第3章 第1课时 函数的概念 课后-高中数学人教A版（2019）必修第一册课前课中课后同步试题精编

函数的表示方法

学习目标：

1.掌握函数的三种表示方法，会正确表示函数；

2.会求不同问题背景下的函数的解析式，理解解析式求法蕴含的数学思想；

3.理解分段函数和复合函数，会求处理简单的分段函数与复合函数问题.

知识要点：

1.函数的表示方法

（1）解析法：用______表示两个变量之间的对应关系；

（2）列表法：列出____来表示两个变量之间的对应关系；

（3）图像法：用____图象表示两个变量之间的对应关系.

2.分段函数：函数在定义域的不同范围上有不同的_____即.

3.复合函数：形如形式的函数称为复合函数，其中称为____，称为内函数,

典型例题：

题组一　列表法及其应用

例1. 2015年以来，我国的年度数据如下表：

设时间为，与其对应的年度GDP为，那么（    ）

A．68.5506 B．74.4127 C．82.7121 D．91.9281

变式：对于函数，部分x与y的对应关系如下表：

数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，则（    ）

A．7576 B．7575 C．7569 D．7564

题组二　图象法及其应用

例2. 图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为，注水时间为，则下面选项中最符合关于的函数图象的是（ ）

A． B．

C． D．

变式：如图所示是一个无水游泳池，是一个四棱柱，游泳池是由一个长方体切掉一个三棱柱得到的．现在向泳池注水，如果进水速度是均匀的（单位时间内注入的水量不变），水面与的交点为，则的高度随时间变化的图象可能是（    ）

A． B． C． D．

题组三　函数解析式的求法

例3. （1）已知，求；

（2）已知，求；

（3）已知，求；

变式：（1）；

（2）已知，求．

题组四　分段函数及其应用

例4. 函数的图象如图所示，曲线为抛物线的一部分．

（Ⅰ）求解析式； 

（Ⅱ）若，求的值；

变式：已知函数（）.

（1）用分段函数的形式表示该函数；

（2）画出该函数的图象；

（3）写出该函数的值域.

题组五　实际问题中的函数表示

例5.如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为cm，面积为cm2，把表示成的函数，并指出自变量的范围.

变式：如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为.试求函数的解析式，并画出函数的图象.

当堂检测：

1.一个变量随另一变量变化．对应关系是“2倍加1”：

（1）填表．

（2）根据表格填空：时，_______．

（3）写出解析式：_______．

3．已知函数则_____________.

4.关于直线与函数的图象的交点有如下四个结论，其中正确的是（    ）

A．不论为何值时都有交点 B．当时，有两个交点

C．当时，有一个交点 D．当时，没有交点

5. （1）已知是一次函数，且满足，求的解析式.

（2）已知，求的解析式，

6．已知函数．

（1）试比较与的大小；

（2）画出函数的图象；

（3）若，求的值．

参考答案：

知识要点：

1.（1）解析式；（2）表格；（3）图象.

2.解析式

3.复合函数：外函数,

典型例题：

例1. D

解：由题意可得，

故选：D

变式：A

，，，，， ，

数列满足，

则.

故选：A.

例2. A

水壶的结构：低端与上端细、中间粗，

所以在注水恒定的情况下：

开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后水上升的速度又变快，

由图可知选项A符合，

故选：A

变式：A

由题意可知，当往游泳池内注水时，游泳池内的水呈“直棱柱”状，且直棱柱的高不变，

刚开始水面面积逐渐增大，水的高度增长得越来越慢，

当水面经过点后，水面的面积为定值，水的高度匀速增长，

故符合条件的函数图象为A选项中的图象.

故选：A.

例3.（1），

令，则，

，

；

（2），

；

（3），将原式中的x与互换，得.

于是得关于f(x)的方程组

解得.

变式：（1）设，则，得，

则

所以；

（2）∵，

将x换成－x，得，

∴将以上两式消去，得，∴.

例4. （1）当，函数图象为直线且过点，所以；

当时，函数图象为抛物线，设函数解析式为，

当时，，解得，所以，

所以．

（2）当时，令，解得；

当时，令，解得 ，

因为，所以，

所以或；

变式：（1）当时，；当时，.

∴

（2）函数的图象如图所示，

（3）由（1）知，在上的值域为.

例5.因为半径为25cm, 矩形的一边长为x cm,则矩形另一边为，所以矩形面积,由于矩形内接于圆，所以其边长的范围是：，把y表示成x的函数为:，.

变式：（1）当时，

如图，设直线与分别交于、两点，则，

又，，

（2）当时，

如图，设直线与分别交于、两点，则，

又，，

，

（3）当时，，

综上所述，

当堂检测：

1.（2）；（3）y=2x+1．

解：（1）因为变量y随另一变量x变化，对应关系是“2倍加1”：

完整的表格如表所示：

（2）根据表格填空：时，；

（3）根据题意，函数的解析式：y=2x+1．

故答案为：（1）填表见解析；（2）；（3）2x+1.

3．4

∵，∴，又∵，∴，∴.

故答案为：4.

4.BCD

由题意得，，作此函数图像如下图折线所示；即平行于轴的直线，作图像如下图直线所示.

对于A，由图可知，当时，直线与函数的图象无交点，故A错误；

对于B，由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，故B正确；

对于C，由图可知，当时，直线与函数的图象，有一个交点，故C正确；

对于D，由图可知，当时，直线与函数的图象无交点，故D正确.

故选:BCD

5.（1）；（2）.

（1）因为是一次函数，所以设，又因为，所以，整理得，故，解得，所以;

（2）令，则，所以，即.

6．解：（1）∵，∴，

又∵，∴，

∵，∴，∴，

所以.

（2）图象如图所示，

（3）当时，有，解得；

当时，有，解得

或，

但，故舍去，所以的值为3，

综上所述：的值为或3．