)求f(x)的导数f′(x).(3)求出f′(x)的零点,划分单调区间.(4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号.
讨论含参数可导函数的单调性常见的四个方面:(1)二次项系数的讨论.(2)根的存在性讨论,“Δ”的讨论.(3)根大小的讨论.(4)根在不在定义域内的讨论.提醒:若可导函数f(x)在区间D上单调递增,则有f′(x)≥0在区间D上恒成立,但反过来不一定成立.
热点训练2 (2021·新高考Ⅱ卷节选)已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2+b.讨论函数f(x)的单调性.
解:由题意知f(x)的定义域为R,f′(x)=xex-2ax=x(ex-2a).①当a≤0时,令f′(x)=0⇒x=0,且当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
热点三 利用导数研究函数的极值和最值
1.判断函数的极值点,主要有两点(1)导函数f′(x)的变号零点,即为函数f(x)的极值点.(2)利用函数f′(x)的单调性可得函数的极值点.2.求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a,b)内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f(a),f(b).(3)将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.3.若函数含有参数或区间含有参数,则需对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数的最值.
答案:(2)4-2ln 2
(1)求函数的极值或最值时,不能忽略函数的定义域.(2)f′(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件,即f′(x)的变号零点才是f(x)的极值点,所以判断f(x)的极值点时,除了找f′(x)=0的实数根x0外,还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性.(3)函数的极小值不一定比极大值小.(4)求函数最值时,不可想当然地认为极值就是最值,要通过比较大小才能下 结论.(5)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值,还需研究单调性,结合单调性和极值情况,画出函数图象,借助图象得到函数的最值.
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