第3章 第3课时 函数的单调性 课前-高中数学人教A版（2019）必修第一册课前课中课后同步试题精编

函数的单调性

学习目标：

1.理解函数单调性，能进行函数单调性的简单证明．

2.能利用单调性解决函数不等式问题

知识要点：

1.函数的单调性

设函数的定义域为，区间；

（1）如果，当时，都有_______，那么就称函数在区间上单调递增；

（2）如果，当时，都有_______，那么就称函数在区间上单调递减；

2.增函数与减函数

（1）当函数在它的定义域上是单调递增时，我们就称它是___函数；

（2）当函数在它的定义域上是单调递减时，我们就称它是___函数；

典型例题：

题组一 函数的单调与函数的图象

例1. 已知函数的图像如图所示，则函数的单调递增区间是_______；单调递减区间是_________

变式：已知函数

（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象.

（2）写出此函数的单调区间，并写出值域.

题组二　不含参数的函数单调性的判断与证明

例2. 用定义证明在上单调递增．

变式：已知函数.

（1）求 ；

（2）判断函数在上的单调性并用定义证明.

题组三　复合函数单调性的判断

例3. 已知函数，在上单调递增，且，求证：函数在上单调递增．

变式：（1）请完成下面的表格：（均为上的函数）

（2）依据（1）的结果，解决问题：“已知函数，试写出函数的单调区间.”

题组四　函数不等式的解法

例4. 已知是定义在上的单调递增函数，且，则满足的的取值范围是_______.

变式：函数满足：对任意的总有．则不等式的解集为________．

题组五　由函数的单调性确定参数的取值范围

例5. 已知函数在上为增函数，求实数k的取值范围.

变式：已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A．，， B．

C．，， D．，，

当堂检测：

1．（多选）若函数的图象如图所示，则下列区间是函数的单调递减区间的为（    ）

A． B． C． D．

2.函数在上为增函数，则的一个单调递减区间是_________.

3．已知函数.

（1）当时，判断的单调性并证明；

（2）若不等式成立，求实数的取值范围.

4. 已知函数＝，若函数在区间上单调递减，求出a的取值范围.

参考答案：

知识要点：

1.（1）；（2）

2.（1）增；（2）减

典型例题：

例1. ；   

观察图像，图像上升对应的为增区间，故增区间为；

图像下降对应的为减区间，故减区间为；

变式：（1）图象如图所示

（2）定义域为R，增区间为[1，3]，减区间为、、，值域为.

例2. 证明：任取，，且.

因为.

又，所以，.

有，，

所以，即.

所以函数在上单调递增.

变式：（1）因为，所以；

（2）函数在上单调递减，证明如下：

设是内任意两个实数，且，则有，

，

因为，所以，因此，

所以函数在上单调递减.

例3. 任取，，且，

因为在上单调递增，

所以．

又在上单调递增，，

所以，

所以函数在上单调递增．

变式：（1）

（2）令，

则当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递增；

又函数在上单调递增，在上单调递减，

所以函数在和上单调递减，在和上单调递增，

所以函数的单调增区间为和，减区间为和.

例4.

因为，所以和化为，

又因为f(x)是定义在上的单调递增函数，

所以，解得.

故答案为：.

变式：

因为对任意的总有

所以函数是上的单调增函数，

从而由得，解得．

故答案为：

例5. 当时，在上为增函数，符合题意；

当时，函数的对称轴为，则或，解得或

综上可得，实数k的取值范围是

变式：C

解：根据题意，函数，

若在区间上单调递减，必有，

解可得：或，即的取值范围为，，，

故选：C．

当堂检测：

1．AD

由图，可得在上递减，在上递增，在上递减，

∴的单调递减区间为．

故选：AD．

2.

函数为上的增函数，

偶函数在上单调递增，在单调递减，

而是向左平移一个单位后得到的，

单调递减区间是，

故答案为：.

3．（1）设任意的，且，

，

因为，所以，，，

所以，即，可得，

所以在上单调递增，

（2），，

且函数在上单调递增，

所以由可得，

即，解得：，

所以实数的取值范围是.

4.（1）若函数在区间上单调递减，则，

证明：任取，且，

则

由得，

所以

即，

所以函数f(x)在定义域上单调递减；