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人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数评优课ppt课件
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数评优课ppt课件，共34页。PPT课件主要包含了幂函数的图象，常考题型等内容，欢迎下载使用。
1.了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x-1，的图象，了解它们的变化情况.
重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质.难点：画幂函数的图象，并由图象概括其性质.
1.幂函数的定义一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
幂函数与指数函数的区别与联系
A.1B.2C.3D.4解析:②⑦为指数函数,③中系数不是1,④中解析式为多项式,⑤中底数不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数,故选B.答案:B
幂函数在第一象限内的指数变化规律:在第一象限内直线x=1的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小,即指数大的在上边.
3.五种常见幂函数的性质,列表如下:
幂函数有如下性质:(1)所有的幂函数在区间(0,+∞)内都有意义,图象都通过点(1,1),并且幂函数的图象都不过第四象限.(2)当α>0时,幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1),并且在区间[0,+∞)内都是增函数.当α<0时,幂函数的图象都通过点(1,1),在区间(0,+∞)内都是减函数,在第一象限内,函数图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近.
【做一做2】 下列结论正确的是( )A.幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1)B.幂函数的图象可以出现在第四象限
D.当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数解析:当幂指数α=-1时,幂函数y=x-1的图象不通过原点,故选项A不正确;因为所有的幂函数在区间(0,+∞)内都有定义,且y=xα(α∈R),y>0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项B不正确;当α=-1时,y=x-1在区间(-∞,0)和(0,+∞)内是减函数,但在它的定义域上不是减函数,故选项D不正确.故选C.答案:C
一、幂函数的概念 1. 幂函数的判断
例1 幂函数f（x）＝（m2-3m+3）xm的图象关于y轴对称，则实数m＝ .【解析】∵ f（x）＝（m2-3m+3）xm是幂函数，∴ m2-3m+3＝1，∴m＝1或m＝2.当m＝1时，函数f（x）＝x的图象不关于y轴对称，舍去；当m＝2时，函数f（x）＝x2的图象关于y轴对称，符合题意.综上可知，m＝2.【答案】2
◆幂函数的判断的一般方法幂函数y＝xα的三个特征：①系数为1；②底数只能是自变量x；③幂指数是常数.只有满足这三个特征，才是幂函数.
◆待定系数法确定幂函数的解析式1.设出幂函数的解析式y＝xα；2.将图象上的点的坐标代入解析式得关于α的方程；3.求出参数α； 4.代回得幂函数的解析式.
A B C D
◆幂函数图象的识别和作法1.当α>0时，（1）图象都过点（0，0），（1，1）；（2）在第一象限内，函数值随x的增大而增大；（3）在第一象限内，α>1时，图象是向下凸的，0<α<1时，图象是向上凸的；（4）在第一象限内，过（1，1）点后，图象向右上方无限伸展.2.当α<0时，（1）图象都过点（1，1）；（2）在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象是向下凸的；（3）在第一象限内，图象向左与y轴无限接近，向右与x轴无限接近；（4）在第一象限内，过（1，1）点后，|α|越大，图象下落的速度越快.
训练题1.［2019·湖南衡阳高一期末］下列命题正确的是（ ）A.幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点B.当n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线C.如果两个幂函数的图象至少有三个公共点，那么这两个函数一定相同D.如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点（-1，1）
2.［2019·黑龙江哈尔滨高一期末］图中给出四个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是（ ）
① ② ③ ④
2. 图象的应用例4 ［2020·上海曹杨中学高一期末］设y＝f（x）和y＝g（x）是两个不同的幂函数，集合M＝{（x，y）|f（x）＝g（x）}，则集合M中元素的个数为（ ）A.1或2或0B.1或2或3C.1或2或3或4 D.0或1或2或3
【解析】任意幂函数的图象必过点（1，1），故（1，1）∈M，故排除A，D.任意两个幂函数的图象不可能有4个交点，故排除C.故选B.【答案】B
三、幂函数的性质及其应用 1.幂函数的性质
2.比较幂的大小例6 ［2020·山东淄博一中高一检测］已知a＝20.4，b＝30.2 ，c＝50.2 ，则（ ）A.a
训练题1.比较下列各组数中两个数的大小:
2.已知（0.71.3）m<（1.30.7）m，求m的取值范围.
解：根据幂函数y＝x1.3的图象（图略），可知当01时，y>1，∴ 1.30.7>1.于是有0.71.3<对于幂函数y＝xm，由（0.71.3）m<（1.30.7）m知，当x>0时，随着自变量x的增大，函数值y也增大，∴ m的取值范围是（0，+∞）.
◆已知单调性、奇偶性求参数的思路关键是利用幂函数的单调性和奇偶性进行合理转化，列出含参数的方程（组）或不等式（组）求解.
◆利用幂函数的单调性解不等式的一般步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题，求解步骤如下：（1）确定可以利用的幂函数；（2）借助相应幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系；（3）解不等式（组）求参数的取值范围，注意分类讨论思想的应用.
训练题 1.［2019·湖北荆州高三检测］若对任意的x∈［a，a+2］，均有（3x+a）3≤8x3，则实数a的取值范围是（ ）A.（-∞，-2］ B.（-∞，-1］ C.（-∞，0］D.［0，+∞）2.［2020·四川高一检测］已知幂函数f（x）＝（m2-m-1）x-2m-1在（0，+∞）上单调递增.（1）求实数m的值.（2）若（k+1）m<（3-2k）m，求实数k的取值范围.
