高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用第2课时教学设计

《函数的最大（小）值》教学设计

一、内容与内容解析

1、内容      函数的最大（小）值的概念，通过导数求解函数的最值，解决实际生活中的最值问题

2、内容解析:  高中数学人教A版选择性必修第二册， 第五章， 一元函数的导数及其应用 5.3.2 函数的极值与最大（小）值(第二课时)  

第一课时学习了函数的极值，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是整个定义域上的性质。但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往关心函数在定义域内或指定的区间上，哪个值最大，哪个值最小，所以本节课的学习具有更进一步的意义。

二、目标和目标解析:

1、目标

（1）了解函数的最大（小）值的概念，能够区分极值与最值。

（2）能利用导数求某些函数给定闭区间上不超过三次的多项式的最大(小)值。

（3）掌握导数在解决实际问题中的应用。

2、目标解析

（1）对于给定的函数，能利用导数求出函数的最大（小）值。

（2）对于生活中的实际问题，能合理建模，建立函数关系，利用导数解决实际问题中的最值。

（3）通过求导与最值的探求，培养学生的数学核心素养——直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等。

三、教学问题诊断分析:

应用导数求函数的最值以及解决应用题中的最值问题是本课时应重点关注的问题，而函数图象简图的描绘过程中的细节处理（如极限思想的应用），应用题中的数学建模思想的应用以及对现实最值问题体现的实际意义的理解，都值得我们花大力气去突破。

四、教学支持条件分析:

学生必需具备画出函数大致图象的能力，所以教师应该引导学生如何抓住特殊点和增长趋势画出简图。过程分析和画图完毕后最好借助信息技术（例如几何画板）给予学生更为规范的图象展示，并且有意识地培养学生应用信息技术验证自己图象正确与否的能力。

五、教学过程设计:

（一）情境导入

1.提出生活中遇到的最值问题

某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.

（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？

【设计意图】用实际问题来激发学生的学习兴趣，突出数学的实用价值

2.       回顾"函数的极值"

    若函数y＝f(x) 的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；

而且在点x＝a附近的左侧图象单调递减，右侧图象单调递增. 则f(a)叫做y＝f(x)的极小值．

若函数y＝f(x) 的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；

而且在点x＝b附近的左侧图象单调递增，右侧图象单调递减. 则f(b)叫做y＝f(x)的极大值．

【设计意图】温故而知新，为即将学习函数的最值奠定知识层面上的基础。

3.导入”函数的最值”

在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高、效益最大等问题，这些问题的解决常常涉及到求一个函数的最大值和最小值问题.

极值是一个局部概念，只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.

【设计意图】自然过渡到本节课函数的最大值和最小值问题的学习，阐述进一步学习的实际意义。

（二）定义新知

如果是某个区间上函数的最大（小）值点，那么不小（大）于函数在此区间上的所有函数值.

如图，根据函数，的图象，可知，，是函数的极小值，是函数的极大值.函数在区间上的最小值是，最大值是.

提问:函数极值与最值的关系

1.在定义域内, 最值唯一,极值不唯一。

2.最大值一定比最小值大,极大值不一定比极小值大.

3.最值可能是极值，也可能不是极值。

(学生活动:分组讨论总结)

【设计意图】帮助学生厘清极值与最值的区别与联系

（三）例题讲解

例1 求函数在区间上的最大值与最小值.

(教师活动:板书过程)

【设计意图】为规范答题做好示范。

解：因为，所以.

令，解得或.

当x变化时，，的变化情况如表所示.

因此，当时，有极大值，并且极大值为；

当时，有极小值，并且极小值为.

故在区间上，当时，函数有极小值，为.

又由于，，

所以函数在区间上的最大值是4，最小值是.

提问:总结求函数在区间上的最大值与最小值的步骤?

(学生活动:分组讨论总结)

【设计意图】让学生自己总结，理解更深，为解决例2提供方法指导。

一般的，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下：

（1）求函数在区间上的极值；

（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

例2 给定函数.

