初中3 勾股定理的应用教案设计

课题名称：1.3勾股定理的应用

年级学科

八年级数学

教材版本

北师大八年级上

一、教学内容分析

本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第一章《勾股定理》第３节．具体内容是运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题．当然，在这些具体问题的解决过程中，需要经历几何图形的抽象过程，需要借助观察、操作等实践活动，这些都有助于发展学生的分析问题、解决问题能力和应用意识；一些探究活动具体一定的难度，需要学生相互间的合作交流，有助于发展学生合作交流的能力．

二、教学目标

课程标准中对本节内容的要求是：探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题；结合课标的要求确定本节课的教学目标如下：

1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．

    2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．

3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．

利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题是本节课的重点也是难点．

三、学习者特征分析

本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，其中需要学生了解空间图形、对一些空间图形进行展开、折叠等活动．学生在学习七年级上第一章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识，并从事过相应的实践活动，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础．结合本节课的内容，可以让学生提前预习，制作长方体和圆柱体纸盒，以备上课用。

四、教学过程

本节课设计了七个环节．第一环节：情境引入；第二环节：合作探究；第三环节：做一做；第四环节：小试牛刀；第五环节：举一反三；第六环节：交流小结；第七环节：布置作业．第一环节已学生熟悉的几何体为载体，以蚂蚁怎样走最近来激发学生学习的积极性和兴趣，第二环节通过学生的合作探究解决曲面上的最短路径问题，体会将立体问题平面化的转化思想，从而建立直角三角形的数学模型；通过第四、五环节的练习，让学生体会建模思想，学会用勾股定理解决简单的实际问题，体会数学的实用性；通过第六环节让学生形成用数学知识解决实际问题思维模式—建立数学模型，将实际问题转化为数学问题来解决；通过第七环节让学生对本节课所学内容达到巩固，活学活用。

五、教学策略选择与信息技术融合的设计

教师活动

预设学生活动

设计意图

第一环节：情境引入

内容：

情景1：多媒体展示：

提出问题：从二教楼到综合楼怎样走最近？

情景2：

如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？

第一个问题学生可以结合实际利用数学理论进行解答；第二个问题学生需思考，例举出几种比较短的路径，进行比较分析，从而寻找最短路径；

通过情景1复习公理：两点之间线段最短；情景２的创设引入新课，激发学生探究热情．

第二环节：合作探究

内容：

学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法．

学生先独立思考，例举出几种比较短的路径，再通过四人小组讨论进行比较分析，全班交流，从而寻找最短路径；

学生分析完后，教师可以利用多媒体演示比较几种路径，寻找最短路径；

通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念．

第三环节：做一做

内容：

李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，

（1）你能替他想办法完成任务吗？

（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？

（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能

有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？

学生独立思考，如遇困难，可以同桌交流，然后全班交流，学生代表讲解，教师及时点评。

运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题．

第四环节：小试牛刀

内容：

1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走，1时后乙出发，他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？

解答：如图:已知A是甲、乙的出发点，10:00甲到达B点，乙到达C点．则:

AB=2×6=12（km）

AC=1×5=5（km）

在Rt△ABC中:

  ∴BC=13（km）．

即甲乙两人相距13 km．

2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．

解答：.

3．有一个高为1.5 m，半径是1m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？

解答：设伸入油桶中的长度为x m．

则最长时:

∴最长是2.5+0.5=3（m）．

最短时: ．

∴最短是1.5+0.5=2（m）．

答:这根铁棒的长应在2～3m之间．

第五环节：举一反三

内容：

1．如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？

解：如图，在Rt△ABC中:

∵500＞202 .

∴不能在20 s内从A爬到B.

2．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

解答：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为

AD=AB=（x+1）尺，

在直角三角形ABC中，BC=5尺.

由勾股定理得:BC2+AC2=AB2.

即      52+ x2=（x+1）2.

25+x2= x2+2x+1.

2x=24.

∴ x=12，x+1=13．

答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺．

第六环节：交流小结

内容：

师生相互交流总结：

1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解．

2．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题．

第七环节：布置作业

1．课本习题1．4第1，2，3题．

2．如图是学校的旗杆，旗杆上的绳子垂到了地面，并多出了一段，现在老师想知道旗杆的高度，你能帮老师想个办法吗?请你与同伴交流设计方案?

注意事项：作业2作为学有余力的学生的思考题．

通过学生的自主练习，进一步体会建模思想、转化思想，学习利用勾股定理解决实际问题的一般思路和方法；从中获得成功体验；

对本节知识进行巩固练习，训练学生根据实际情形画出示意图并计算．

第五环节意图：

第1题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展，从圆柱侧面到棱柱侧面，都是将空间问题平面化；第2题，学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智；运用方程的思想并利用勾股定理建立方程．

第六、第七环节意图：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史．

六、教学板书

                       1.3勾股定理的应用

一、蚂蚁怎样走最短                    四、举一反三

1、空间问题转化为平面问题

2、构造直角三角形建立数学模型           五、小结

二、做一做

三、小试牛刀                       （将教学过程中的展开图画到黑板上）