【期末·解答题专练】2022-2023学年 人教版数学九年级-专题08《期末压轴题（尖子生必练）》期末解答题必刷训练

人教版九上期末压轴题（尖子生必练）

1．如图，在半面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，其中点A的坐标为，与y轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D为抛物线上上方的一个动点，过点D作轴，交于点E，过D作，交直线于点F，以、为边作矩形，设矩形的周长为l，求l的最大值；

（3）点P是x轴上一动点，将线段绕点P旋转得到，当点Q刚好落在抛物线上时，请直接写出点Q的坐标．

2．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，点Q为线段上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求的最小值；

（3）过点Q作交抛物线的第四象限部分于点P，连接，记与的面积分别为，设，当S最大时，求点P的坐标，并求S的最大值．

3．如图，抛物线y＝ax2-2x+c(a≠0)与直线y＝x+3交于A，C两点，与x轴交于点B．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点P是抛物线上一动点，且在直线AC下方，当△ACP的面积为6时，求点P的坐标．

（3）D为抛物线上一点，E为抛物线的对称轴上一点，请直接写出以A，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形时点D的坐标．

4．已知，平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点A，交x轴于点B、C，为等边三角形，．

（1）如图1，求抛物线解析式．

（2）如图2，P为AC上方抛物线上一点，过P作交AC于D，设点P的横坐标为t，PD的长度为d，求d与t的函数关系式；

（3）如图3，在（2）的条件下，在x轴上点B左侧取一点E，使得点E在AD的垂直平分线上，连接ED，若的周长为36，求d的值．

5．如图，抛物线与x轴交于A（2，0），B（-1，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；

（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

6．如图，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过两点，与x轴交于点N．

（1）点N的坐标为_______．

（2）已知抛物线与抛物线C关于y轴对称，且抛物线与x轴交于点（点A在点的左边）．

①抛物线的解析式为_________；

②当抛物线和抛物线C上y都随x的增大而增大时，请直接写出此时x的取值范围．

（3）若抛物线的解析式为，抛物线的顶点为，与x轴的交点为（点A在点的左边）．

①求的值；

②判断抛物线的顶点是否在一条直线上，若在，请直接写出该直线的解析式；若不在，请说明理由．

7．综合与探究

如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值为______．

（3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N

①当面积最大时的P点坐标为______；最大面积为______．

②点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

8．如图1，二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．

（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）．

（2）若以AD为直径的圆经过点C．

①求a的值．

②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段BF=2MF，求点M、N的坐标．

③如图3，点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，求点Q的坐标．

9．已知抛物线与轴交于A，B（点A在点B左侧），与y轴交于C．

（1）求A、B、C的坐标；

（2）点E是抛物线在第二象限内的一动点，当四边形AECB面积最大时，求E点坐标和四边形AECB面积的最大值；

（3）设M在线段AB上且在对称轴左侧，过M作MP⊥x轴交抛物线于P，过P作PQAB交抛物线于Q，过Q作QN⊥x轴于N，如图（2），当矩形MPQN周长最大时，求M的坐标．

10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点为A、B，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，x＞﹣1时，y随x的增大而增大，其最小值为﹣，其图象与x轴的交点B的横坐标是1，过点B的直线l：y＝kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．

（1）求直线l和抛物线的解析式；

（2）过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，点P是直线DE上的一个动点，点D关于直线OP的对称点F恰好在y轴上，求直线OP的解析式．

（3）将（1）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，将直线平移得到直线l，若直线l与该新图象恰好有三个公共点，请求出上下平移了几个单位长度．

11．直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线经过点A，B，与x轴的另一个交点为C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若点P为直线上方的抛物线上的一动点，求四边形的面积的最大值；

（3）如图2，为抛物线上的一点，直线与相交于点M，点H在抛物线上，过H作轴，交直线于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．

12．如图，抛物线 y=ax2+bx+3经过A（1，0）、B（4，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．

（3）若点Q是直线x=2上的一个动点，是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

13．已知：如图1，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心，半径为5，⊙P与抛物线的交点A、B、C刚好落在坐标轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D为抛物线的顶点，经过C、D的直线是否与⊙P相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由：

（3）如图2，点F是点C关于对称轴的对称点，若直线交y轴于点K，点G为直线上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使C、G、H、K四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由．

14．如图，抛物线y＝x2+bx+c分别与x轴交于点A(﹣1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，点P(m，0)为线段OB上（不含端点）的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点K，交直线BC于点J．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）当PJ：JK＝1：2时，求m的值；

（3）点Q是直线BC上的一个动点，将点Q向右平移5个单位长度得到点T，若线段QT与抛物线只有一个公共点，请直接写出点Q的横坐标n的取值范围．

15．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：

（问题发现）

（1）如图1，正方形ABCD的四个顶点在⊙O上，点E在弧AB上，连结AE、BE、DE．若在DE上截取一点F，使得DF＝BE：连结AF，发现△ADF与△ABE全等，请说明理由．

（变式探究）

（2）如图2，正方形ABCD的四个顶点在⊙O上，若点E在弧AD上，过点A作AG⊥BE，探究线段BE、DE、AG之间是否满足BE﹣DE＝2AG的关系，请说明理由．

（结论运用）

（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝2，若一点P满足PD＝2，并且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．

16．（发现问题）爱好数学的小明在做作业时碰到这样一道题：如图1，圆O的半径为2，OA＝4，动点B在圆O上，连接AB，作等边三角形ABC（A、B、C为顺时针顺序），求OC的最大值．

（解决问题）小明经过多次的尝试和探索，终于得到解题思路：在图1中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE；

（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；

（2）请直接写出线段OC的最大值

（迁移拓展）

（3）如图2，BC＝，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请求出AC的最值，并说明理由．

17．“数学建模”是中学数学的核心素养，平时学习过程中能归纳一些几何模型，解决几何问题就能起到事半功倍的作用．

（1）如图1，正方形中，，且，求证：；

（2）如图2，正方形中，，延长交的延长线于点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；

（3）如图3在（2）的条件下，作，垂足为点，交于点，连结，求证：．

18．在⊙O中，CD为弦，OP为⊙O的半径，OP交CD于点H，若弧PC＝弧PD．

（1）如图1：求证：CD⊥OP；

（2）如图2：直径AB∥CD，弦BE⊥OD于F．求证：BE＝2OH；

（3）如图3：在（2）的条件下，连接EC，过C作CN⊥CE交⊙O于N，交AB于M，若PH＝AM，OF＝4，求线段CN的长．

19．内接于，点在边上，射线交于点，点在弧上，连接，．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，交弦于点，经过点，，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，为的中点，连接、，若，，求线段的长．

20．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点．AE与过点C的切线垂直，垂足为E，直线EC与直径AB的延长线相交于点P，弦CD交AB于点F，连接AC、AD、BC、BD．

（1）若∠ABC＝∠ABD＝60°，判断△ACD的形状，并证明你的结论；

（2）若CD平分∠ACB，求证：PC＝PF；

（3）在（2）的条件下，若AD＝5，PF＝5，求由线段PC、和线段BP所围成的图形（阴影部分）的面积．