高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用教案

课程目标

学科素养

A.了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值与导数的关系.

B．初步掌握求函数极值的方法．

C．体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系．

1.数学抽象：求函数极值的方法

2.逻辑推理：导数值为零与函数极值的关系

3.数学运算：运用导数求函数极值

4.直观想象：导数与极值的关系

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    温故知新

1.函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)正负的关系

定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)：

增 ;减

2．判断函数y＝f (x)的单调性

第1步：确定函数的______；

第2步：求出导数f ′(x)的____；

第3步：用f ′(x)的____将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的____，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．

定义域 ;零点 ;零点 ;正负

二、探究新知

探究1：观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少？此点附件的函数图象有什么特点？相应地，导数的正负有什么变化规律?

    放大,如图，可以看出，在的附近，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，.这就是说，在附近，函数值先增（当时，）后减（当时，）这样，当在的附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有.

对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？

以a，b为例进行说明.

探究2：观察下图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点处的导数值时多少？在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？

（1）函数的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，而且在点附近的左侧，右侧;

（2）函数的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，而且在点附近的左侧，右侧

1．极值点与极值

(1)极小值点与极小值

若函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝__，而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧_______，就把点a叫做函数y＝f (x)的极小值点，_____叫做函数y＝f (x)的极小值．

0 ;f ′(x)＜0;f ′(x)＞0;f (a)

 (2)极大值点与极大值

若函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝__，而且在点x＝b附近的左侧_________，右侧_______，就把点b叫做函数y＝f (x)的极大值点，______叫做函数y＝f (x)的极大值．

(3)极大值点、极小值点统称为______；极大值、极小值统称为_____．

0 ;f ′(x)＞0;f ′(x)＜0;f (b);极值点 ;极值

1．函数f (x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)(　　)

A．无极大值点，有四个极小值点

B．有三个极大值点，两个极小值点

C．有两个极大值点，两个极小值点

D．有四个极大值点，无极小值点

C　[设y＝f ′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f (x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，

在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]

三、典例解析

例5. 求函数的极值.

解：因为 的定义域为R，所以

令0,解得：

当变化时， ，的变化情况如下表

因此，当时，有极大值，极大值为=

当时，有极小值，极小值为=- .

函数的图像如图所示.

问题1：函数的极大值一定大于极小值吗？

一般地，求函数y＝fx的极值的步骤

1求出函数的定义域及导数f′x；

2解方程f′x＝0，得方程的根x0可能不止一个；

3用方程f′x＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f′x，fx在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；

4由f′x在各个开区间内的符号，判断fx在f′x＝0的各个根处的极值情况：

如果左正右负，那么函数fx在这个根处取得极大值；

如果左负右正，那么函数fx在这个根处取得极小值；

如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点.

问题2：导数为0的点一定是极值点吗？

[提示]　不一定，如f (x)＝x3，f ′(0)＝0，

但x＝0不是f (x)＝x3的极值点．

所以，当f ′(x0)＝0时，

要判断x＝x0是否为f (x)的极值点，

还要看f ′(x)在x0两侧的符号是否相反．

跟踪训练1 求下列函数的极值：

(1)y＝x3－3x2－9x＋5；

(2)y＝x3(x－5)2.

 [解]　(1)∵y′＝3x2－6x－9，

令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.

当x变化时，y′，y的变化情况如下表：

∴当x＝－1时，函数y＝f (x)有极大值，且f (－1)＝10；

当x＝3时，函数y＝f (x)有极小值，且f (3)＝－22.

(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)＝5x2(x－3)(x－5)．

令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，

解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.当x变化时，y′与y的变化情况如下表：

∴x＝0不是y的极值点；

x＝3是y的极大值点，y极大值＝f (3)＝108；

x＝5是y的极小值点，y极小值＝f (5)＝0.

温故知新，提出问题，，引导学生探究运用导数研究函数的极值。发展学生数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模的核心素养。

通过特例，体会导数与函数极值之间的关系，发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。

通过典型例题的分析和解决，帮助学生掌握运用导数求函数极值的一般方法，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养。

三、达标检测

1.函数f (x)的定义域为R，它的导函数y＝f ′(x)的部分图象如图所示，

则下面结论错误的是(　　)

A．在(1，2)上函数f (x)为增函数

B．在(3，4)上函数f (x)为减函数

C．在(1，3)上函数f (x)有极大值

D．x＝3是函数f (x)在区间[1，5]上的极小值点

D　[由题图可知，当1＜x＜2时，f ′(x)＞0，当2＜x＜4时，f ′(x)＜0，当4＜x＜5时，f ′(x)＞0，∴x＝2是函数f (x)的极大值点，

x＝4是函数f (x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．]

2．设函数f (x)＝xex，则(　　)

A．x＝1为f (x)的极大值点

B．x＝1为f (x)的极小值点

C．x＝－1为f (x)的极大值点

D．x＝－1为f (x)的极小值点

D　[令f ′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f ′(x)＜0；当x＞－1时，f ′(x)＞0.故当x＝－1时，f (x)取得极小值．]

3．已知函数f (x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．

(－∞，－1)∪(2，＋∞)　[f ′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，

∵函数f (x)既有极大值又有极小值，

∴方程f ′(x)＝0有两个不相等的实根，

∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，

即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.]

4．已知函数f (x)＝2ef ′(e)ln x－，则函数f (x)的极大值为______．

2ln 2　[f ′(x)＝－，故f ′(e)＝－，

解得f ′(e)＝，所以f (x)＝2ln x－，f ′(x)＝－.

由f ′(x)＞0得0＜x＜2e，f ′(x)＜0得x＞2e.

所以函数f (x)在(0，2e)单调递增，在(2e，＋∞)单调递减，

故f (x)的极大值为f (2e)＝2ln 2e－2＝2ln 2.]

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

求可导函数y＝f (x)的极值的方法

解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时：

(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是极大值；

(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，那么f (x0)是极小值 ．

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。