【期末·解答题专练】2022-2023学年 人教版数学九年级-专题06《圆》期末解答题必刷训练

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2圆
1．如图，⊙O的直径BE为4，∠BAE的平分线AD交⊙O于点D，交BE于点F，C是BE延长线上一点，且FC＝AC．
（1）求BD的长．
（2）求证：AC是⊙O的切线．

【答案】（1）；（2）见解析
【分析】
（1）连接OD，根据角平分线的定义和圆周角定理可得∠BOD=2∠BAD=90°，由勾股定理求解即可；
（2）连接OA，根据等腰三角形等边对等角性质可得∠CAF=∠CFA，∠OAF=∠ODF，进而可证明OA⊥AC，根据圆的切线的判定即可证得结论．
【详解】
（1）解：连接OD，
∵⊙O的直径BE为4，
∴∠BAE=90°，BO=OD=2，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BOD=2∠BAD=90°，
在Rt△BOD中，由勾股定理得：；
（2）证明：连接OA，
∵FC=AC，OA=OD，
∴∠CAF=∠CFA，∠OAF=∠ODF，
∵∠CFA=∠DFO，∠BOD=90°，
∴∠CAF+∠OAF=∠CFA+∠ODF=∠DFO+∠ODF=90°，
∴∠OAC=90°，即OA⊥AC，
∵OA为⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．

【点睛】
本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、角平分线的定义、勾股定理、对顶角相等、切线的判定、直角三角形的两锐角互余等知识，解答的关键是熟练掌握相关知识的联系与运用．
2．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙P经过原点，交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，3），点C是劣弧OA的中点，连接BC．
（1）求⊙P的半径
（2）求弦BC的长

【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用A，B点坐标得出AO，BO的长，进而得出AB的长，即可得出圆的半径；
（2）连接PC交OA于点H，连接AC，先根据勾股定理得出PH=，AC=，最后根据勾股定理求出结果．
【详解】
（1）解：∵⊙P过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），
∴AB是⊙O的直径，AO=4，BO=3，
由题意可得出：OA2+OB2=AB2，
∴AB=5，
∴⊙P的半径为；
（2）连接PC交OA于点H，连接AC，
∵点C是劣弧OA的中点，
∴OH=AH==2，PH⊥OA，
∵PA=，
∴PH==，
∴CH=PC-PH=-=1，
∴AC=，
∵AB为⊙P的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC==2．

【点睛】
本题考查了垂径定理以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
3．已知△ABC内接于⊙O，AB=AC， 点D是⊙O上一点．
（1）如图①，若∠BAC=40°BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；
（2）如图②，若CD∥BA，连接AD，延长OC到E，连接DE．使得3∠BAC-∠E=90°，判断DE与⊙O关系并证明．

【答案】（1）50°，20°；（2）DE为⊙O的切线，证明见解析．
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC=70°，再根据圆周角定理得到∠BCD=90°，∠D=40°，利用互余计算出∠DBC的度数，利用圆周角定理计算∠ABD的度数，从而得到∠ACD的度数；
（2）连接AO，并延长AO交BC于点F，证明∠OCA=∠OAC=∠BAC，连接OD，证明3∠BAC+∠COD=180︒减去3∠BAC-∠E=90°即可进一步证明结论．
【详解】
解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠BAC）=×（180°-40°）=70°，
∵BD为直径，
∴∠BCD=90°，
∵∠D=∠BAC=40°，
∴∠DBC=90°-∠D=90°-40°=50°；
∴∠ACD=∠ABD=∠ABC-∠DBC=70°-50°=20°；
（2）DE为⊙O的切线．
证明：如图，连接AO，并延长AO交BC于点F，

∵AB=AC
∴∠FAC=∠BAC
∵OA=OC
∴∠OCA=∠OAC=∠BAC
连接OD，
∵OC=OD
∴∠OCD=∠ODC=∠OCA+∠ACD
∵AB//CD
∴∠ACD=∠BAC
∴∠OCD=∠ODC=
∴∠OCD+∠ODC+∠COD=3∠BAC+∠COD=180︒①
∵3∠BAC-∠E=90°
∴①-②得：∠COD+∠E=90︒
∴∠ODE=90°,即
∴∵DE为⊙O的切线．
【点睛】
本题考查了切线的判定，圆周角定理以及直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解答本题的关键．
4．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA．

（1）求证：OA=OB；
（2）连接AD，若⊙O的半径为2，求AD．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）连接OE，根据切线的性质得，则可判断OE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质即可得出结论；
（2）先证明AO平分，再证明，可得出AC和CD的值，最后根据勾股定理即可得出答案．
【详解】
（1）证明：连接OE，如图：

