初中北京课改版第十五章 四边形15.4 特殊的平行四边形的性质与判定课时训练

2021-2022学年八年级数学下学期期中期末必考题精准练

必考点06   特殊的平行四边形的性质与判定

●题型一  矩形的性质和判定

◎◎利用矩形的性质进行计算或证明◎◎

【例题1】如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O．若 AO=3，∠OBC=30°，则矩形的周长是       ，面积是        ．

◎◎利用矩形的判定进行计算或证明◎◎

【例题2】（2021春•黔南州期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）

A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B 

C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD

◎◎矩形的性质和判定的综合运用◎◎

【例题3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，E为边BC上一点，且EC=AD， 连接AC．

（1）求证：四边形AECD是矩形； （2）若AC平分∠DAB，AB=5，EC=2，求AE的长.

【解题技巧提炼】

1．矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．

2．矩形的判定

①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②有三个角是直角的四边形是矩形；

③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）

提示：①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．

②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．

●题型二  直角三角形斜边上的中线的性质

◎◎利用直角三角形斜边上的中线的性质进行计算◎◎

【例题4】（2021秋•甘井子区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，BC＝4，则DE的长是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

◎◎利用直角三角形斜边上的中线的性质进行证明◎◎

【例题5】（2021秋•宁波期末）已知：如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，

求证：MN⊥BD．

【解题技巧提炼】

1.直角三角形斜边上的中线的性质是：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；这条性质与直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、三角形中位线定理都是证明线段倍分关系的重要依据.

2.直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形，这两个等腰三角形的面积相等，在直角三角形中出现中点时，易从三角形中位线和斜边上的中线定理考虑找出解题思路.

●题型三  菱形的性质和判定

◎◎利用菱形的性质进行计算或证明◎◎

【例题6】如图，菱形ABCD的周长为24，对角线AC与BD交于点O，BD＝6，则AC＝　     　．

◎◎利用菱形的判定进行计算或证明◎◎

【例题7】（2021春•东至县期末）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件可以是（　　）

A．AB＝AC B．AD＝BD C．BE平分∠ABC     D．BE⊥AC

◎◎菱形的性质和判定的综合运用◎◎

【例题8】（2021秋•揭西县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线EF分别与AD、BC交于点E、F，与BD交于点O，连接BE、DF．

（1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BEDF的面积．

【解题技巧提炼】

1．菱形的性质

①菱形具有平行四边形的一切性质；

②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．

2.菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式．     ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）

3．菱形的判定

①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；

②四条边都相等的四边形是菱形．

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．

●题型四  正方形的性质和判定

【例题9】（2022•遵义模拟）如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF＝20°，则∠AEF的度数（　　）

A．35° B．40° C．45° D．50°

【例题10】如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点．

（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；

（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．

【解题技巧提炼】

1.正方形的性质：

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．

2．正方形的判定

正方形的判定方法：

①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；

②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．

③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．

●题型五  特殊平行四边形的综合

【例题11】（2021•枣庄）如图，∠BOD=45°，BO=DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE⊥BD；②∠ADB=30°；③DF=AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形，其中，判断正确的是 　      　．（填序号）

【解题技巧提炼】

本题属于四边形的综合题，主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，关键是熟记这些图形的性质．

◆题型一  矩形的性质和判定

1．（2021•株洲）如图所示，线段为等腰△ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD=2，则AC=　     　．

2．（2021秋•金塔县期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC＝BC，M、N分别是AB和CD的中点．

求证：四边形AMCN是矩形．

◆题型二  直角三角形斜边上的中线的性质

3．（2021秋•湖州期末）已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE．（1）求证：CG＝EG；    （2）若AB＝10，DG＝3，求CE的长．

◆题型三  菱形的性质和判定

4．（2021•长沙）如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，若，则的长为 　     　．

5．（2021•成都）如图，四边形是菱形，点，分别在，边上，添加以下条件不能判定的是　　

A． B．   C． D．

◆题型四  正方形的性质和判定

6．（2021秋•茂南区期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列条件：①AC⊥BD，②AB＝BC，③∠ACB＝45°，④OA＝OB．上述条件能使矩形ABCD是正方形的是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④

7．（2021•李沧区二模）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，AC，BD相交于点G．过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．

（1）求证：△ABC≌△BAD；

（2）若AB＝BC，四边形AHBG是什么特殊四边形？请说明理由．

◆题型五  特殊平行四边形的综合

8．（2021秋•文山市期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作BD、AC的平行线交于点E，连接EO交CD于点F．

（1）求证：四边形DECO是矩形；    （2）若AD＝3，求OE的长．

1．（2021•黔东南州）如图，是菱形的一条对角线，点在的延长线上，若，则的度数为 　     　度．

2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
 

A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形

C．当∠ABC=90°时，它是正方形 D．当AC=BD时，它是矩形

3．（2021•绍兴）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形的对角线上，时钟中心在矩形对角线的交点上．若，则长为 　   　（结果保留根号）．

4．（2021•绍兴）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点从点出发，沿折线方向移动，移动到点停止．在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是　　

A．直角三角形等边三角形等腰三角形直角三角形 

B．直角三角形等腰三角形直角三角形等边三角形 

C．直角三角形等边三角形直角三角形等腰三角形 

D．等腰三角形等边三角形直角三角形等腰三角形

5．（2021•无锡）如图，、、分别是各边中点，则以下说法错误的是　　

A．和的面积相等；            B．四边形是平行四边形 ；

C．若，则四边形是菱形 ；   D．若，则四边形是矩形.

6．（2022春•东台市月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AD＝6，CD＝8，P是AB上的动点，PM⊥AC于M，PN⊥BD于N，则PM+PN的值为（　　）

A．4.8 B．6.4 C．9.6 D．2.4

7．（2021春•冠县期末）如图，在△ABC中，O是AC边上一点，过点O作BC的平行线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F．

（1）求证：EO＝OF；

（2）连接AE，AF，当点O沿AC移动时，四边形AECF是否能成为一个矩形？此时，点O在什么位置？说明理由

8．（2021秋•市南区期中）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．

（1）求证：△ECG≌△GHD；

（2）当∠B为多少度时，四边形AEGF为菱形，请说明理由．

9．（2021春•鼓楼区月考）如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．

（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；

（2）在（1）的条件下，连接EF，若BE⊥EC，EF⊥BC，证明：四边形EGFH是正方形．

10．（2021秋•沈北新区期末）如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．

（1）求证：DF∥AC；

（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，若G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形；

（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且BC＝80，求AB的长．