沪教版 (五四制)八年级下册22.3 特殊的平行四边形备课ppt课件

这是一份沪教版 (五四制)八年级下册22.3 特殊的平行四边形备课ppt课件，共39页。PPT课件主要包含了正方形的性质等内容，欢迎下载使用。

1.理解正方形的概念.2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别.(重点、难点)3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题. （难点）
定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？
观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
你还能举出其他的例子吗？
矩 形
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么 发现？
问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么 发现？
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。
已知：如图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
证明：∵四边形ABCD是正方形.∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形.∴正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义).∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD.
已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD.
思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.  正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?
对称性： .对称轴：.
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相 交于点O.
求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的 等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
例2 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形， 求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵ 四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
【变式题1】四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．
【变式题2】 如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．（1）求证：△APB≌△DPC；
解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，即∠ABP=∠DCP．又∵AB=DC，PB=PC，∴△APB≌△DPC．
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°．∵△APB≌△DPC，∴AP=DP．又∵AP=AB=AD，∴DP=AP=AD．∴△APD是等边三角形．∴∠DAP=60°．∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°．∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°．∴∠BAP=2∠PAC．
（2）求证：∠BAP=2∠PAC．
例3 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
又∵PE⊥BC ， PF⊥DC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD,
∴四边形PECF是矩形,
在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 D.对角线相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等
3.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积．
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.在Rt△AOD中，由勾股定理，得∴正方形的周长为4AD＝ ， 面积为AD2＝8.
正方形定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。
问：我们已经学会了如何判定矩形、菱形，那么你是如何判断一个四边形是正方形呢？
我们先来看下正方形的性质
通过性质，证明四边形是正方形可从角、边、对角线出发，得出证明方法。
定理:对角线相等的菱形是正方形.
求证:四边形ABCD是正方形.
∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
∵四边形ABCD是菱形,
∴四边形ABCD是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD.
定理:对角线互相垂直的矩形是正方形.
∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是菱形.
∵四边形ABCD是矩形,
已知:四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD.
判定正方形的几条途径：
思考 前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
例题.已知，在正方形ABCD中，AC，BD交于点O，E为CD边上(不与C，D重合)的任意一点，连接BE，交AC于点F，AB＝ .(1)如图①，连接OE.①AC＝________ ，∠BAC＝ ________；②若BE为∠DBC的平分线，则∠AFB＝ ________；
(2)如图②，延长BE，交AD的延长线于点G，连接CG.若△ACG为等腰三角形，则CE＝________；
(3)如图③，过点O作OM⊥OE，交BC于点M，连接ME.①写出BM，DE与CD三者之间的数量关系，并说明理由；
①解：BM＋DE＝CD；理由：∵四边形ABCD是正方形，∴BO＝CO，∠BOC＝90°，∠OBM＝∠OCE＝45°，∵OM⊥OE，∴∠MOE＝90°，即∠MOC＋∠COE＝90°.又∵∠MOC＋∠BOM＝90°，∴∠BOM＝∠COE.
在△BOM和△COE中，∴△BOM≌△COE(ASA)；∴BM＝CE，∵CE＋DE＝CD.∴BM＋DE＝CD.
②求S△EOM的最小值．
由①知，△BOM≌△COE，∴OM＝OE，△MOE为等腰直角三角形，∴S△EOM＝ OM·OE＝ OM2，当OM⊥BC时，OM有最小值，
∵AB＝ ，OM＝ AB，∴OM＝ .∴此时S△EOM有最小值，最小值为 .
1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形 D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形