以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，

E是AB中点，
OE垂直平分AB

（2）
AO平分

由（1）知，OA=OB





在中，．

【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
5．已知的直径，是的弦，

（1）如图1，若，垂足为M，，求 的长；
（2）如图2，若平分，求的长．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据，求出，连接，利用勾股定理求出，再利用垂径定理求出答案即可；
（2）连接，根据角平分线的性质及同弧所对的圆周角相等证得，推出，利用直径推出，再根据勾股定理得到，由此求出答案．
【详解】
解：（1）∵直径，
∴，
∵，
∴，
连接，
∵，
∴∠，，
∴，
∴，
解得，
∴

（2）连接，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
＝．

【点睛】
此题考查圆的知识：垂径定理，圆周角定理以及勾股定理和角平分线的性质，熟记圆的基础知识并熟练应用是解题的关键．
6．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝60°，BE⊥AC于点E，延长线交⊙O于点P．
（1）如图①，若△ABC是等边三角形，求证：OE＝PE；
（2）如图②，当点A在直线BC上方运动时（包括点B、C），作CQ⊥AB交BE于点H，
①求证：HE＝PE；
②若BC＝3，求点H运动轨迹的长度．

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②
【分析】
（1）由圆周角定理可得∠BPC=∠BAC=60°再由OC=OP，可证△OCP是等边三角形，再由CE⊥OP，即可得到OE=PE；
（2）①连接PC，同理可得∠BPC=∠BAC=60°，然后证明∠ACQ=30°，则可得到∠CHE=60°，可证△CPH是等边三角形，由此即可证明；
②由①得∠CHP=60°，得到∠BHC=120°，则H是在以BC为弦，圆周角∠BHC=120°的圆上运动，由此利用弧长公式求解即可．
【详解】
解：（1）如图所示，连接OC，PC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BPC=∠BAC=60°，
∵圆O是△ABC的外接圆，
∴圆O是△ABC三边的垂直平分线的交点，
∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，
∴BE在线段AC的垂直平分线上，
∴O在线段BP上，
∴OC=OP，
∴△OPC是等边三角形，
∵CE⊥OP，
∴OE=PE；

（2）①如图所示，连接PC，
同理可得∠BPC=∠BAC=60°，
∵CQ⊥AB，
∴∠AQC=90°，
∴∠ACQ=30°，
又∵AC⊥BE，
∴∠CEH=90°，
∴∠CHE=60°，
∴△CPH是等边三角形，
∴PE=HE；

②由①得∠CHP=60°，
∴∠BHC=120°，
∵BC=4，
∴H是在以BC为弦，圆周角∠BHC=120°的圆上运动，
如图所示，劣弧即为H的运动轨迹，过点作于G，
∴
∵∠BHC=120°
∴，
∴，
∴∠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

【点睛】
本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，等边三角形的性质与判定，弧长公式，弧、弦与圆心角的关系，含30度角的直角三角形的性质，弧长公式，解题的关键在于能够熟练掌握等边三角形的性质与判定条件．
7．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若DF＝7，AC＝24，求⊙O的直径．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为的中点；
（2）设⊙O的半径为R，，连接OC，运用勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA=90°，
∴OF⊥AC，
∴，
即点D为的中点．
（2）连接OC，如图，

设⊙O的半径为R，
∵DF=7
∴OF=R-7
∵AC=24
∴CF=12
在Rt△OCF中，
∴
解得，
∴⊙O的直径=
【点睛】
本题考查了圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
8．如图，为外接圆⊙O的直径，且与⊙O相切于点．

（1）求证：；
（2）若，，，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）5
【分析】
（1）连接OA，根据切线的性质得出∠OAB+∠BAE=90°，根据圆周角定理得到∠DAO+∠OAB=90°，∠D=∠C，再推出∠DAO=∠BAE，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAO，从而推出∠BCA=∠BAE
（2）根据垂径定理求出BF，根据勾股定理求出AF，再根据勾股定理求出OB即可．
【详解】
解：证明：（1）连接OA交BC于点F，

∵AE与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AE，即∠OAB+∠BAE=90°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠DAB=∠DAO+∠OAB=90°，
∴∠DAO=∠BAE，
∵OA=OD，
∴∠C=∠DAO，
∵由圆周角定理得：∠D=∠C，
∴∠D=∠DAO，
∴∠DAO=∠BAE，
∴∠BCA=∠BAE；
（2）解：∵AE∥BC，AE⊥OA，
∴OA⊥BC，
∴FB=BC=×8=4，
∴在Rt△ABF中，AF==2，
∵在Rt△OFB中，OB2=BF2+OF2，
∴OB2=42+（0B-2）2，
∴OB=5，
∴⊙O的半径为5．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
9．如图，中，，，，它的内切圆分别和，，切于点，，，求，和的长．