二个知识点：1.幂函数的定义；2.幂函数的图象；3.五种常见幂函数的性质.四种题型：1.幂函数的概念问题；2.幂函数的图象问题；3.比较幂的大小.
1.了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x-1，的图象，了解它们的变化情况.
重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质.难点：画幂函数的图象，并由图象概括其性质.
1.幂函数的定义一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
幂函数与指数函数的区别与联系
A.1B.2C.3D.4解析:②⑦为指数函数,③中系数不是1,④中解析式为多项式,⑤中底数不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数,故选B.答案:B
幂函数在第一象限内的指数变化规律:在第一象限内直线x=1的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小,即指数大的在上边.
3.五种常见幂函数的性质,列表如下:
幂函数有如下性质:(1)所有的幂函数在区间(0,+∞)内都有意义,图象都通过点(1,1),并且幂函数的图象都不过第四象限.(2)当α>0时,幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1),并且在区间[0,+∞)内都是增函数.当α<0时,幂函数的图象都通过点(1,1),在区间(0,+∞)内都是减函数,在第一象限内,函数图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近.
【做一做2】 下列结论正确的是( )A.幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1)B.幂函数的图象可以出现在第四象限
D.当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数解析:当幂指数α=-1时,幂函数y=x-1的图象不通过原点,故选项A不正确;因为所有的幂函数在区间(0,+∞)内都有定义,且y=xα(α∈R),y>0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项B不正确;当α=-1时,y=x-1在区间(-∞,0)和(0,+∞)内是减函数,但在它的定义域上不是减函数,故选项D不正确.故选C.答案:C
一、幂函数的概念 1. 幂函数的判断
例1 幂函数f（x）＝（m2-3m+3）xm的图象关于y轴对称，则实数m＝ .【解析】∵ f（x）＝（m2-3m+3）xm是幂函数，∴ m2-3m+3＝1，∴m＝1或m＝2.当m＝1时，函数f（x）＝x的图象不关于y轴对称，舍去；当m＝2时，函数f（x）＝x2的图象关于y轴对称，符合题意.综上可知，m＝2.【答案】2
◆幂函数的判断的一般方法幂函数y＝xα的三个特征：①系数为1；②底数只能是自变量x；③幂指数是常数.只有满足这三个特征，才是幂函数.
◆待定系数法确定幂函数的解析式1.设出幂函数的解析式y＝xα；2.将图象上的点的坐标代入解析式得关于α的方程；3.求出参数α； 4.代回得幂函数的解析式.
A B C D
◆幂函数图象的识别和作法1.当α>0时，（1）图象都过点（0，0），（1，1）；（2）在第一象限内，函数值随x的增大而增大；（3）在第一象限内，α>1时，图象是向下凸的，0<α<1时，图象是向上凸的；（4）在第一象限内，过（1，1）点后，图象向右上方无限伸展.2.当α<0时，（1）图象都过点（1，1）；（2）在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象是向下凸的；（3）在第一象限内，图象向左与y轴无限接近，向右与x轴无限接近；（4）在第一象限内，过（1，1）点后，|α|越大，图象下落的速度越快.
训练题1.［2019·湖南衡阳高一期末］下列命题正确的是（ ）A.幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点B.当n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线C.如果两个幂函数的图象至少有三个公共点，那么这两个函数一定相同D.如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点（-1，1）
2.［2019·黑龙江哈尔滨高一期末］图中给出四个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是（ ）
① ② ③ ④
2. 图象的应用例4 ［2020·上海曹杨中学高一期末］设y＝f（x）和y＝g（x）是两个不同的幂函数，集合M＝{（x，y）|f（x）＝g（x）}，则集合M中元素的个数为（ ）A.1或2或0B.1或2或3C.1或2或3或4 D.0或1或2或3
【解析】任意幂函数的图象必过点（1，1），故（1，1）∈M，故排除A，D.任意两个幂函数的图象不可能有4个交点，故排除C.故选B.【答案】B
三、幂函数的性质及其应用 1.幂函数的性质
2.比较幂的大小例6 ［2020·山东淄博一中高一检测］已知a＝20.4，b＝30.2 ，c＝50.2 ，则（ ）A.a
训练题1.比较下列各组数中两个数的大小:
2.已知（0.71.3）m<（1.30.7）m，求m的取值范围.
解：根据幂函数y＝x1.3的图象（图略），可知当0
◆已知单调性、奇偶性求参数的思路关键是利用幂函数的单调性和奇偶性进行合理转化，列出含参数的方程（组）或不等式（组）求解.
◆利用幂函数的单调性解不等式的一般步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题，求解步骤如下：（1）确定可以利用的幂函数；（2）借助相应幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系；（3）解不等式（组）求参数的取值范围，注意分类讨论思想的应用.
训练题 1.［2019·湖北荆州高三检测］若对任意的x∈［a，a+2］，均有（3x+a）3≤8x3，则实数a的取值范围是（ ）A.（-∞，-2］ B.（-∞，-1］ C.（-∞，0］D.［0，+∞）2.［2020·四川高一检测］已知幂函数f（x）＝（m2-m-1）x-2m-1在（0，+∞）上单调递增.（1）求实数m的值.（2）若（k+1）m<（3-2k）m，求实数k的取值范围.
二个知识点：1.幂函数的定义；2.幂函数的图象；3.五种常见幂函数的性质.四种题型：1.幂函数的概念问题；2.幂函数的图象问题；3.比较幂的大小.
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