（1）判断函数的单调性，并求出的极值；

（2）画出函数的大致图象；

（3）求出方程的解的个数.

(教师活动:分析，提示，巡堂查看，及时纠错)

(学生活动:学生独立完成，分组讨论，投影最佳解答)

【设计意图】让学生亲自实践求极值和最值的过程，摸索画图的方法，与同伴交流找出错误，实现知识完善和思维严谨上的飞跃。

解：（1）函数的定义域为.

.令，解得.

，的变化情况如表所示.

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.

当时，有极小值.

（2）令，解得.

当时，；当时，.

所以的图象经过特殊点，，.

当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而；

当时，，.

根据以上信息，画出的大致图象如图所示.

（3）方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数.

由（1）及上图可得，当时，有最小值.

所以关于方程的解的个数有如下结论：

当时，解为0个；当或时，解为1个；当时，解为2个.

思考:画出函数f(x)的大致图象的步骤 (学生活动:分组讨论总结)

画出函数f(x)的大致图象的步骤如下:

（1）求出函数的定义域；

（2）求导数及函数的零点；

（3）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出

在各区间上的正负，并得出的单调性与极值；

（4）确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；

（5）画出的大致图象.

（四）巩固训练

已知对任意恒成立，则实数a的最大值为(   )

A.0 B.1 C. D.

(学生活动:思考，板演)

(教师活动:巡堂查看，及时纠错)

解析：由题意，知对任意恒成立，令，则，令，得，当时，，当时，，所以函数在

上单调递增，在上单调递减，所以最小值为，

所以，故选C。

（五）导数的实际应用

例3 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.

（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？

解：由题意知，每瓶饮料的利润是，.

所以，令，解得.

当时，；当时，.

因此，当半径时，，单调递增，即半径越大，利润越高；

当半径时，，单调递减，即半径越大，利润越低.

（1）半经为6 cm时，利润最大.

（2）半经为2 cm时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润

还不够瓶子的成本，此时利润是负值.

(学生活动:思考函数表达式的建立，定义域的确定，简图的获得，最值的实际意义)

(教师活动:分析，提示，PPT展示过程)

【设计意图】引导学生理性地分析和理解最值的实际意义，为未来生活或生产决策奠定数学建模的意识与基础。

（六）课堂小结

1. 函数最值问题：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值；             
2. 导数的实际应用：通过数学建模的思想找到相关变量的函数，应用导数可以求出函数的最大值或最小值，更好地为生产或生活服务。

（七）作业布置    教科书习题5.3第6，8，10题

六、板书设计:

七、目标检测设计:

1.若函数在区间上的最大值为，则m的值为(   )

A.0     B.1     C.2     D.

解析：由题意，得，易知，当时，；

当或时，，所以函数在区间，

上单调递增，在区间上单调递减. 又，，所以

最大值为，解得.故选C.

【设计意图】考查学生对多项式函数在闭区间的最值的求解方法的理解。

2.近年来，线上教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势.
假设某网站的试卷每日的销售量y（单位：千套）与销售价格x（单位：元/套）满足关系式，其中，m为常数，已知当销售价格为4元/套时，每日可售出
试卷21千套.

（1）求m的值；

（2）假设网站的员工工资、办公等所有开销折合为每套试卷2元（只考虑销售出的套数），
试确定销售价格x的值，使网站每日销售试卷所获得的利润最大（保留1位小数）.

解析：（1）将，，代入关系式，

得，解得.

（2）由（1）可知试卷每日的销售量，

所以每日销售试卷所获得的利润

，

从而.

令，得或（舍去），且在上，，函数单调递增；

在上，，函数单调递减，所以是函数在内的极大值点，也是最大值点，所以当时，函数取得最大值.

故当销售价格为3.3元/套时，网站每日销售试卷所获得的利润最大.

【设计意图】考查学生利用导数解决生活实际问题中的最值，进一步体会导数的应用价值。