【答案】AE=4，BD=9，CF=5
【分析】
设AE=x，根据切线长定理得到AF=AE=x，BE=BD=13-x，CD=CF=9-x，则13-x+9-x=14，然后解方程求出x，从而得到AE、BD、CF的长．
【详解】
解：设AE=x，
∵△ABC的内切圆分别和BC，AB，AC切于点D，E，F，
∴AF=AE=x，BE=BD，CD=CF，
而BE=BA-AE=13-x，CF=CA-AF=9-x，
∴BD=13-x，CD=9-x，
而BD+CD=BC，
∴13-x+9-x=14，解得x=4，
∴AE=4，BD=9，CF=5．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线长定理．
10．如图，在ABC中，线段BC的中点D在以AB为直径的⊙O上，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的延长线交⊙O于点F．

（1）求证：DE⊥AC．
（2）若DE+EA＝4，AF＝8．求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）5
【分析】
（1）连接OD，先根据可得，再根据直径的性质可得AD⊥BC，结合点D是BC中点可得，进而可得，由此可证得，最后再结合切线的性质即可得到结论；
（2）过点作于点，于是得到，推出四边形是矩形，根据矩形的性质得到，．由垂径定理得到，设，则，，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】
（1）证明：如图，连接OD，
，
，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
又∵点D为BC的中点，
∴，
，
，
∴，
是的切线，
，
；
（2）解：如图，过点作于点，
则，
四边形是矩形，
，，
，
设．
，
，，
∵在中，，
，解得：，
，
的半径为5．

【点睛】
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定与性质，矩形的判定与性质，垂径定理以及勾股定理的应用等相关知识，熟练掌握相关图形的性质与判定是解决本题的关键．
11．如图，在ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，∠A＝60°，求CD的长．

【答案】（1）见解析；（2）CD 长为5．
【分析】
（1）作辅助线，根据等腰三角形三线合一得BD=CD，根据三角形的中位线可得OD∥AC，所以得OD⊥EF，从而得结论；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质证得∠BAD=∠BAC=30°，由30°的直角三角形的性质即可求得BD．
【详解】
（1）证明：连接OD，AD，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OB，
∴OD是△BAC的中位线，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠BAC=30°，
∴CD=BD=AB=×10=5，即CD 长为5．
【点睛】
本题主要考查的是切线的判定和性质，圆周角定理、等腰三角形的性质，30°的直角三角形的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
12．小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在中，是劣弧的中点，直线于点，则．请证明此结论；
（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，，组成的一条折弦．是劣弧的中点，直线于点，则．可以通过延长、相交于点，再连接证明结论成立．请写出证明过程；
（3）如图3，，组成的一条折弦，若是优弧的中点，直线于点，则，与之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），理由见解析
【分析】
（1）连接，，易证为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一这一性质，可以证得．
（2）根据圆内接四边形的性质，先，再证为等腰三角形，进一步证得，从而证得结论．
（3）根据，从而证明，得出，然后判断出，进而求得．
【详解】
证明：（1）如图1，连接，，

是劣弧的中点，
，
，
，
，，
，
为等腰三角形，
，
；
（2）如图2，延长、相交于点，再连接，

是圆内接四边形，
，
是劣弧的中点，
，
，
为等腰三角形，
，，
，
，

（3）．
连接，，，、相交于点，

弧弧，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握垂径定理在5个条件中，1．平分弦所对的一条弧；2．平分弦所对的另一条弧；3．平分弦；4．垂直于弦；5．经过圆心（或者说直径）．只要具备任意两个条件，就可以推出其他的三个．
13．如图，与的边相切于点，与边交于点过上一点且是的直径．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长；
（3）在（2）的条件下，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）连接，根据切线的性质可得，根据半径相等，等边对等角可得，由平行线的性质可得，进而可得，进而证明，可得即可证明是的切线；
（2）连接，勾股定理求得,设，则，，根据勾股定理列出方程即可求得的长；
（3）连接,，证明，勾股定理求得， 根据，在中，勾股定理即可求得的长．
【详解】
（1）连接，如图，

是的切线






在与中



，
是半径
是的切线；
（2）连接，

，，

在中，




，
设，则，
在中


解得

（3）连接,,

，


中
，



是的直径．

是直角三角形

【点睛】
本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，掌握切线的性质与判定是解题的关键．
14．如图中所示，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，D是的中点，DE⊥AB，垂足为E．连结AD，AC，BD．

（1）写出所有与∠DBA相等的角（不添加任何线段）__________．
（2）判断AE，BE，BC之间的数量关系并证明．
（3）如图，已知AD＝7，BD＝3，求AB·BC的值．
【答案】（1）；（2），见解析；（3）40
【分析】
（1）根据题意可得，根据等弧所对的圆周角相等即可求得；
（2）在线段上截取，根据是的中垂线，，可得，进而可得，；
（3）根据即可求得．
【详解】
（1）是的中点，


