高中数学必修一 专题07 一元二次函数、方程和不等式（知识梳理）单元复习

◎◎◎◎◎◎章末复习◎◎◎◎◎◎

1. 知识系统整合

2. 规律方法收藏

1．比较数(式)的大小

依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.

适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式．

步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．

变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化．

2．利用基本不等式证明不等式

(1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立．

(2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”．

(3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式．

3．利用基本不等式求最值

(1)利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等．

即：①x，y都是正数．

②积xy(或和x＋y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值)．

③x与y必须能够相等(等号能够取到)．

(2)构造定值条件的常用技巧

①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式．

4．解一元二次不等式的步骤

当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式的一般步骤如下：

(1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；

(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象的简图；

(3)由图象写出不等式的解集．

特别提醒：(1)在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为严格不等关系及Δ＝0时的特殊情况．

(2)当a＜0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判定(此时图象开口向下)；②两边同乘以－1，把a转变为－a再进行求解．

5．一元二次不等式的实际应用

不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用，主要有范围问题、最值问题等．解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型．解题的一般步骤是：

(1)理清题意：弄清问题的实际背景和意义，用数学语言来描述问题．

(2)简化假设：精选问题中的关键变量．

(3)列出关系式：建立变量间的不等关系式．

(4)求解：运用数学知识解相应不等式．

(5)检验并作答：将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况，然后给出问题的答案．

3 学科思想培优

一、常数代换法

【典例1】已知正数x，y满足x+y＝1，则的最小值为（　　）

A．5 B． C． D．2

【答案】C

【解析】∵x+y＝1，所以，x+（1+y）＝2，

则2，

所以，，

当且仅当，即当时，等号成立，

因此，的最小值为，故选：C．

二、消元法

【典例2】设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z＝0，则的最小值是　　．

【答案】3

【解析】∵x﹣2y+3z＝0，∴，

∴，当且仅当x＝3z时取“＝”．

故答案为3．

三、配凑法

1．从和或积为定值的角度入手配凑

某些不等式的约束条件可看成若干变元的和或积的定值，在不等式的变形中，配凑出这些定值，可使问题巧妙获解．常见的配凑变形有化积为和、常数的代换、加法结合律等常规运算和技巧．

【典例3】设x>0，y>0，x2＋＝1，求的最大值．

【解析】∵x>0，y>0，x2与的和为定值，

∴＝＝，当且仅当，即时取等号，即的最大值为.

【典例4】已知x，y，z为正数，且满足xyz(x＋y＋z)＝1，求(x＋y)(y＋z)的最小值．

【解析】由条件得x＋y＋z＝，则(x＋y)(y＋z)＝xy＋xz＋y2＋yz＝y(x＋y＋z)＋xz＝y·＋xz＝＋xz≥2，当且仅当＝xz，即xz＝1时取等号，故(x＋y)(y＋z)的最小值为2.

【典例5】设a1，a2，a3，…，an均为正实数，求证：≥a1＋a2＋a3＋…＋an.

【解析】为了约去中的分母，可考虑配上一项ak＋1，于是有＋a2≥2a1，＋a3≥2a2，…＋an≥2an－1，＋a1≥2an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时取等号．以上不等式相加，化简，可得原不等式成立．

2．从取等号的条件入手配凑

在题中约束条件下，各变元将取某个特定值，这就提示我们可考虑用这些值来进行配凑．

【典例6】设a，b，c＞0，a＋b＋c＝1，求的最大值．

【解析】，.

以上三式相加，并利用a＋b＋c＝1，得()≤6，故的最大值为3.

四、判别式法在“三个二次”问题中的应用

一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系十分密切，习惯上称为“三个二次”问题．根据判别式法在解一元二次方程中的作用，可见判别式法在“三个二次”问题中的重要性．

1．求变量的取值范围

【典例7】不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

【解析】(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立．

①若m2－2m－3＝0，则m＝－1或m＝3.

当m＝－1时，不符合题意；当m＝3时，符合题意．

②若m2－2m－3≠0，设y＝(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立．

则m2－2m－3<0，Δ＝b2－4ac＝5m2－14m－3<0，

解得－<m<3.

故实数m的取值范围是－<m<3.

2．求最值

【典例8】已知正实数a，b满足a＋2b＋ab＝30，试求实数a，b为何值时，ab取得最大值．

【解析】构造关于a的二次方程，应用“判别式法”．

设ab＝y，　①

由已知得a＋2b＋y＝30.　②

由①②消去b，整理得a2＋(y－30)a＋2y＝0，　③

对于③，由Δ＝(y－30)2－4×2y≥0，即y2－68y＋900≥0，解得y≤18或y≥50，又y＝ab＜30，故舍去y≥50，得y≤18.把y＝18代入③(注意此时Δ＝0)，得a2－12a＋36＝0，即a＝6，从而b＝3.故当a＝6，b＝3时，ab取得最大值18.

3．证明不等式

【典例9】已知x，y∈R，证明：2x2＋2xy＋y2－4x＋5>0恒成立．

【解析】不等式可变形为y2＋2xy＋2x2－4x＋5>0，将不等式左边看作关于y的二次函数，令z＝y2＋2xy＋2x2－4x＋5，则关于y的一元二次方程y2＋2xy＋2x2－4x＋5＝0的根的判别式Δ＝4x2－4(2x2－4x＋5)＝－4(x－2)2－4<0，即Δ<0.则对于二次函数z＝y2＋2xy＋2x2－4x＋5，其图象开口向上，且在x轴上方，所以z>0恒成立，即2x2＋2xy＋y2－4x＋5>0恒成立．

五、含变量的不等式恒成立问题

【典例10】对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围．

【解析】原不等式可化为x2＋px－4x－p＋3＞0，

令y＝x2＋px－4x－p＋3

＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)．

题设得解得x＞3或x＜－1.

故x的取值范围是x<－1或x>3.