故答案为：
（2）
理由如下：如图，在线段上截取，
∵

∴是的中垂线
∴ ，
∵点D是的中点，
∴，，
∴
∵
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴
即
（3）∵
∴
∴



【点睛】
本题考查了圆周角定理的推论，三角形全等的性质与判定，勾股定理，正确的添加辅助线是解题的关键．
15．如图，O为菱形 ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．

（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据菱形的性质得到AC是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明；
（2）根据菱形的边长可以求得其对角线的长，根据等腰直角三角形的性质和对角线的长列方程求解．
【详解】
解：（1）连接OM，过点O作ON⊥CD于N，

∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC，
∴∠OMC=∠ONC=90°，
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠ACB=∠ACD，
∵OC=OC，
∴△OMC≌△ONC，
∴ON=OM，
∴CD与⊙O相切；
（2）∵ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠ABC=60°，
∴∠ACB=60°，AC=1，
设半径为r．则OC=1-r，OM=r，
∵∠ACB=60°，∠OMC=90°，
∴∠COM=30°，MC=，
∴
解得r，
∴⊙O的半径为．
【点睛】
此题综合考查了菱形的性质和圆的切线的性质和判定．注意本题中运用数量关系证明圆的切线的方法．
16．如图，⊙O经过菱形ABCD的B，D两顶点，分别交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H．
（1）求证AE＝AH；
（2）连接EF，FG，GH，EH，若BD是⊙O的直径，求证：四边形EFGH是矩形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）连接DE、BH，根据菱形的性质，证明△ADE≌△ABH即可；
（2）连接DE，DF，根据圆的性质，证明△ADE≌△CDF和△AEH≌△CFG，
后运用有一个角是直角的平行四边形是矩形完成证明．
【详解】
（1）证明：连接DE、BH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ABH，
∴△ADE≌△ABH．
∵AE＝AH．

（2）连接DE，DF．
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BED＝∠BFD＝90°．
∴∠AED＝∠CFD＝90°．
∵AD＝CD，∠A＝∠C，
∴△ADE≌△CDF．
∴AE＝CF
∵用（1）中同样的方法可证CF＝CG
∴AH＝CG．
∴△AEH≌△CFG．
∴EH＝FG．
∴∠AHE＝∠AEH＝90°－∠A，∠ADB＝∠ABD＝90°－∠A，
∴∠AHE＝∠ADB
∴EH∥BD
同理可证FG∥BD，
∴EH∥FG
∴四边形EFGH是平行四边形．

∴∠FEH＝∠FGH．
又∵四边形EFGH是⊙O的内接四边形，
∴∠FEH＋∠FGH＝180°，
∴∠FEH＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，圆的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，熟练菱形的性质，矩形的判定是解题的关键．
17．如图1，在RtΔABC中，∠B＝90°，∠C＝40°，以AB为直径画⊙O交AC于点D， E是线段AB上的动点，延长DE交⊙O于F点，连接AF．
（1）如图1，求∠F的度数：
（2）如图2，当AE＝AD时，求∠DFO的度数．

【答案】（1）40°；（2）15°
【分析】
（1）根据直角三角形的性质先求出∠BAC，连接DO，求出∠AOD，再根据圆周角的性质求出∠F；
（2）连接DO，同（1）先求出∠AFD，根据AE=AD得到∠AED=65°，故可求出∠FAO=25°，根据等腰三角形的性质求出∠AFO，故可得到∠DFO的度数．
【详解】
（1）∵∠B＝90°，∠C＝40°
∴∠BAC=50°，
连接DO，
∵AO=DO
∴∠ADO=∠BAC=50°，
∴∠AOD=180°-∠ADO-∠BAC=80°
∴∠F=∠AOD=40°；

（2）连接DO，同（1）先求出∠BAC=50°，∠AFD=40°
∵AE=AD
∴∠AED==65°，
∴∠FAO=∠AED-∠AFD=25°，
又AO=FO
∴∠AFO=∠FAO=25°，
∴∠DFO=∠AFD-∠AFO=15°．

【点睛】
此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆周角的性质、等腰三角形的性质和外角定理的运用．
18．如图，PA是的切线，切点为A，AC是的直径，连接OP交于D．过点C作，连接AB交OP于点E．

（1）求证：PB是的切线；
（2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是，求阴影部分的面积；
（3）若且，求AB的长度．
【答案】（1）见解析（2）（3）4
【分析】
（1）连接OB，再证明△AOP≌△BOP，可得结论．
（2）先证明△AOD是等边三角形，设OE＝m，用m的代数式表示AB，OP，构建方程求出m，求出OA，AB，OE，再根据S阴＝S扇形OAB−S△AOB，求解即可．
（3）在Rt△AOE中，，可以假设OE＝x，则OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝，在Rt△ADE中，根据AD2＝AE2＋DE2，构建方程求出x，故可求解．
【详解】
（1）证明：连接BO，
∵PA是的切线，
∴AP⊥AO，
∴∠PAO=90°
∵，AC是直径
∴∠AEO=∠ABC=90°
∴OP⊥AB，
∴∠AOP=∠BOP
又∵AO=BO，OP=OP
∴△AOP≌△BOP，
∴∠PBO =∠PAO=90°，
∴PB是的切线

（2）解：∵E是OD的中点
∴OE＝DE，
∵AB⊥OD，
∴∠AEO=∠AED=90°
又AE=AE
∴△AEO≌△AED（SAS）
∴AO＝AD，
∵OA＝OD，
∴AD＝OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，∠OAE=30°
设OE＝m，则AO=2m，AE＝BE＝m，AB=2m，OA＝2m，
∵∠APO=90°-∠AOP=30°
∴OP＝4m，
∵四边形OAPB的面积是16，
∴•OP•AB＝16，
∴×4m×2m＝16，
∴m＝2或−2（舍弃），
∴OE＝2，AB＝4，OA＝2m＝4，
∵OD⊥AB，
∴，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
∴S阴＝S扇形OAB−S△AOB＝−×4×2＝．
（3）解：在Rt△AOE中，，
∴可以假设OE＝x，则OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝＝x，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，
∴（）2＝（x）2＋（2x）2，
∴x＝1或−1（舍弃），
∴OE＝1，OA＝3，AE＝，
∴AB=2AE=4．
【点睛】
本题属于圆综合题，考查了切线长定理，垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
19．如图，在RtABC中，∠C＝90°，BD是ABC的角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点D，交BC于点E，交AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若CE＝2，CD＝4，求半径的长．

【答案】（1）见解析；（2）半径的长为5．
【分析】
（1）连接，由为角平分线得到一对角相等，再根据等腰三角形的性质得出一对内错角相等，进而确定出与平行，利用两直线平行同位角相等得到为直角，由此即可得证；
（2）过作垂直于，可得出四边形为矩形，由此可得OG＝CD＝4，设OE＝OD＝CG＝x，利用勾股定理列出方程即可求得答案．
【详解】
（1）证明：如图，连接，
为的平分线，
，
，
，
，
∴，
，
，
是的切线；
（2）解：过作，连接，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，，
设OE＝OD＝CG＝x，则GE＝CG－CE＝x－2，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
即半径的长为5．

【点睛】
此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，平行线的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
20．如图，在中，直径与弦相交于点， ．

（1）如图①，若，求和∠CDB的大小；
（2）如图②，若 ，过点D作的切线DF ，与AB的延长线相交于点 ．求∠ F 的大小．
【答案】（1）27°，32°；（2）26°
【分析】
（1）先求出∠BAD=∠C=27° ，再求出∠ADB=90°，最后计算求解即可；
（2）先求出 ∠AEC=90° ，得到∠A及∠DOB的度数，根据切线的性质得到∠ODF=90°，计算求解即可．
【详解】
解：（1）∵，，
∴∠C=∠AEC-∠ABC=27°，
∴∠BAD=∠C=27°．
∵直径AB与弦CD相交于点E，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ABC=∠ADC=58° ，
∴∠CDB=∠ADB-∠ADC=32°．
（2）∵，
∴∠AEC=90°．
又∵∠ABC=∠ADC=58°，
∴∠A=90°-∠ADC=32°．
∴∠DOB=2∠A=64°．
∵DF是的切线，
∴∠ODF=90° ．
∴∠F=90°-64°=26°．
【点睛】
此题考查同弧所对的圆周角相等的性质，垂线的定义，切线的性质，三角形外角的性质，直径所对的圆周角是直角的性质，熟记各知识点并熟练应用是解题的关键．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，半径为2的⊙O分别与AC、BC相切于点E、F．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）见解析；（1）
【分析】
（1）连接OE、OF、OC，作OM⊥AB，垂足为M，利用面积法求出OM的长，由此得到结论；
（2）先证明OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，得到∠AOB=135º，再利用扇形面积公式计算即可得到答案．
【详解】
（1）连接OE、OF、OC，作OM⊥AB，垂足为M，

∵⊙O与AC，BC相切，
∴OE=OF=2，∠OEC=∠OFC=90°，
∵AC=12，BC=5，
∴AB=13，
由面积法S△AOC＋S△BOC＋S△AOB＝S△ABC，
∴OE·AC＋OF·BC＋OM·AB＝AC·BC，
∴OM=2，
又∵OM⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）OM⊥AB，∠OEC=∠OFC=90º，OE=OF=OM，
∴OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，
由∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBA＝90°，
∴∠OAB＋∠OBA＝45°，∠AOB=135º，
∴S阴影=S△AOB－S扇形=×13×2－×π×22=．
【点睛】
此题考查切线的判定定理和性质定理，角平分线的性质，正确掌握面积法计算三角形的面积，由此求线段长度是解题的关键．
22．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接BC，过O点作OD⊥BC于D点，交弧BC于E点，连接AE交BC于F点．
（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠E；
（2）如图2，连接OF，若OF⊥AB，DF＝1，求AE的长．

【答案】（1）见解析；（2）6
【分析】
（1）根据垂径定理可知，，进而可得，由可得，进而即可证明；
（2）由是直径，可得，根据，可得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得，进而求得的长．
【详解】
（1）


，
，


（2）是直径




又










在中，



【点睛】
本题考查了垂径定理，等弧所对的圆周角相等，垂直平分线的定理，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，求得是解题的关键．
23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，BD=DC，过C作CG⊥BD于E，交AB于F，交DA的延长线于点G，
（1）求证：AG=FG；
（2）若DH⊥AC于H，AH=，AB=6，求HC的长度．

【答案】（1）证明见祥解；（2）HC= 6+．
【分析】
（1）由BD=DC，可得∠DBC=∠DCB，由四边形ABCD内接于⊙O，可得∠DCB=∠GAF，根据AC为直径， CG⊥BD，可得∠EFB=∠EBC，进而可得∠GFA∠GAF即可；
（2）过D作DJ⊥BC，根据等腰三角形性质BD=DC，DJ⊥BC，BJ=CJ，根据垂径定理可得DJ过圆心O，可证OJ为△ABC的中位线，OJ=AB=，再证△DOH≌△COJ（AAS），OH=OJ=3即可．
【详解】
（1）证明：∵BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DCB+∠DAB=180°，∠GAF+∠DAB=180°，
∴∠DCB=∠GAF，
∵AC为直径， CG⊥BD，
∴∠ABC=90°，∠FEB=90°
∴∠EFB+∠EBF=∠EBF+∠EBC=90°，
∴∠EFB=∠EBC，
∴∠GFA=∠EFB=∠EBC=∠DCB=∠GAF，
∴AG=FG；
（2）解：过D作DJ⊥BC，
∵BD=DC，DJ⊥BC，
∴BJ=CJ，DJ过圆心O，
∵OA=OC，AB=6，
∴OJ为△ABC的中位线，
∴OJ=AB
∵DH⊥AC，DJ⊥BC，
∴∠DHO=∠CJO=90°，
,在△DOH和△COJ中，
，
△DOH≌△COJ（AAS），
∴OH=OJ=3
∵AH=，
∴AO=AH+HO=+3，
∴HC=HO+OC=HO+OA=3++3=6+，

【点睛】
本题考查等腰三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，同角的余角性质，三角形中位线性质，三角形全等判定与性质，本题综合较强，难度较大，利用辅助线画出准确图形，掌握相关知识是解题关键．
24．如图，从外一点引圆的切线，切点为，连接并延长交圆于点，连接．若，
（1）求的度数．
（2）若，求的长.

【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）连接OB，根据切线的性质，得∠OBA=90°，又∠A=30°，所以∠AOB=60°，再用三角形的外角性质可以求出∠ACB的度数．
（2）设OB=x，则OA=2x，根据勾股定理得出求解即可．
【详解】
解：如图：连接OB，
∵AB切⊙O于点B，
∴∠OBA=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=90°-30°=60°，
∵OB=OC，
∴∠C=∠OBC，
∵∠AOB=∠C+∠OBC=2∠ACB，
∴∠ACB=30°．

（2）由（1）得∠OBA=90°，∵∠A=30°，，
设OB=x，则OA=2x，
∴即，解得(舍去)，
∴OB=OC=1，OA=2，
∴AC=OA+OC=2+1=3．
【点睛】
本题考查的是切线的性质，直角三角形的性质，利用切线的性质，结合三角形内角和求出角的度数．
25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线分别交AB，AC的延长线于E，F，连接BD．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）若，CF=2，求⊙O的半径．

【答案】（1）见解析；（2）5
【分析】
（1）连接，由切线的性质和已知条件可证得，则可证得结论；
（2）过作于点，连接，则可证得、，则可求得的长，可求得圆的半径．
【详解】
（1）证明：如图1，连接，

是的切线，且点在上，
，
，
，
平分，
，
，
，
；
（2）解：如图2，过作于点，连接，

，，，
，，
在和中

，
同理可得，
，，
，
的半径．
【点睛】
本题主要考查切线的性质及圆周角定理，解题的关键是掌握过切点的半径与切线垂直，注意全等三角形的应用．
26．如图，AB为的直径，C为上一点，的切线BD交OC的延长线于点D．
（1）求证：；
（2）若，．求CD的长．

【答案】（1）见解析；（2）CD＝
【分析】
（1）根据切线的性质得到∠OBD＝∠OBC＋∠DBC＝90°，再根据圆周角定理得到∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°，加上∠OBC＝∠OCB，于是利用等量代换得到结论；
（2）利用含30度的直角三角形三边的关系得到CB＝，然后证明∠D＝∠CBD＝30°得到CD＝CB即可．
【详解】
（1）证明：∵DB是⊙O的切线，
∴BD⊥AB，
∴∠OBD＝∠OBC＋∠DBC＝90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°．
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB．
∴∠DBC＝∠OCA；
（2）解：在Rt△ACB中，∵∠A＝30°，AC＝2，
设，则，
∴，
解得：，
则，
∵∠A＝30°，
∴∠COB＝2∠A＝60°，
∴∠D＝90°−∠COB＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°．
∴∠DBC＝∠OCA＝30°，
∴∠D＝∠DBC．
∴CB＝CD．
∴CD＝．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
27．如图，⊙O是ABC的外接圆，∠ABC＝45°，OCAD，AD交BC的延长线于D，AB交OC于E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，CE＝2，求⊙O的半径和线段BE的长．

【答案】（1）见解析；（2）半径为4，
【分析】
（1）连接OA，根据切线的性质得到OA⊥AD，再根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC=90°，然后根据平行线的判定即可得到结论；
（2）设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R-2，AE=2，在Rt△OAE中根据勾股定理可计算出R=4；作OH⊥AB于H，根据垂径定理得AH=BH，再利用面积法计算出然后根据勾股定理计算出AH=，则HE=AE-AH=，再利用BE=BH-HE进行计算．
【详解】
解：（1）证明：连接OA，如图，

∵AD是⊙O的切线，
∴OA⊥AD，
∵∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°，
∴OA⊥OC，
∴AD∥OC，
∴OA⊥AD，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线
（2）解：设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R-2，AE=2，
在Rt△OAE中，∵AO2+OE2=AE2，
∴R2+（R-2）2=（2）2，解得R=4，
作OH⊥AB于H，如图，OE=OC-CE=4-2=2，

则AH=BH，
∵OH•AE=•OE•OA，
∴
在Rt△AOH中，，
∴
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理．
28．已知：点P在⊙O外，点A在⊙O上，AB⊥PO于点C，交⊙O于点B，连接PA、PB．

（1）如图1，求证：PA＝PB；
（2）如图2，连接OB，设线段PO交⊙O于点E，点D在线段PE上，连接AD，交⊙O于点F，若∠ADO＝2∠ABO，求证：AD＝OD；
（3）如图3，在（2）的条件下，若PB为⊙O的切线，CO＝2DF，AB＝4，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）⊙O的半径为．
【分析】
（1）根据垂径定理可得AC=BC，再根据垂直平分线的性质定理即可证明PA=PB；
（2）连接AO，作∠ADO的平分线交OA于G，可证△AGD≌△OGD即可证明结论；
（3）连接OF,OA，作OH⊥AD，交AD于H，可证△AHO≌△OCA，即可用OF表示AD,DC，在Rt△ADC中，根据勾股定理，求得OF，继而求得OC，在Rt△ACO中，根据勾股定理，求得AO即为半径．
【详解】
解：（1）证明：∵AB⊥PO于点C，
∴AC=BC，
∴PA=PB；
（2）如下图，连接AO，作∠ADO的平分线交OA于G，

∵AB⊥PO，
∴∠ACO=90°，
∵AO=OB，
∴∠OAB＝∠ABO，
∵∠ADO＝2∠ABO，DG为角平分线，
∴∠ADG＝∠GDO＝∠OAB，
∵∠AOC=∠DOG，
∴∠DGA=∠DGO=∠ACO=90°，
在△AGD和△OGD中
∵∠DGA=∠DGO，DG=DG，∠ADG＝∠GDO，
∴△AGD≌△OGD（ASA），
∴AD=OD；
（3）连接OF,OA，作OH⊥AD，交AD于H，

∵OH⊥AD，
∴AH=FH，∠AHO=90°，
∵AD=OD，
∴∠HAO=∠AOC，
在△AHO和△OCA中
∵∠AHO=∠ACO=90°，∠HAO=∠AOC，OA=AO，
∴△AHO≌△OCA，
∴AH=FH=OC，
∵CO＝2DF，
∴AD=5DF，DC=DO-OC=AD-OC=3DF，
∵AB＝4，
∴AC=BC=2，
在Rt△ADC中，根据勾股定理，
,即,解得,
∴,
在Rt△ACO中，根据勾股定理，
,即，解得,即⊙O的半径为．
【点睛】
本题为圆的综合题，主要考查垂径定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质定理等．（1）中理解垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键；（2）中正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键；（3）中能正确表示直角三角形的三边是解题关键．
29．如图，AB是⊙O直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CG，过点B作CG的垂线，垂足为点D，交⊙O于点E，连接CB．
（1）求证：CB平分∠ABD；
（2）若BC=5，BD=3，求AB长．

【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）连接，根据切线的性质，得，从而得；根据平行线性质，得；根据圆和等腰三角形性质，得，从而完成证明；
（2）连接，过点作于点，根据矩形性质，推导得，；根据勾股定理，计算得；设，通过列方程并求解，即可得，从而得到答案．
【详解】
（1）连接，如下图：

∵CG是⊙O的切线
∴
根据题意，
∴
∴
∵AB是⊙O直径
∴
∴
∴
∴CB平分∠ABD；
（2）连接，过点作于点，如下图：

∴
∵
∴，
∵，
∴四边形为矩形
∴，
∵，BC=5，BD=3
∴
∴
设，则
∵
∴
∴
∴
∴．
【点睛】
本题考查了圆、角平分线、平行线、等腰三角形、矩形、勾股定理、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、切线、勾股定理、矩形的性质，从而完成求解．
30．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，BM平分∠ABC交AC于点D，连结MA，MC．

（1）求证：AMC是正三角形；
（2）若AC＝，求⊙O半径的长．
【答案】（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠ABM＝∠MBC＝60°，再根据同弧所对圆周角相等可得∠MAC＝∠ACM＝60°，由此即可证得结论；
（2）连接、，过作于点，由圆内接四边形的性质求得，再求得，最后根据30°的直角三角形的性质以及勾股定理即可求得答案．
【详解】
（1）证明：∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠MBC＝∠ABC＝60°，
∵∠ABM与∠ACM都是弧AM所对的圆周角，
∴∠ACM＝∠ABM＝60°，
∵∠MAC与∠MBC都是弧MC所对的圆周角，
∴∠MAC＝∠MBC＝60°，
∴∠MAC＝∠ACM＝60°，
∴MA＝CM，
又∵∠ACM＝60°，
∴AMC是正三角形；
（2）解：连接、，过点作于点，如图1，

，
，
，
∵＝，
，
∵，，
，
∵，，
，
设，则，
在中，，
∴，
解得：（舍负），
，
∴的半径为2．
【点睛】
本题是主要考查圆周角定理，垂径定理，角平分线定义，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等相关知识，内容较多，有一定难度，能够灵活运用相关知识是解决本题的关键．
31．在菱形ABCD中，BD=12，∠DBC=30°，点P在对角线上运动，设BP=x，⊙O为△ABP的外接圆．

（1）如图1，当x=　 ，圆心O落在AB上？
（2）如图2，当PA=PB时，
①判断此时⊙O与BC的位置关系，并说明理由．
②求出x的值．
【答案】（1）6；（2）①⊙O与BC的位置关系相切，理由见解析；②x的值为4；
【分析】
（1）连接AP，当点O在AB上时，AB为圆O直径，∠APB=90°，P为BD中点，x=6．
(2)①连接AP、OP、OB，通过AP=BP得到AB⊥OP推出∠OBP=∠OPB=60°，即可得到∠OBC=∠OBP+∠DBC=90°，得出⊙O与BC的位置关系相切；
②连接AC，得AC⊥BD，BM==6，利用三角比先后求出AM =，AP=4即可得出BP=AP=4
【详解】
（1）连接AP
当点O在AB上时，AB为圆O直径
∴∠APB=90°
∵菱形ABCD中，AB=AD
∴BP=PD= =6
即x=6

（2）①连接AP、OP、OB,
∵AP=BP
∴弧AP=弧BP
∴AB⊥OP
∴∠ABP+∠OPB=90°，
∵菱形ABCD中， ∠ABP=∠DBC=30°
∴∠OPB=60°
又OP=OB
∴∠OBP=∠OPB=60°
∴∠OBC=∠OBP+∠DBC=90°
∴⊙O与BC的位置关系相切

②连接AC，交BD于M，
则AC⊥BD，BM==6
∵tan∠ABP=
∴AM= tan∠ABP×BM=
∵∠APM=∠ABP+∠PAB=60°，sin∠APM=
∴AP==4
∴BP=AP=4
∴x=4

【点睛】
本题考查了圆的垂径定理、直径所对的圆周角是直角、切线的判定以及菱形的性质，数形结合能灵活运用这些知识是解题的关键．